Кіріспе

Математикалық термин; теоремаларды шығару үшін қолданылатын аксиомаларға қатысты. Математика мен логикада аксиомалық жүйе – теоремаларды логикалық тұрғыдан шығаруға арналған бастапқы ұғымдар мен аксиомалардың кез келген жиынтығы. Теория – әдетте аксиомалық жүйе мен одан туындаған барлық теоремаларды қамтитын, тұрақты және салыстырмалы түрде толық білім жүйесі. Толық сипатталған аксиомалық жүйе – формальды жүйенің ерекше түрі. Формальды теория – логикалық салдар бойынша жабық сөйлемдер жиынтығын сипаттайтын аксиомалық жүйе (көбінесе модельдер теориясы шеңберінде құрастырылады). Формальды дәлелдеме – формальды жүйедегі математикалық дәлелдеменің толық жазылуы.

Қасиеттері

Аксиоматикалық жүйе қарама-қайшылықсыз болса, тұрақты деп айтылады. Яғни, жүйенің аксиомаларынан бір мәлімдеме және оның жоқтығын екеуін де шығару мүмкін емес. Тұрақтылық – көптеген аксиоматикалық жүйелер үшін маңызды талап, себебі қарама-қайшылық болса, кез келген мәлімдемені дәлелдеуге болады (жарылыс принципі). Аксиоматикалық жүйеде, егер аксиома басқа аксиомалар арқылы дәлелденбесе немесе жоққа шығарылмаса, тәуелсіз деп аталады. Жүйе, егер оның негізгі аксиомаларының барлығы тәуелсіз болса, тәуелсіз жүйе деп аталады. Тұрақтылықтан өзгеше, тәуелсіздік аксиоматикалық жүйенің жұмыс істеуі үшін міндетті талап емес, бірақ жүйедегі аксиомалар санын азайту мақсатымен ізделіп келеді. Аксиоматикалық жүйе толық деп аталады, егер кез келген мәлімдеме үшін, өзі немесе оның жоқтығы жүйенің аксиомаларынан шығарылатын болса (екіленбейтіндей, кез келген мәлімдемені шын немесе жалған деп дәлелдеуге болады).

Қалыптылығы

Тұрақтылықтан өзге, салыстырмалы тұрақтылық та пайдалы аксиомалық жүйенің белгісі болып табылады. Бұл, бірінші аксиомалық жүйенің анықталмаған ұғымдарына екінші жүйеден анықтама берілген жағдайды сипаттайды, осылайша бірінші жүйенің аксиомалары екінші жүйенің теоремаларына айналады. Абсолютті геометрияның нақты сандар теориясына қатысты салыстырмалы тұрақтылығы осыған жақсы мысал. Абсолютті геометрияда түзулер мен нүктелер анықталмаған ұғымдар (немесе бастапқы түсініктер) болып табылады, бірақ нақты сандар теориясында олар екі аксиомалық жүйеге де үйлесімді келетін мағынамен анықталады.

Модельдер

Аксиомалық жүйенің моделі – жүйеде берілген қатынастарға сәйкес, жүйедегі анықталмаған терминдерге мағына тағайындайтын жақсы анықталған жиын. Нақты модельдің болуы жүйенің дәйектілігін көрсетеді. Егер тағайындалған мағыналар нақты әлемдегі объектілер мен қатынастар болса, ал емес, басқа аксиомалық жүйелерге негізделген абстрактілі модель болса, онда модель нақты деп аталады. Модельдер жүйедегі аксиоманың тәуелсіздігін көрсету үшін де қолданылуы мүмкін. Белгілі бір аксиомасыз ішкі жүйе үшін дұрыс модель құрастыру арқылы, егер оның дұрыстығы міндетті түрде ішкі жүйеден шықпаса, алынып тасталған аксиома тәуелсіз екенін көрсетеміз. Егер олардың элементтері арасындағы бір-бірге сәйкестік олардың қатынастарын сақтайтын болса, онда екі модель изоморфты деп айтылады. Кез келген моделі басқасына изоморфты болатын аксиомалық жүйе категориалды (кейде категориалды) деп аталады. Категориялылық (категорийлік) қасиеті жүйенің толықтығын қамтамасыз етеді, бірақ керісінше дұрыс емес: толықтық жүйенің категориалдығын (категорийлігін) қамтамасыз етпейді, себебі екі модель жүйенің семантикасымен білдірілмейтін қасиеттері бойынша өзгеше болуы мүмкін.

Аксиоматикалық әдіс

Анықтамалар мен ұғымдарды әрбір жаңа термин бұрын енгізілген терминдер арқылы ресми түрде жойыла алатындай етіп беру, шексіз регресстен сақтану үшін бастапқы түсініктерді (аксиомаларды) талап етеді. Математиканы осылай жасау аксиоматикалық әдіс деп аталады. Аксиоматикалық әдіске қатысты кең таралған көзқарас – логицизм. Альфред Норт Уайтхед пен Бертран Рассел өздерінің "Principia Mathematica" кітабында барлық математикалық теорияны аксиомалар жиынтығына келтіруге тырысты. Жалпы алғанда, ұйғарымдар жиынтығын белгілі бір аксиомалар жинағына дейін тоғыстыру математиктің зерттеу бағдарламасының негізін құрайды. Бұл ХХ ғасыр математикасында, әсіресе гомологиялық алгебраға негізделген салаларда кеңінен таралған. Теорияда қолданылатын нақты аксиомаларды түсіндіру математик жұмыс істегісі келетін абстракция деңгейін анықтауға көмектеседі. Мысалы, математиктер сақиналардың коммутативті болуы міндетті емес деп шешті, бұл Эмми Ноэтердің бастапқы тұжырымынан өзгеше. Математиктер Феликс Хаусдорф алғаш рет тұжырымдаған ажырату аксиомасыз топологиялық кеңістіктерді жалпырақ қарастыруға бейімділік танытты. Зермело-Френкельдің жиынтық теориясы, жиынтық теориясына аксиоматикалық әдістің қолданылуының нәтижесі, жиынтық теориясы мәселелерін дұрыс тұжырымдауға және наивтік жиынтық теориясының парадокстарын болдырмауға мүмкіндік берді. Мұндай мәселелердің бірі – континуум гипотезасы. Тарихи тұрғыдан даулы таңдау аксиомасын қамтитын Зермело-Френкель жиынтық теориясы әдетте ZFC деп белгіленеді, мұндағы "C" – "таңдау" дегенді білдіреді. Көптеген авторлар ZF белгісін Зермело-Френкель жиынтық теориясының аксиомаларын, таңдау аксиомасынсыз білдіру үшін пайдаланады. Бүгінде ZFC аксиоматикалық жиынтық теориясының стандартты түрі болып табылады және математиканың ең көп қолданылатын негізі саналады.

Тарих

Математикалық әдістер ежелгі Мысырда, Вавилонда, Үндістанда және Қытайда белгілі бір деңгейде дамыды, бірақ аксиоматикалық әдіс қолданылмады. Александриялық Евклид ең алғашқы аксиоматикалық түрде Евклид геометриясы мен сандар теориясын жазды. Оның идеясы бес нақты геометриялық қағидадан басталады, олар аксиомалар деп аталады. Содан кейін, осы аксиомаларды пайдаланып, ол басқа да теоремалардың дұрыстығын дәлелдеу арқылы көрсетті, осылайша аксиоматикалық әдіс пайда болды. XIX ғасырда көптеген аксиоматикалық жүйелер құрылды, олардың ішінде Евклид емес геометрия, нақты анализдің негіздері, Кантордың теориялық жиынтығы, Фрегедің негіздер жөніндегі еңбектері және Гилберттің аксиоматикалық әдісті зерттеу құралы ретінде "жаңа" қолдануы бар. Мысалы, топтар теориясы сол ғасырдың соңында алғаш рет аксиоматикалық негізде ұсынылды. Аксиомалар нақтыландырылғаннан кейін (мысалы, кері элементтердің болуы қажеттігі сияқты), бұл сала осы зерттеулердің трансформациялық топтық бастауларына сілтеме жасамастан дербес дамуға мүмкіндік алды.

Мәселелер

Ең әрбір тұтас ұйғарымдар жинағы сипатталатын аксиомалар жинағымен толыққанды қамтыла бермейді. Рекурсия теориясында, аксиомалар жинағы, егер компьютерлік бағдарлама тілдегі берілген ұйғарым теорема екенін анықтай алса, рекурсивті деп аталады. Гёдельдің бірінші толық еместік теоремасы рекурсивті аксиоматизациясы жоқ, тұрақты ұйғарымдар жинағының бар екенін көрсетеді. Әдетте, компьютер теоремаларды шығару үшін аксиомалар мен логикалық ережелерді тани алады, сондай-ақ дәлелдің дұрыстығын да анықтай алады, бірақ бір мәлімдеме үшін дәлелдің болуын анықтау үшін тек дәлелдің немесе оның жоқтығының пайда болуын "күтуге" болады. Соның салдарынан, қай ұйғарымдар теорема екенін білу мүмкін болмайды және аксиоматикалық әдіс күңкірейді. Мұндай ұйғарымдар жинағының мысалы – табиғи сандар теориясы, ол тек Пьяно аксиомаларымен ішінара аксиоматизацияланады (төменде сипатталған). Іс жүзінде, барлық дәлелдер аксиомаларға дейін толыққанды ізделіп табылмайды. Кейде дәлел қай аксиомалар жинағына сүйенгені тіпті анық емес. Мысалы, сандық теориялық мәлімдеме арифметика тілінде (яғни Пьяно аксиомаларының тілінде) тұжырымдалуы мүмкін, ал дәлел топологияға немесе комплекс сандар талдауына сүйенуі мүмкін. Басқа дәлелдің, тек Пьяно аксиомаларынан туындайтыны табылатыны бірден анық болмауы мүмкін. Кез келген, көбінесе кездейсоқ таңдалған аксиомалар жүйесі математикалық теорияның негізі болып табылады, бірақ мұндай кездейсоқ аксиоматикалық жүйе міндетті түрде қайшылықтардан бос болмайды, тіпті егер ол болса да, ештеңеге жарық түсіруі екіталай. Математика философтары кейде математиктер аксиомаларды "кездейсоқ" таңдайды дейді, бірақ олар дедуктивті логиканың канондары тұрғысынан қарағанда ғана кездейсоқ көрінуі мүмкін, және мұндай көрініс дедуктивті логиканың мақсаттарының шектеулерінен туындауы мүмкін.

Мысал: Натурал сандардың Пэно аксиоматизациясы

0, 1, 2, 3, 4 натурал сандарының математикалық жүйесі алғаш рет 1889 жылы математик Джузеппе Пеано жасаған аксиоматикалық жүйеге негізделген. Ол аксиомаларды, бір унарлық функция символы S ( "ұраскер" деген қысқаша атау) тілінде, натурал сандар жиыны үшін былай таңдады:

0 – натурал сан. Кез келген натурал санның а-ның Sa деп белгіленетін ұраскері болады. 0-нің ұраскері болатын натурал сан жоқ. Әртүрлі натурал сандардың әртүрлі ұраскерлері болады: егер a ≠ b болса, онда Sa ≠ Sb. Егер бір қасиет 0-ге және кез келген натурал санның ұраскеріне тән болса, онда ол барлық натурал сандарға тән ("Индукция аксиомасы").

Аксиоматизация

Математикада аксиомалау – білімді алып, оның аксиомаларына кері қарай жұмыс істеу процесі. Бұл – бірнеше бастапқы ұғымдарды байланыстыратын, мәлімдемелер жүйесін (яғни аксиомаларды) құру, осы мәлімдемелерден логикалық тұжырымдарды дедуктивті түрде шығару үшін жасалады. Содан кейін, кез келген теореманың дәлелі, принцип бойынша, осы аксиомаларға дейін жете алуы керек.