Кіріспе
Көптеген бөлшектер механикасында қолданылатын статистикалық таралу. Статистикалық механикада Максвелл-Болцман статистикасы, жылулық тепе-теңдікте классикалық материалдық бөлшектердің әртүрлі энергия күйлері бойынша таралуын сипаттайды. Бұл статистика температура жеткілікті жоғары болғанда немесе бөлшектердің тығыздығы кванттық эффектілерді мардымсыз ететіндей төмен болғанда қолданылады. Максвелл-Болцман статистикасы бойынша энергиясы бар бөлшектердің күтілетін саны:
In statistical mechanics, Maxwell–Boltzmann statistics describes the distribution of classical material particles over various energy states in thermal equilibrium. It is applicable when the temperature is high enough or the particle density is low enough to render quantum effects negligible. The expected number of particles with energy for Maxwell–Boltzmann statistics is
where:
is the energy of the i th energy level,
is the average number of particles in the set of states with energy ,
is the degeneracy of energy level i, that is, the number of states with energy which may nevertheless be distinguished from each other by some other means,
μ is the chemical potential,
k is the Boltzmann constant,
T is absolute temperature,
N is the total number of particles:
Z is the partition function:
e is Euler's number
Equivalently, the number of particles is sometimes expressed as
where the index i now specifies a particular state rather than the set of all states with energy , and .
мұнда:
– i-ші энергия деңгейінің энергиясы,
– энергиясы бар күйлер жиынтығындағы бөлшектердің орташа саны,
– i энергия деңгейінің дегенерациясы, яғни энергиясы бірдей, бірақ басқа белгілі бір параметрлермен ерекшеленетін күйлер саны,
μ – химиялық потенциал,
k – Болцман тұрақтысы,
T – абсолюттік температура,
N – бөлшектердің жалпы саны,
Z – бөлу функциясы,
e – Эйлер саны.
In statistical mechanics, Maxwell–Boltzmann statistics describes the distribution of classical material particles over various energy states in thermal equilibrium. It is applicable when the temperature is high enough or the particle density is low enough to render quantum effects negligible. The expected number of particles with energy for Maxwell–Boltzmann statistics is
where:
is the energy of the i th energy level,
is the average number of particles in the set of states with energy ,
is the degeneracy of energy level i, that is, the number of states with energy which may nevertheless be distinguished from each other by some other means,
μ is the chemical potential,
k is the Boltzmann constant,
T is absolute temperature,
N is the total number of particles:
Z is the partition function:
e is Euler's number
Equivalently, the number of particles is sometimes expressed as
where the index i now specifies a particular state rather than the set of all states with energy , and .
Балама ретінде, бөлшектер саны кейде мына түрде беріледі:
In statistical mechanics, Maxwell–Boltzmann statistics describes the distribution of classical material particles over various energy states in thermal equilibrium. It is applicable when the temperature is high enough or the particle density is low enough to render quantum effects negligible. The expected number of particles with energy for Maxwell–Boltzmann statistics is
where:
is the energy of the i th energy level,
is the average number of particles in the set of states with energy ,
is the degeneracy of energy level i, that is, the number of states with energy which may nevertheless be distinguished from each other by some other means,
μ is the chemical potential,
k is the Boltzmann constant,
T is absolute temperature,
N is the total number of particles:
Z is the partition function:
e is Euler's number
Equivalently, the number of particles is sometimes expressed as
where the index i now specifies a particular state rather than the set of all states with energy , and .
мұнда индекс i енді энергиясы бар күйлердің барлық жиынтығын емес, нақты бір күйді көрсетеді, және .
In statistical mechanics, Maxwell–Boltzmann statistics describes the distribution of classical material particles over various energy states in thermal equilibrium. It is applicable when the temperature is high enough or the particle density is low enough to render quantum effects negligible. The expected number of particles with energy for Maxwell–Boltzmann statistics is
where:
is the energy of the i th energy level,
is the average number of particles in the set of states with energy ,
is the degeneracy of energy level i, that is, the number of states with energy which may nevertheless be distinguished from each other by some other means,
μ is the chemical potential,
k is the Boltzmann constant,
T is absolute temperature,
N is the total number of particles:
Z is the partition function:
e is Euler's number
Equivalently, the number of particles is sometimes expressed as
where the index i now specifies a particular state rather than the set of all states with energy , and .
Тарих
Максвелл-Болцман статистикасы Максвелл-Болцман таралымынан туындады, бұл, әдетте, негізгі әдістің қорытындысы ретінде қарастырылады. Бұл таралымды алғаш рет 1860 жылы Максвелл тұжырымдамалық негізде шығарды. Болцман кейін, 1870 жылдары, осы таралымның физикалық себептерін зерттеуге елеулі үлес қосты. Таралым жүйенің энтропиясын максималды деңгейге жеткізеді деген қағидаға сүйене отырып шығарылуы мүмкін.
Қолданылуы
Максвелл-Болцман статистикасы идеалдық газдың Максвелл-Болцман таралымын алу үшін қолданылады. Дегенмен, оны энергия-импульс қатынасы басқаша бөлшектерге, мысалы релятивистік бөлшектерге (соның нәтижесінде Максвелл-Юттнер таралымы пайда болады) және үшөлшемді емес кеңістіктерге тарату үшін де пайдалануға болады. Максвелл-Болцман статистикасы көбінесе "ерекшеленетін" классикалық бөлшектердің статистикасы ретінде сипатталады. Яғни, А бөлшегі 1-күйде және В бөлшегі 2-күйде орналасқан конфигурациясы, В бөлшегі 1-күйде және А бөлшегі 2-күйде орналасқан жағдайдан өзгеше болады. Бұл тұжырым энергиялық күйлердегі бөлшектердің дұрыс (Болцман) статистикасына алып келеді, бірақ Гиббс парадоксында көрсетілгендей энтропия үшін физикалық емес нәтижелер береді. Сонымен қатар, Максвелл-Болцман статистикасының талаптарына сай нақты бөлшектер жоқ. Шындығында, Гиббс парадоксы белгілі бір типтегі барлық бөлшектерді (мысалы, электрондар, протондар, фотондар және т.б.) принципті түрде ерекшеленбес деп қарастыру арқылы шешіледі. Осы тұжырым жасалғанда бөлшектердің статистикасы өзгереді. Қоспалы энтропия мысалындағы энтропияның өзгеруі, екі түрлі бөлшектің ерекшеленуінен туындаған кеңейтілмеген энтропияның мысалы ретінде қарастырылуы мүмкін. Кванттық бөлшектер бозон (оның орнына Бозе-Эйнштейн статистикасын) немесе фермион (Паулидің қанағаттандырылмау принципіне бағынып, оның орнына Ферми-Дирак статистикасын) болып табылады. Бұл екі кванттық статистика да жоғары температура және төмен бөлшектер тығыздығы шегінде Максвелл-Болцман статистикасына жақындайды.