Введение

Статистическое распределение, используемое во многих областях механики частиц.

В статистической механике статистика Максвелла — Больцмана описывает распределение классических материальных частиц по различным энергетическим состояниям при термическом равновесии. Она применима, когда температура достаточно высока или плотность частиц достаточно низка, чтобы квантовые эффекты были пренебрежимо малы. Ожидаемое число частиц с энергией для статистики Максвелла — Больцмана равно

где:
– энергия i-го энергетического уровня,
– среднее число частиц в наборе состояний с энергией ,
– вырожденность энергетического уровня i, то есть число состояний с энергией , которые, тем не менее, могут быть различимы друг от друга по каким-либо другим признакам,
μ – химический потенциал,
k – постоянная Больцмана,
T – абсолютная температура,
N – общее число частиц,
Z – статистическая сумма (функция разделения),
e – число Эйлера.

Эквивалентно, число частиц иногда выражается как

где индекс i теперь указывает конкретное состояние, а не набор всех состояний с энергией , и .

История

Статистика Максвелла — Больцмана возникла из распределения Максвелла — Больцмана, вероятно, как результат обобщения лежащего в его основе метода. Распределение было впервые получено Максвеллом в 1860 году на основе эвристических соображений. Позднее, в 1870-х годах, Больцман провёл значительные исследования физических основ этого распределения. Это распределение можно вывести, исходя из того, что оно максимизирует энтропию системы.

Применимость

Статистика Максвелла — Больцмана используется для вывода распределения Максвелла — Больцмана идеального газа. Однако её также можно использовать для расширения этого распределения на частицы с другим соотношением между энергией и импульсом, такие как релятивистские частицы (что приводит к распределению Максвелла — Юттнера), и на пространства, отличные от трёхмерных. Статистика Максвелла — Больцмана часто описывается как статистика "различимых" классических частиц. Иными словами, конфигурация частицы A в состоянии 1 и частицы B в состоянии 2 отличается от конфигурации, в которой частица B находится в состоянии 1, а частица A — в состоянии 2. Это предположение приводит к корректной (больцмановской) статистике частиц в энергетических состояниях, но даёт нефизические результаты для энтропии, что проявляется в парадоксе Гиббса. При этом не существует реальных частиц, обладающих характеристиками, необходимыми для статистики Максвелла — Больцмана. Действительно, парадокс Гиббса разрешается, если рассматривать все частицы определённого типа (например, электроны, протоны, фотоны и т. д.) как принципиально неразличимые. Как только это предположение сделано, статистика частиц изменяется. Изменение энтропии в примере смешивания энтропий можно рассматривать как пример неэкстенсивной энтропии, возникающей из-за различимости двух типов смешиваемых частиц. Квантовые частицы являются либо бозонами (подчиняющимися статистике Бозе — Эйнштейна), либо фермионами (подчиняющимися принципу исключения Паули и статистике Ферми — Дирака). Обе эти квантовые статистики приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низкой плотности частиц.