Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сплин функциясы
Spline function
Сандық талдау математикасының бір саласында, B-сплині немесе негізгі сплині – берілген дәрежеге, тегістікке және доменге бөлуге қатысты ең аз қолдауға ие сплин функциясы. Кез келген дәрежедегі сплин функциясын сол дәрежедегі B-сплиндерінің сызықтық комбинациясы түрінде көрсетуге болады. Кардиналдық B-сплиндерінің түйіндері бір-бірінен тең қашықтықта орналасқан. B-сплиндерін эксперименттік деректерге қисық сызықтарды келтіру және сандық дифференциалдау үшін қолдануға болады. Компьютерлік дизайн және компьютерлік графикада сплин функциялары B-сплиндерінің бақылау нүктелері жиынтығымен сызықтық комбинациясы ретінде құрастырылады.
In the mathematical subfield of numerical analysis, a B spline or basis spline is a spline function that has minimal support with respect to a given degree, smoothness, and domain partition. Any spline function of given degree can be expressed as a linear combination of B splines of that degree. Cardinal B splines have knots that are equidistant from each other. B splines can be used for curve fitting and numerical differentiation of experimental data. In computer aided design and computer graphics, spline functions are constructed as linear combinations of B splines with a set of control points.
Кіріспе
"B сплині" термині 1978 жылы Исаак Якоб Шенбергпен енгізілді және ол "негіздік сплині" деген сөздің қысқартылған түрі. Сплині функциясы – бұл белгілі дәрежедегі бөліктік полиномдық функция. Бөліктердің қосылатын жерлері түйіндер деп аталады. Сплині функцияларының маңызды қасиеті – олардың өзі және олардың туындылары түйіндердің көптігіне байланысты үздіксіз болуы мүмкін. Бірдей түйіндер жиынында анықталған бірдей реттіліктегі сплині функциялары үшін B сплині – негіздік функциялар болып табылады, яғни барлық мүмкін сплині функцияларын B сплинінің сызықтық комбинациясы арқылы құруға болады, және әрбір сплині функциясы үшін тек бір ғана бірегей комбинация бар.
The term "B spline" was coined by Isaac Jacob Schoenberg in 1978 and is short for basis spline. A spline function of order is a piecewise polynomial function of degree The places where the pieces meet are known as knots. The key property of spline functions is that they and their derivatives may be continuous, depending on the multiplicities of the knots. B splines of order are basis functions for spline functions of the same order defined over the same knots, meaning that all possible spline functions can be built from a linear combination of B splines, and there is only one unique combination for each spline function.
P-шлюз
P сплайны термині "жазаланған B сплайны" дегенді білдіреді. Ол B сплайнының деректерге сәйкес келу үшін коэффициенттерінің бір бөлігі деректермен, екінші бөлігі болса, артық сәйкестікті (overfitting) болдырмау үшін тегіс болуға бағытталған қосымша жазалау функциясымен анықталатын бейнелеуін пайдалануды білдіреді. Екі және көп өлшемді P сплайны деректерді жуықтау үшін есептеу операцияларын азайту мақсатында матрицалардың бетін бөлу өнімін қолдана алады.
The term P spline stands for "penalized B spline". It refers to using the B spline representation where the coefficients are determined partly by the data to be fitted, and partly by an additional penalty function that aims to impose smoothness to avoid overfitting. Two and multidimensional P spline approximations of data can use the face splitting product of matrices to the minimization of calculation operations.
Бөлшек / композиттік Безиерге қатынасы
Безиер қисығы – сол кластағы төменгі дәрежелі қисықтардан рекурсия арқылы анықталатын және бақылау нүктелері арқылы кодталатын полиномдық қисық. Бірақ, басты айырмашылық – Безиер қисығы сегментінің рекурсиясындағы барлық мүшелердің анықталу домені бірдей болады (әдетте ), ал B-сплайнының рекурсиясындағы екі мүшенің қолдаулары әртүрлі (ең сыртқы субинтервалдар ортақ емес). Бұл, берілген дәрежелі Безиер қисығы шамамен тәуелсіз сегменттерден тұрады, ал B-сплайны бірдей параметрлермен субинтервалдар арасында біртегіс өтеді. Безиер қисығынан соған ұқсас нәрсе алу үшін сегменттер арасындағы өтулерге тегістік шартын қою қажет, нәтижесінде Безиер сплайны пайда болады (мұнда көптеген бақылау нүктелері тегістік талабымен анықталады). Бөлшектелген/композиттік Безиер қисығы – кем дегенде C0 сабақтастығымен біріктірілген Безиер қисықтарының тізбегі (бір қисықтың соңғы нүктесі келесі қисықтың бастапқы нүктесімен сәйкес келеді). Қолданылуына қарай, қосымша тегістік талаптары (мысалы, C1 немесе C2 үздіксіздігі) қосылуы мүмкін. C1 үздіксіз қисықтардың үзіліс нүктесінде (екі қисықтың кездесетін жерінде) жанамалары бірдей болады. C2 үздіксіз қисықтардың үзіліс нүктесінде қисықтықтары бірдей болады.
A Bézier curve is also a polynomial curve definable using a recursion from lower degree curves of the same class and encoded in terms of control points, but a key difference is that all terms in the recursion for a Bézier curve segment have the same domain of definition (usually ), whereas the supports of the two terms in the B spline recursion are different (the outermost subintervals are not common). This means that a Bézier curve of degree given by control points consists of about mostly independent segments, whereas the B spline with the same parameters smoothly transitions from subinterval to subinterval. To get something comparable from a Bézier curve, one would need to impose a smoothness condition on transitions between segments, resulting in some manner of Bézier spline (for which many control points would be determined by the smoothness requirement). A piecewise/composite Bézier curve is a series of Bézier curves joined with at least C0 continuity (the last point of one curve coincides with the starting point of the next curve). Depending on the application, additional smoothness requirements (such as C1 or C2 continuity) may be added. C1 continuous curves have identical tangents at the breakpoint (where the two curves meet). C2 continuous curves have identical curvature at the breakpoint.
Бұрыштық орнату
Көбінесе қисықтарды сәйкестендіруде деректер нүктелерінің жиынтығы математикалық функциямен анықталған қисыққа сәйкестендіріледі. Мысалы, қисықтарды сәйкестендірудің кең таралған түрлері көпмүшелік немесе экспоненциалдық функциялар жиынтығын пайдаланады. Егер сәйкес функцияны таңдау үшін теориялық негіз болмаса, қисық ең кіші квадраттар әдісін қолдана отырып, B-сплиндерінің қосындысынан құралған сплайн функциясымен сәйкестендірілуі мүмкін. Осылайша, k дәрежелі сплайн функциясы үшін ең кіші квадраттарды азайтудың мақсаттық функциясы:
Usually in curve fitting, a set of data points is fitted with a curve defined by some mathematical function. For example, common types of curve fitting use a polynomial or a set of exponential functions. When there is no theoretical basis for choosing a fitting function, the curve may be fitted with a spline function composed of a sum of B splines, using the method of least squares. Thus, the objective function for least squares minimization is, for a spline function of degree k,
мұнда W(x) – салмақ, ал y(x) – x нүктесіндегі дерек мәні. Коэффициенттер – анықталуға тиіс параметрлер. Түйіндердің мәндері бекітілген немесе параметрлер ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл процесті қолданудағы басты қиындық – қолданылатын түйіндердің санын және олардың орналасуын анықтау. Де Бур осы мәселені шешу үшін әртүрлі стратегиялар ұсынады. Мысалы, түйіндер арасындағы арақашықтық деректердің қисықтығына (екінші туынды) пропорционалды түрде азаяды. Бірнеше қолданыс жарияланды. Мысалы, B-сплиндерін жеке Лоренц және Гаусс қисықтарына сәйкестендіру зерттелді. 5, 6 және 7 түйіннің симметриялық орналасуына негізделген 3–7 дәрежелі оптималды сплайн функциялары есептелді және әдіс спектроскопиялық қисықтарды тегістеу және дифференциациялау үшін қолданылды. Салыстырмалы зерттеуде Савицки–Голай фильтрлеуінің екі өлшемді нұсқасы және сплайн әдісі жылжымалы орташа немесе Чебышев фильтрлеуінен жақсы нәтижелер көрсетті.
where W(x) is a weight, and y(x) is the datum value at x. The coefficients are the parameters to be determined. The knot values may be fixed or treated as parameters. The main difficulty in applying this process is in determining the number of knots to use and where they should be placed. de Boor suggests various strategies to address this problem. For instance, the spacing between knots is decreased in proportion to the curvature (2nd derivative) of the data. A few applications have been published. For instance, the use of B splines for fitting single Lorentzian and Gaussian curves has been investigated. Optimal spline functions of degrees 3–7 inclusive, based on symmetric arrangements of 5, 6, and 7 knots, have been computed and the method was applied for smoothing and differentiation of spectroscopic curves. In a comparable study, the two dimensional version of the Savitzky–Golay filtering and the spline method produced better results than moving average or Chebyshev filtering.