Белгілі интегралдарды есептеу әдістері

Кіріспе

Анықталған интегралдарды есептеу әдістері

Анализде сандық интеграл – белгілі интегралдың сандық мәнін есептеуге арналған алгоритмдердің кең тобын қамтиды. Сандық квадраттау (көбінесе квадраттау деп қысқартылады) термині, әсіресе бір өлшемді интегралдарға қатысты, "сандық интеграл" терминімен шамалас мағынаға ие. Кейбір авторлар бір өлшемнен артық өлшемдегі сандық интеграцияны кубатура деп атайды, ал басқалары "квадраттау" терминін жоғары өлшемді интеграцияны да қамту үшін қолданады. Сандық интегралдағы негізгі мәселе – белгілі бір дәрежедегі дәлдікпен белгілі интегралдың жуық шешімін табу болып табылады. Егер f(x) функциясы кішкентай өлшемдер бойынша интегралданатын тегіс функция болса және интегралдау домені шектеулі болса, онда интегралды қажетті дәлдікке дейін жуықтаудың көптеген әдістері бар. Сандық интеграцияның тамыры – берілген жазық фигураның (квадраттау немесе квадратура) ауданымен тең болатын квадратты табудың геометриялық мәселесінде, мысалы, шеңбердің квадратталуында жатыр. Бұл термин кейде дифференциалдық теңдеулердің сандық шешімін сипаттау үшін де қолданылады.

Тарих

"Сандық интеграция" термині алғаш рет 1915 жылы Дэвид Гиббтің "Математикалық зертхана үшін интерполяция және сандық интеграция курсы" деген басылымында қолданылды. "Квадратура" – тарихи математикалық термин, ол ауданды есептеуді білдіреді. Квадратуралық мәселелер математикалық талдаудың негізгі көздерінің бірі болып табылады. Пифагорлық ілімге сәйкес, ежелгі Грекия математиктері ауданды есептеуді геометриялық түрде бірдей ауданға ие квадратты (квадратты) салу процесі ретінде түсіндірген. Сондықтан бұл процесс "квадратура" деп аталды. Мысалы, шеңбердің квадратурасы, Гиппократтың айы, параболаның квадратурасы. Бұл салу жұмысы тек циркуль мен түзу сызық көмегімен ғана жасалуы керек. Ежелгі бабылдықтар Юпитердің эклиптика бойымен қозғалысын интеграциялау үшін трапеция тәсілін пайдаланған. a және b қабырғалары бар тіктөртбұрыштың квадратурасы үшін, оның қабырғасы a және b-ның геометриялық орташасы болатын квадратты салу қажет. Мұндай жағдайда, мына фактіні пайдалануға болады: егер a және b қосындысын диаметрі ретінде шеңбер салсақ, онда олардың қосылған нүктесінен шеңберге түсірілген BH биіктігі олардың геометриялық орташасына тең болады. Осыған ұқсас геометриялық салу параллелограмм мен үшбұрыштың квадратуралық мәселесін шешеді. Иісті сызықтармен шектелген фигуралардың квадратурасы әлдеқайда қиын. 19 ғасырда циркуль мен түзу сызық көмегімен шеңберді квадратуралау мүмкін емес екені дәлелденді. Дегенмен, кейбір фигуралар үшін (мысалы, Гиппократтың айы) квадратура орындалуы мүмкін. Архимед жасаған сфера беті мен парабола сегментінің квадратуралары антикалық талдаудың ең үлкен жетістігі болды. Сфераның бетінің ауданы осы сфераның үлкен шеңберінің ауданынан төрт есеге тең. Параболаның түзу сызықпен кесілген сегментінің ауданы осы сегментте жазылған үшбұрыштың ауданының 4/3-іне тең. Архимед нәтижелерді дәлелдеу үшін Эвдокстың сарқылу әдісін қолданды. Орта ғасырлық Еуропада квадратура дегеніміз – кез келген әдіспен ауданды есептеу. Көбінесе бөлшексіздер әдісі қолданылды; ол аз қатаң, бірақ қарапайым және қуатты болды. Оның көмегімен Галилео Галилей мен Жиль де Робервал циклоида доғасының ауданын тапты, Грегуар де Сент-Винсент гипербола астындағы аумақты зерттеді (Opus Geometricum, 1647), ал Альфонс Антонио де Сараса, Сент-Винсенттің шәкірті және түсіндірушісі, осы аумақтың логарифмдермен байланысын атап өтті. Джон Уоллис бұл әдісті алгебралық түрде түсіндірді: ол өзінің "Arithmetica Infinitorum" (1656) еңбегінде біз қазір анықталған интеграл деп атайтын қатарларды жазды және олардың мәндерін есептеді. Исаак Барроу мен Джеймс Грегори одан әрі жетістіктерге жетті: кейбір алгебралық қисықтар мен спиральдар үшін квадратуралар. Кристиан Гюйгенс кейбір айналу денелерінің квадратурасын сәтті орындады. Сент-Винсент пен де Сараса гиперболаның квадратурасы жаңа функцияны, табиғи логарифмді, маңызды ролде ұсынды. Интегралды есептеудің пайда болуымен ауданды есептеудің әмбебап әдісі келді. Осыған жауап ретінде "квадратура" термині дәстүрлі болып кетті, ал қазіргі заманғы "бір айнымалының анықталған интегралын есептеу" тіркесі жиі қолданылады.

The term "numerical integration" first appears in 1915 in the publication A Course in Interpolation and Numeric Integration for the Mathematical Laboratory by David Gibb. "Quadrature" is a historical mathematical term that means calculating area. Quadrature problems have served as one of the main sources of mathematical analysis. Mathematicians of Ancient Greece, according to the Pythagorean doctrine, understood calculation of area as the process of constructing geometrically a square having the same area (squaring). That is why the process was named "quadrature". For example, a quadrature of the circle, Lune of Hippocrates, The Quadrature of the Parabola. This construction must be performed only by means of compass and straightedge. The ancient Babylonians used the trapezoidal rule to integrate the motion of Jupiter along the ecliptic. For a quadrature of a rectangle with the sides a and b it is necessary to construct a square with the side (the Geometric mean of a and b). For this purpose it is possible to use the following fact: if we draw the circle with the sum of a and b as the diameter, then the height BH (from a point of their connection to crossing with a circle) equals their geometric mean. The similar geometrical construction solves a problem of a quadrature for a parallelogram and a triangle. Problems of quadrature for curvilinear figures are much more difficult. The quadrature of the circle with compass and straightedge had been proved in the 19th century to be impossible. Nevertheless, for some figures (for example the Lune of Hippocrates) a quadrature can be performed. The quadratures of a sphere surface and a parabola segment done by Archimedes became the highest achievement of the antique analysis. The area of the surface of a sphere is equal to quadruple the area of a great circle of this sphere. The area of a segment of the parabola cut from it by a straight line is 4/3 the area of the triangle inscribed in this segment. For the proof of the results Archimedes used the Method of exhaustion of Eudoxus. In medieval Europe the quadrature meant calculation of area by any method. More often the Method of indivisibles was used; it was less rigorous, but more simple and powerful. With its help Galileo Galilei and Gilles de Roberval found the area of a cycloid arch, Grégoire de Saint Vincent investigated the area under a hyperbola (Opus Geometricum, 1647), and Alphonse Antonio de Sarasa, de Saint Vincent's pupil and commentator, noted the relation of this area to logarithms. John Wallis algebrised this method: he wrote in his Arithmetica Infinitorum (1656) series that we now call the definite integral, and he calculated their values. Isaac Barrow and James Gregory made further progress: quadratures for some algebraic curves and spirals. Christiaan Huygens successfully performed a quadrature of some Solids of revolution. The quadrature of the hyperbola by Saint Vincent and de Sarasa provided a new function, the natural logarithm, of critical importance. With the invention of integral calculus came a universal method for area calculation. In response, the term "quadrature" has become traditional, and instead the modern phrase "computation of a univariate definite integral" is more common.

Бір өлшемді интегралдар үшін әдістер

Квадраттуралық ереже – функцияның белгілі интегралын жуықтаудың бір жолы, көбінесе интегралау доменіндегі белгілі нүктелердегі функция мәндерінің салмақталған қосындысы түрінде беріледі. Сандық интеграциялау әдістерін, әдетте, интегралды жуықтау үшін интегралдың мәнін есептеуді біріктіру деп сипаттауға болады. Интеграл интегралдау нүктелері деп аталатын шекті нүктелер жиынында есептелінеді, ал интегралды жуықтау үшін осы мәндердің салмақталған қосындысы қолданылады. Интегралдау нүктелері мен салмақтары қолданылатын нақты әдіске және жуықтаудан қажетті дәлдікке байланысты. Кез келген сандық интеграциялау әдісін талдаудың маңызды бөлігі – интегралдың мәнін есептеу санына тәуелді жуықтау қатесінің қалай өзгеретінін зерттеу болып табылады. Аз мән есептеу арқылы кішкентай қателік беретін әдіс әдетте жақсырақ деп есептеледі. Интегралдың мәнін есептеу санын азайту арифметикалық операциялар санын азайтады, демек, жалпы дөңгелектеу қатесін де азайтады. Сонымен қатар, әрбір есептеуге уақыт кетіп, интеграл кез келген күрделілікте болуы мүмкін.

Қадамдық функцияларға негізделген квадраттау ережесі

Егер интегралдың өзі жақсы қасиеттерге ие болса (яғни, бөлік-бөлік үздіксіз және шектелген өзгеруге ие болса), интегралды өте кішкентай қадамдармен есептеу арқылы "күшпен шешу" сандық интеграциясын жасауға болады. Бұл ең қарапайым әдіс функцияны қадамдық функциямен (бөлік-бөлік тұрақты функция немесе бірінші дәрежесі нөлге тең сегменттелген көпмүше) жуықтайды, ол нүкте арқылы өтеді. Бұл орта нүкте ережесі немесе тіктөртбұрыш ережесі деп аталады.

Экстраполяция әдістері

Ньютон-Котс түріндегі квадраттық ереженің дәлдігі, әдетте, бағалау нүктелерінің санына байланысты болады. Бағалау нүктелерінің саны артқан сайын немесе, баламалы түрде, нүктелер арасындағы қадамның ені кеміген сайын нәтиже көбінесе дәлірек болады. Қадамның мөлшері нөлге жақындаса, нәтиже қандай болады деген сұрақ туындайды. Бұл сұраққа Ричардсон экстраполяциясы сияқты тізбекті жеделдету әдістерін қолдану арқылы, екі немесе одан көп нөлдік емес қадам мөлшері бойынша нәтижені экстраполяциялау арқылы жауап беруге болады. Экстраполяция функциясы полиномдық немесе рационалдық функция болуы мүмкін. Экстраполяция әдістері Stoer және Bulirsch (3.4-бөлім) еңбектерінде толығырақ сипатталған және QUADPACK кітапханасының көптеген процедураларында іске асырылған.

Көп өлшемді интегралдар

Квадраттура ережелері бұған дейін талқыланғандардың бәрі бір өлшемді интегралдарды есептеуге арналған. Көп өлшемді интегралдарды есептеу үшін бір жол – Фубини теоремасын (тензорлық көбейту ережесін) қолдану арқылы көптік интегралды қайталанған бір өлшемді интегралдар түрінде жазу. Бұл тәсіл функцияның мәнін есептеуді өлшемдер саны арта келе экспоненциалды түрде өсіруді қажет етеді. Осы "өлшемдік қарғыс" деп аталатын мәселені шешудің үш әдісі белгілі. Строудтың монографиясында салмақтық функциялардың алуан түрлілігі үшін көп өлшемді кубатуралық интеграция ережелерін құрудың көптеген қосымша техникалары келтірілген. Hesse және авторлар (2015) сферадағы интеграцияны қарастырған.

Монте-Карло

Монте-Карло әдістері мен квази-Монте-Карло әдістерін көп өлшемді интегралдарға қолдану оңай. Олар функцияны бағалаудың бірдей саны үшін бір өлшемді әдістерді пайдаланып қайталап интегралдауға қарағанда жоғары дәлдік бере алады. Көптеген пайдалы Монте-Карло әдістері – Марков тізбегі Монте-Карло алгоритмдері деп аталады, оларға Метрополис-Хестингс алгоритмі және Гиббс үлгілеуі кіреді.

Шашыраңқы торлар

Сиректетілген торлар Smolyak-тың жоғары өлшемді функцияларды квадратуралау үшін бастапқыда әзірлеген. Әдіс әрқашан бір өлшемді квадратура ережесіне негізделген, бірақ унивариантты нәтижелердің күрделі комбинациясын қолданады. Дегенмен, тензорлық көбейтінді ережесі квадратура нүктелерінің салмағы оң болса, барлық кубатура нүктелерінің салмағы да оң болатынын кепілдесе, Smolyak ережесі барлық салмақтың оң болатынын кепілдемейді.

Бейес квадраты

Бейес квадраттурасы интегралдарды есептеудің сандық мәселесіне қолданылатын статистикалық тәсіл және ықтималдық сандық есептеулер саласына жатады. Ол интеграл шешіміне қатысты белгісіздікті, Гаусс процесінің артқы дисперсиясы түрінде толыққанды түрде бағалауға мүмкіндік береді.