Введение
Численный метод Метод линий (MOL, NMOL, NUMOL) - это метод решения уравнений с частичными дифференциальными уравнениями (PDEs), в которых все измерения, кроме одного, дискретизированы. Снижая ПДЭ до одного непрерывного измерения, метод линий позволяет вычислять решения с помощью методов и программного обеспечения, разработанных для численной интеграции обычных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциальных алгебраических систем уравнений (ДУУ). Многие интеграционные процедуры были разработаны на протяжении многих лет на разных языках программирования, а некоторые из них были опубликованы в качестве открытых ресурсов. Метод линий чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений с частичными дифференциальными, которые проводятся путем сначала дискретизации только пространственных производных и оставления переменной времени непрерывной. Это приводит к системе обычных дифференциальных уравнений, к которым может быть применен численный метод обычных уравнений начального значения. Метод линий в этом контексте восходит, по крайней мере, к началу 1960-х годов. С тех пор появилось много статей, в которых обсуждается точность и стабильность метода линий для различных типов частичных дифференциальных уравнений.
The method of lines (MOL, NMOL, NUMOL) is a technique for solving partial differential equations (PDEs) in which all but one dimension is discretized. By reducing a PDE to a single continuous dimension, the method of lines allows solutions to be computed via methods and software developed for the numerical integration of ordinary differential equations (ODEs) and differential algebraic systems of equations (DAEs). Many integration routines have been developed over the years in many different programming languages, and some have been published as open source resources. The method of lines most often refers to the construction or analysis of numerical methods for partial differential equations that proceeds by first discretizing the spatial derivatives only and leaving the time variable continuous. This leads to a system of ordinary differential equations to which a numerical method for initial value ordinary equations can be applied. The method of lines in this context dates back to at least the early 1960s. Many papers discussing the accuracy and stability of the method of lines for various types of partial differential equations have appeared since.
Применение к эллиптическим уравнениям
MOL требует, чтобы задача PDE была хорошо поставлена как проблема начального значения (Коши) по крайней мере в одном измерении, потому что интеграторы ODE и DAE являются решающими задачи начального значения (IVP). Таким образом, он не может быть использован непосредственно на чисто эллиптических уравнениях с частичными дифференциальными уравнениями, таких как уравнение Лапласа. Однако MOL использовался для решения уравнения Лапласа с помощью метода ложных транзиентов. В этом методе, производная времени зависимой переменной добавляется к уравнению Лапласа. Затем конечные различия используются для приближения пространственных производных, и полученная система уравнений решается с помощью MOL. Эллиптические задачи также можно решать полуаналитическим методом линий. В этом методе процесс дискретизации приводит к набору ОДЭ, которые решаются путем использования свойств связанной экспоненциальной матрицы. Недавно, чтобы преодолеть проблемы стабильности, связанные с методом ложных транзиентов, был предложен метод возмущения, который оказался более надежным, чем стандартный метод ложных транзиентов для широкого спектра эллиптических PDEs.