Кіріспе
Сандық әдіс Сызықтар әдісі (MOL, NMOL, NUMOL) - бір өлшемнен басқа барлық өлшемдері дискреттілікке ие бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді (PDEs) шешу әдісі. PDE-ді бір үздіксіз өлшемге дейін азайту арқылы сызықтар әдісі қарапайым дифференциалдық теңдеулер (ODE) мен дифференциалдық алгебралық теңдеулер жүйелерінің (DAE) сандық интеграциясы үшін әзірленген әдістер мен бағдарламалық қамтамасыз ету арқылы шешімдерді есептеуді қамтамасыз етеді. Көптеген интеграциялық режімдер жылдар бойы көптеген түрлі бағдарламалау тілдерінде әзірленді, ал кейбіреулері ашық бастапқы ресурстар ретінде жарияланды. Сызықтар әдісі көбінесе тек кеңістіктік туындыларды дискреттеу арқылы және уақыт айнымалысын үздіксіз қалдыру арқылы жүргізілетін бөлшектік дифференциалдық теңдеулер үшін сандық әдістерді құруға немесе талдауға қатысты. Бұл бастапқы мәндегі жай теңдеулердің сандық әдісін қолдануға болатын жай дифференциалдық теңдеулер жүйесіне әкеледі. Бұл жағдайда сызықтардың әдісі кем дегенде 1960 жылдардың басына тамырымен байланысты. Содан бері әр түрлі түрдегі бөлшектік дифференциалдық теңдеулер үшін сызықтар әдісінің дәлдігі мен тұрақтылығын талқылайтын көптеген мақалалар пайда болды.
The method of lines (MOL, NMOL, NUMOL) is a technique for solving partial differential equations (PDEs) in which all but one dimension is discretized. By reducing a PDE to a single continuous dimension, the method of lines allows solutions to be computed via methods and software developed for the numerical integration of ordinary differential equations (ODEs) and differential algebraic systems of equations (DAEs). Many integration routines have been developed over the years in many different programming languages, and some have been published as open source resources. The method of lines most often refers to the construction or analysis of numerical methods for partial differential equations that proceeds by first discretizing the spatial derivatives only and leaving the time variable continuous. This leads to a system of ordinary differential equations to which a numerical method for initial value ordinary equations can be applied. The method of lines in this context dates back to at least the early 1960s. Many papers discussing the accuracy and stability of the method of lines for various types of partial differential equations have appeared since.
Эллипстік теңдеулерге қолдану
MOL PDE мәселесі бастапқы мәнді (Коши) кем дегенде бір өлшемдегі мәселе ретінде қойылуы керек, өйткені ODE және DAE интеграторлары бастапқы мәнді (IVP) мәселелерді шешетіндер. Сондықтан оны Лапластың теңдеуі сияқты таза эллиптикалық бөлшектік дифференциалдық теңдеулерде тікелей қолдануға болмайды. Алайда, MOL Лапластың теңдеуін жалған транзиенттер әдісін қолдану арқылы шешу үшін пайдаланылды. Бұл әдісте лапластың теңдеуіне тәуелді айнымалының уақыт туындысы қосылады. Содан кейін шекті айырмашылықтар кеңістіктік туындыларды шамалау үшін қолданылады және алынған теңдеулер жүйесі MOL арқылы шешіледі. Эллипстік мәселелерді сызықтардың жартылай аналитикалық әдісімен шешу де мүмкін. Бұл әдісте дискреттеу процесі байланысты экспоненциалдық матрицаның қасиеттерін пайдалану арқылы шешілетін ODE жиынтығына әкеледі. Жақында жалған транзиенттер әдісімен байланысты тұрақтылық мәселелерін шешу үшін, бұзылу әдісі ұсынылды, ол эллипстік PDE-дің кең ауқымы үшін жалған транзиенттердің стандартты әдісінен мықты екені анықталды.