Введение

Методы вычисления определенных интегралов

В математическом анализе численная интеграция охватывает широкое семейство алгоритмов для вычисления численного значения определенного интеграла. Термин "численная квадратура" (часто сокращаемый до "квадратура") является в значительной степени синонимом "численной интеграции", особенно применительно к одномерным интегралам. Некоторые авторы называют численную интеграцию в более чем одном измерении кубатурой, другие же относят "квадратуру" к интеграции в многомерных пространствах. Основная задача численной интеграции заключается в вычислении приближенного решения определенного интеграла с заданной степенью точности. Если f(x) – гладкая функция, интегрируемая по небольшому числу измерений, и область интегрирования ограничена, существует множество методов для приближения интеграла с требуемой точностью. Численная интеграция берет свои корни в геометрической задаче нахождения квадрата, равновеликого по площади заданной плоской фигуре (квадратура), как, например, в квадратуре круга. Этот термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений.

История

Термин "численная интеграция" впервые появился в 1915 году в публикации "Курс интерполяции и численной интеграции для математической лаборатории" Дэвида Гибба. "Квадратура" – исторический математический термин, означающий вычисление площади. Задачи квадратуры служили одним из основных источников математического анализа. Математики Древней Греции, согласно пифагорейской доктрине, понимали вычисление площади как процесс геометрического построения квадрата, имеющего ту же площадь (возведение в квадрат). Именно поэтому этот процесс получил название "квадратура". Например, квадратура круга, луна Гиппократа, квадратура параболы. Такое построение должно выполняться только с помощью циркуля и линейки. Древние вавилоняне использовали трапециевидное правило для интегрирования движения Юпитера вдоль эклиптики. Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b необходимо построить квадрат со стороной (геометрическое среднее a и b). Для этого можно использовать следующий факт: если начертить окружность с диаметром, равным сумме a и b, то высота BH (от точки их соединения до пересечения с окружностью) будет равна их геометрическому среднему. Аналогичное геометрическое построение решает задачу квадратуры для параллелограмма и треугольника. Задачи квадратуры для криволинейных фигур гораздо сложнее. В XIX веке было доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Тем не менее, для некоторых фигур (например, луны Гиппократа) квадратуру можно выполнить. Квадратуры поверхности сферы и сегмента параболы, выполненные Архимедом, стали высшим достижением античного анализа. Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга этой сферы. Площадь сегмента параболы, отсеченного прямой линией, равна 4/3 площади вписанного в этот сегмент треугольника. Для доказательства этих результатов Архимед использовал метод исчерпывания Евдокса. В средневековой Европе под квадратурой понималось вычисление площади любым методом. Чаще использовался метод неделимых; он был менее строгим, но более простым и действенным. С его помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли площадь арки циклоиды, Грегуар де Сен-Винсент исследовал площадь под гиперболой (Opus Geometricum, 1647), а Альфонс Антонио де Сараса, ученик и комментатор де Сен-Винсента, отметил связь этой площади с логарифмами. Джон Уоллис алгебраизировал этот метод: он записал в своей "Arithmetica Infinitorum" (1656) ряды, которые мы теперь называем определенными интегралами, и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса в квадратурах некоторых алгебраических кривых и спиралей. Кристиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру некоторых тел вращения. Квадратура гиперболы, выполненная Сен-Винсентом и де Сарасой, привела к появлению новой функции – натурального логарифма, имеющей критическое значение. С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод вычисления площади. В ответ термин "квадратура" стал традиционным, а вместо него чаще используется современное выражение "вычисление однозначного определенного интеграла".

Методы для одномерных интегралов

Правило квадратуры – это приближение определённого интеграла функции, обычно представляемое в виде взвешенной суммы значений функции в заданных точках области интегрирования. Методы численного интегрирования в общем случае описываются как комбинирование вычислений подынтегральной функции для получения приближения к интегралу. Подынтегральная функция вычисляется в конечном наборе точек, называемых точками интегрирования, и для приближения интеграла используется взвешенная сумма этих значений. Точки интегрирования и веса зависят от конкретного используемого метода и требуемой точности приближения. Важная часть анализа любого метода численного интегрирования – изучение поведения погрешности приближения как функции от числа вычислений подынтегральной функции. Метод, дающий малую погрешность при небольшом числе вычислений, обычно считается более эффективным. Уменьшение числа вычислений подынтегральной функции снижает количество задействованных арифметических операций и, следовательно, общую погрешность округления. Кроме того, каждое вычисление требует времени, а подынтегральная функция может быть сколь угодно сложной.

Правила квадратуры, основанные на ступенчатых функциях

Можно провести численное интегрирование методом "грубой силы", если подынтегральная функция достаточно хорошо себя ведет (то есть является кусочно-непрерывной и ограниченной вариацией), вычисляя значение подынтегральной функции с очень малыми приращениями. Этот простейший метод аппроксимирует функцию ступенчатой функцией (кусочно-постоянной функцией или сегментированным многочленом нулевой степени), проходящей через эту точку. Это называется правилом средних точек или правилом прямоугольников.

Методы экстраполяции

Точность квадратурной формулы типа Ньютона-Котеса обычно является функцией числа точек вычисления. Результат, как правило, становится более точным при увеличении числа точек вычисления или, что эквивалентно, при уменьшении величины шага между точками. Естественно задаться вопросом, каким был бы результат, если бы величина шага стремилась к нулю. На этот вопрос можно ответить, экстраполируя результат, полученный для двух или более ненулевых шагов, с использованием методов ускорения сходимости рядов, таких как экстраполяция Ричардсона. Экстраполирующая функция может быть полиномиальной или рациональной. Методы экстраполяции более подробно описаны в работе Stöer и Bulirsch (раздел 3.4) и реализованы во многих процедурах библиотеки QUADPACK.

Многомерные интегралы

Правила квадратуры, обсуждаемые до сих пор, предназначены для вычисления одномерных интегралов. Для вычисления интегралов в многомерном пространстве одним из подходов является представление многомерного интеграла в виде повторных одномерных интегралов с использованием теоремы Фубини (правила тензорного произведения). Этот подход требует экспоненциального роста числа вычислений функции с увеличением числа измерений. Существует три метода преодоления так называемого "проклятия размерности". В монографии Строуда приведено большое количество дополнительных методов построения многомерных правил численного интегрирования для различных весовых функций. Интегрирование на сфере было рассмотрено в работе Гессе и др. (2015).

Монте-Карло

Методы Монте-Карло и квази-Монте-Карло легко применимы к многомерным интегралам. Они могут обеспечивать более высокую точность при том же количестве вычислений функции, чем последовательные интегрирования с использованием одномерных методов. Крупный класс полезных методов Монте-Карло составляют так называемые алгоритмы Монте-Карло на основе цепей Маркова, включающие алгоритм Метрополиса — Хэстингса и метод Гиббса.

Разделительные сетки

Спарсные сетки были первоначально разработаны Смоляком для численного интегрирования (квадратуры) функций многих переменных. Метод всегда основан на одномерном правиле квадратуры, но использует более сложную комбинацию одномерных результатов. Однако, в то время как правило тензорного произведения гарантирует, что веса всех точек квадратуры будут положительными, если веса точек одномерной квадратуры положительны, правило Смоляка не гарантирует положительность всех весов.

Квадрат Bayesian

Квадраттура Байеса — это статистический подход к численной задаче вычисления интегралов, относящийся к области вероятностной нумерики. Она позволяет полностью учитывать неопределенность при решении интеграла, выраженную как апостериорная дисперсия гауссовского процесса.