Введение
Аксиома симметрии Фрейлинга — аксиома теории множеств, предложенная Крисом Фрейлингом. Она основана на интуиции Стюарта Дэвидсона, но математические корни восходят к Вацлаву Серпинскому. Пусть обозначает множество всех функций из в счетные подмножества (иными словами, ). Аксиома утверждает:
but the mathematics behind it goes back to Wacław Sierpiński. Let denote the set of all functions from to countable subsets of (In other words, .) The axiom states:
For every , there exist such that and
A theorem of Sierpiński says that under the assumptions of ZFC set theory, is equivalent to the negation of the continuum hypothesis (CH). Sierpiński's theorem answered a question of Hugo Steinhaus and was proved long before the independence of CH had been established by
Kurt Gödel and Paul Cohen. Freiling claims that probabilistic intuition strongly supports this proposition while others disagree. There are several versions of the axiom, some of which are discussed below.
Для любого , существуют такие и , что и .
but the mathematics behind it goes back to Wacław Sierpiński. Let denote the set of all functions from to countable subsets of (In other words, .) The axiom states:
For every , there exist such that and
A theorem of Sierpiński says that under the assumptions of ZFC set theory, is equivalent to the negation of the continuum hypothesis (CH). Sierpiński's theorem answered a question of Hugo Steinhaus and was proved long before the independence of CH had been established by
Kurt Gödel and Paul Cohen. Freiling claims that probabilistic intuition strongly supports this proposition while others disagree. There are several versions of the axiom, some of which are discussed below.
Теорема Серпинского утверждает, что при предположениях теории множеств ZFC, эквивалентна отрицанию гипотезы континуума (CH). Теорема Серпинского ответила на вопрос, поставленный Хьюго Штейнхаусом, и была доказана задолго до установления независимости CH Куртом Гёделем и Полом Коэном. Фрейлинг утверждает, что вероятностная интуиция убедительно подтверждает это утверждение, в то время как другие с этим не согласны. Существует несколько версий аксиомы, некоторые из которых рассматриваются ниже.
but the mathematics behind it goes back to Wacław Sierpiński. Let denote the set of all functions from to countable subsets of (In other words, .) The axiom states:
For every , there exist such that and
A theorem of Sierpiński says that under the assumptions of ZFC set theory, is equivalent to the negation of the continuum hypothesis (CH). Sierpiński's theorem answered a question of Hugo Steinhaus and was proved long before the independence of CH had been established by
Kurt Gödel and Paul Cohen. Freiling claims that probabilistic intuition strongly supports this proposition while others disagree. There are several versions of the axiom, some of which are discussed below.
Аргумент Фрейлинга
Определим функцию f в A. Мы рассмотрим мысленный эксперимент, заключающийся в бросании двух дротиков в единичный интервал. Мы не можем физически определить с бесконечной точностью фактические значения чисел x и y, в которые попали дротики. Аналогично, вопрос о том, принадлежит ли "y к f(x)", фактически не может быть физически вычислен. Тем не менее, если f действительно является функцией, то этот вопрос имеет смысл и получит однозначный ответ "да" или "нет". Теперь подождем, пока первый дротик, x, будет брошен, и затем оценим вероятность того, что второй дротик y попадет в f(x). Поскольку x теперь фиксирован, f(x) является фиксированным счетным множеством и имеет меру Лебега, равную нулю. Следовательно, вероятность этого события, при фиксированном x, равна нулю. Фрейлинг делает два обобщения: поскольку мы можем с почти полной уверенностью предсказать, что "y не принадлежит f(x)" после броска первого дротика, и поскольку это предсказание справедливо независимо от того, куда попал первый дротик, мы должны быть в состоянии сделать это предсказание до броска первого дротика. Это не означает, что у нас все еще есть измеримое событие, скорее это интуитивное понимание природы предсказуемости. Поскольку "y не принадлежит f(x)" предсказуемо верно, то, в силу симметрии порядка бросков дротиков (отсюда и название "аксиома симметрии"), мы также должны быть в состоянии с почти полной уверенностью предсказать, что "x не принадлежит f(y)". Аксиома теперь обосновывается тем принципом, что то, что предсказуемо произойдет каждый раз при выполнении этого эксперимента, должно быть, по крайней мере, возможным. Следовательно, должны существовать два действительных числа x и y, такие, что x не принадлежит f(y) и y не принадлежит f(x).
Since we can predict with virtual certainty that "y is not in f(x)" after the first dart is thrown, and since this prediction is valid no matter what the first dart does, we should be able to make this prediction before the first dart is thrown. This is not to say that we still have a measurable event, rather it is an intuition about the nature of being predictable. Since "y is not in f(x)" is predictably true, by the symmetry of the order in which the darts were thrown (hence the name "axiom of symmetry") we should also be able to predict with virtual certainty that "x is not in f(y)". The axiom is now justified based on the principle that what will predictably happen every time this experiment is performed, should at the very least be possible. Hence there should exist two real numbers x, y such that x is not in f(y) and y is not in f(x).
Возражения против довода Фрейлинга
Аргумент Фрейлинга не получил широкого признания из-за следующих двух проблем (которые Фрейлингу были хорошо известны и обсуждались в его статье). Наивная вероятностная интуиция, используемая Фрейлингом, неявно предполагает, что существует корректный способ сопоставить вероятность любому подмножеству действительных чисел. Однако математическая формализация понятия вероятности опирается на понятие меры, а аксиома выбора влечет за собой существование неизмеримых подмножеств, даже единичного интервала. Примерами этого являются парадокс Банаха — Тарского и существование множеств Витали. Незначительное изменение его аргумента приводит к противоречию с аксиомой выбора, независимо от того, принимает ли кто-либо гипотезу континуума, если заменить счетную аддитивность вероятности аддитивностью для кардиналов, меньших континуума. (Фрейлинг использовал аналогичный аргумент, чтобы утверждать, что аксиома Мартина неверна.) Неясно, почему интуиция Фрейлинга должна быть менее применимой в этом случае, если она применима вообще. Таким образом, аргумент Фрейлинга представляется скорее аргументом против возможности хорошего упорядочения действительных чисел, чем против гипотезы континуума.