Аксиоматические системы в математике и логике

Введение

Математический термин; относящийся к аксиомам, используемым для вывода теорем.

В математике и логике аксиоматическая система – это любой набор первоначальных понятий и аксиом, из которых логически выводятся теоремы. Теория – это непротиворечивый, относительно самодостаточный объем знаний, который обычно включает в себя аксиоматическую систему и все выведенные из нее теоремы. Полностью описанная аксиоматическая система является особым видом формальной системы. Формальная теория – это аксиоматическая система (обычно формулируемая в рамках теории моделей), описывающая множество предложений, замкнутое относительно логического следования. Формальное доказательство – это полное представление математического доказательства в рамках формальной системы.

Свойства

Аксиоматическая система называется непротиворечивой, если она не содержит противоречий. То есть, невозможно вывести как какое-либо утверждение, так и его отрицание из аксиом системы. Непротиворечивость – ключевое требование для большинства аксиоматических систем, поскольку наличие противоречия позволило бы доказать любое утверждение (принцип взрыва). В аксиоматической системе аксиома называется независимой, если она не может быть доказана или опровергнута на основе других аксиом системы. Система называется независимой, если каждая из её базовых аксиом является независимой. В отличие от непротиворечивости, независимость не является необходимым условием для функционирующей аксиоматической системы — хотя её обычно стремятся достичь, чтобы минимизировать количество аксиом в системе. Аксиоматическая система называется полной, если для каждого утверждения либо само это утверждение, либо его отрицание выводимо из аксиом системы (эквивалентно, каждое утверждение может быть доказано как истинное, так и ложное).

Относительная последовательность

Помимо непротиворечивости, относительная непротиворечивость также является признаком ценной аксиоматической системы. Она описывает ситуацию, когда неопределённые термины первой аксиоматической системы получают определения из второй, так что аксиомы первой становятся теоремами второй. Хорошим примером является относительная непротиворечивость абсолютной геометрии по отношению к теории системы вещественных чисел. Линии и точки являются неопределёнными терминами (также называемыми первоначальными понятиями) в абсолютной геометрии, но им присваиваются значения в теории вещественных чисел таким образом, что это согласуется с обеими аксиоматическими системами.

Модели

Модель аксиоматической системы – это четко определенное множество, которое наделяет значениями неопределённые термины, представленные в системе, таким образом, чтобы это соответствовало отношениям, определенным в системе. Существование конкретной модели доказывает непротиворечивость системы. Модель называется конкретной, если присвоенные значения – это объекты и отношения из реального мира, в отличие от абстрактной модели, которая основана на других аксиоматических системах. Модели также могут использоваться для демонстрации независимости аксиомы в системе. Построив корректную модель подсистемы без определенной аксиомы, мы показываем, что исключенная аксиома является независимой, если её истинность не вытекает необходимо из подсистемы. Две модели называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее их отношения. Аксиоматическая система, для которой любая модель изоморфна любой другой, называется категориальной (иногда категорической). Свойство категориальности (категоричности) гарантирует полноту системы, однако обратное неверно: полнота не гарантирует категориальность (категоричность) системы, поскольку две модели могут различаться по свойствам, которые нельзя выразить семантикой системы.

Аксиоматический метод

Формулирование определений и утверждений таким образом, чтобы каждый новый термин мог быть формально сведён к ранее введённым терминам, требует примитивных понятий (аксиом), чтобы избежать бесконечного регресса. Этот подход к математике называется аксиоматическим методом. Распространенным отношением к аксиоматическому методу является логицизм. В своей книге «Principia Mathematica» Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел попытались показать, что вся математическая теория может быть сведена к некоторому набору аксиом. В более общем смысле, сведение совокупности утверждений к конкретному набору аксиом лежит в основе исследовательской программы математика. Это было особенно заметно в математике двадцатого века, в частности, в областях, основанных на гомологической алгебре. Уточнение конкретных аксиом, используемых в теории, может помочь определить подходящий уровень абстракции, с которым математик хотел бы работать. Например, математики решили, что кольца не обязаны быть коммутативными, что отличалось от первоначальной формулировки Эмми Нётер. Математики также решили рассматривать топологические пространства в более общем виде, без аксиомы о разделении, первоначально сформулированной Феликсом Хаусдорфом. Теория множеств Цермело — Френкеля, являющаяся результатом применения аксиоматического метода к теории множеств, позволила «корректно» сформулировать задачи теории множеств и избежать парадоксов наивной теории множеств. Одной из таких задач была гипотеза континуума. Теория множеств Цермело — Френкеля, включающая исторически спорную аксиому выбора, обычно обозначается ZFC, где "C" означает "выбор". Многие авторы используют ZF для обозначения аксиом теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора. Сегодня ZFC является стандартной формой аксиоматической теории множеств и, следовательно, наиболее распространенным основанием математики.

История

Математические методы развивались до определенной степени сложности в Древнем Египте, Вавилоне, Индии и Китае, по-видимому, без применения аксиоматического метода. Евклид Александрийский создал самое раннее сохранившееся аксиоматическое изложение евклидовой геометрии и теории чисел. Его подход начинается с пяти неоспоримых геометрических предпосылок, называемых аксиомами. Затем, используя эти аксиомы, он устанавливал истинность других утверждений посредством доказательств, таким образом возник аксиоматический метод. В девятнадцатом веке было разработано множество аксиоматических систем, включая неевклидову геометрию, основы вещественного анализа, теорию множеств Кантора, работы Фреге по основаниям математики и «новое» применение аксиоматического метода Гильбертом как исследовательского инструмента. Например, теория групп впервые была сформулирована на аксиоматической основе к концу этого столетия. Как только аксиомы были уточнены (например, требование наличия обратных элементов), предмет мог развиваться автономно, не опираясь на происхождение этих исследований из теории преобразований.

Проблемы

Не каждый непротиворечивый набор утверждений может быть представлен в виде описанной коллекции аксиом. В теории рекурсии, коллекция аксиом называется рекурсивной, если компьютерная программа способна распознать, является ли данное утверждение в языке теоремой. Первая теорема о неполноте Гёделя утверждает, что существуют определённые непротиворечивые наборы утверждений, не имеющие рекурсивной аксиоматизации. Как правило, компьютер может распознавать аксиомы и логические правила вывода теорем, а также проверять корректность доказательства, но установление существования доказательства для данного утверждения разрешимо лишь путём “ожидания” его получения или опровержения. В результате невозможно узнать, какие утверждения являются теоремами, и аксиоматический метод перестаёт работать. Примером такого набора утверждений является теория натуральных чисел, которая лишь частично аксиоматизирована аксиомами Пеано (описанными ниже). На практике не каждое доказательство прослеживается до аксиом. Зачастую даже неясно, к какой коллекции аксиом апеллирует доказательство. Например, утверждение из теории чисел может быть сформулировано на языке арифметики (то есть на языке аксиом Пеано), и доказательство может использовать методы топологии или комплексного анализа. Не всегда очевидно, можно ли найти другое доказательство, основанное исключительно на аксиомах Пеано. Любая более или менее произвольно выбранная система аксиом служит основой для некоторой математической теории, но такая произвольная система аксиом не обязательно свободна от противоречий, и даже если это так, она вряд ли позволит получить новые результаты. Философы математики иногда утверждают, что математики выбирают аксиомы “произвольно”, однако возможно, что кажущаяся произвольность обусловлена ограничениями в задачах, решаемых дедуктивной логикой, если рассматривать выбор только с этой точки зрения.

Пример: аксиоматизация натуральных чисел Пеано

Математическая система натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4 основана на аксиоматической системе, впервые разработанной математиком Джузеппе Пеано в 1889 году. Он выбрал аксиомы, используя язык единственного унарного функционального символа S (сокращение от "последующее число"), для множества натуральных чисел:

Существует натуральное число 0. Для любого натурального числа a существует его последующее число, обозначаемое Sa. Не существует натурального числа, последующим числом которого является 0. Различные натуральные числа имеют различные последующие числа: если a ≠ b, то Sa ≠ Sb. Если некоторое свойство выполняется для 0 и для последующего числа любого натурального числа, для которого оно выполняется, то оно выполняется для всех натуральных чисел ("аксиома индукции").

Аксиоматизация

В математике аксиоматизация — это процесс, при котором из совокупности знаний выделяются и формулируются её исходные аксиомы. Это построение системы утверждений (то есть аксиом), связывающих ряд основных понятий, с тем чтобы из этих утверждений дедуктивно выводилась непротиворечивая совокупность теорем. В дальнейшем, доказательство любой теоремы должно, в принципе, опираться на эти аксиомы.