Жиынның барлық ішкі жиындары жиыны

Кіріспе

Математикалық жиын, берілген жиынның барлық кіші жиындықтарын қамтитын. Математикада S жиынтығының қуат жиынтығы (немесе қуаттар жиынтығы) – бұл S-тің барлық кіші жиындықтарының жиынтығы, оның ішінде бос жиынтық және S-тің өзі. Аксиоматикалық жиынтық теориясында (мысалы, ZFC аксиомаларында дамыған), кез келген жиынның қуат жиынтығының болуы қуат жиынтығының аксиомасымен постулатталады. S жиынтығының қуат жиынтығы әр түрлі түрде , , P(S), , , немесе 2^(S) деп белгіленеді. S-тің кез келген кіші жиынтығы S-ке қатысты жиындықтар отбасысы деп аталады.

Қасиеттері

Егер S – кардиналдылығы шекті жиын болса (яғни, |S| = n), онда S жиынының барлық ішкі жиындарының саны 2^n-ге тең. Осы факті және қуат жиынын белгілеу үшін 2^(S) таңбасының себебі төменде көрсетілген. Жиын S-тің A ішкі жиынының индикатор функциясы немесе сипаттама функциясы – бұл S-тен екі элементті жиынға, {0, 1} дейінгі функция, IA деп белгіленеді, және ол S элементі A-ға тиесілі ме, әлдемесе тиесілі емес екенін көрсетеді; егер x ∈ S, x ∈ A болса, онда IA(x) = 1, әйтпесе 0. S жиынының әрбір A ішкі жиыны индикатор функциясы IA арқылы анықталады немесе оған эквивалентті болады, себебі S-тен {0, 1} жиынына дейінгі барлық функциялар жиыны S-тің барлық ішкі жиындарының индикатор функцияларынан тұрады. Басқаша айтқанда, S-тің әрбір элементі кез келген функция бойынша 0 немесе 1-ге сәйкес келеді, сондықтан S-тен {0, 1} жиынына дейінгі барлық функциялардың саны 2^n-ге тең. 2 саны фон Нейман ординалдары арқылы анықталуы мүмкін (мысалы, қараңыз), сондықтан 2^(S) деп те белгіленеді. Бұл әрине осылай. Жалпы алғанда, X^(Y) – Y-ден X-ке дейінгі барлық функциялар жиыны, ал Кантордың диагональдық аргументі жиынның қуат жиынының (шексіз болсын, болмасын) әрқашан өзінен жоғары кардиналдылығы бар екенін көрсетеді (немесе, ресми түрде айтқанда, қуат жиыны бастапқы жиыннан үлкен). Кантор теоремасы санаулы шексіз жиынның қуат жиыны санаулы емес екенін көрсетеді. Натурал сандар жиынының қуат жиынын нақты сандар жиынымен бір-бірге сәйкестікке келтіруге болады (континуумның кардиналдығын қараңыз). Жиын S-тің қуат жиыны, біріктіру, қиылысу және толықтыру операцияларымен бірге S үстіндегі Σ-алгебра болып табылады және оны Буль алгебрасының прототиптік мысалы ретінде қарастыруға болады. Шындығында, кез келген шекті Буль алгебрасы шекті жиынның қуат жиынының Буль алгебрасына изоморфты екенін көрсетуге болады. Шексіз Буль алгебралары үшін бұл енді дұрыс емес, бірақ кез келген шексіз Буль алгебрасын қуат жиыны Буль алгебрасының субалгебрасы ретінде бейнелеуге болады (Стоунның бейнелеу теоремасын қараңыз). Жиын S-тің қуат жиыны симметриялық айырмашылық операциясымен қарастырылғанда (бос жиынды сәйкестік элементі ретінде және әр жиынды өзінің керісі ретінде) абельдік топты, ал қиылысу операциясымен қарастырылғанда коммутативті моноидты құрайды. Сондықтан, үлестіру заңдарын дәлелдеу арқылы, осы екі операциямен бірге қарастырылған қуат жиыны Буль сақинасын құрайды деп көрсетуге болады.

If S is a finite set with the cardinality (i. e., the number of all elements in the set 1=S is 1=n), then the number of all the subsets of S is This fact as well as the reason of the notation 2^(S) denoting the power set are demonstrated in the below. An indicator function or a characteristic function of a subset A of a set S with the cardinality is a function from S to the two element set , denoted as , and it indicates whether an element of S belongs to A or not; If x in S belongs to A, then 1=IA(x) = 1, and 0 otherwise. Each subset A of S is identified by or equivalent to the indicator function IA, and as the set of all the functions from S to consists of all the indicator functions of all the subsets of S. In other words, is equivalent or bijective to the power set Since each element in S corresponds to either 0 or 1 under any function in , the number of all the functions in is 2^(n). Since the number 2 can be defined as (see, for example, von Neumann ordinals), the is also denoted as 2^(S). Obviously holds. Generally speaking, X^(Y) is the set of all functions from Y to X and Cantor's diagonal argument shows that the power set of a set (whether infinite or not) always has strictly higher cardinality than the set itself (or informally, the power set must be larger than the original set). In particular, Cantor's theorem shows that the power set of a countably infinite set is uncountably infinite. The power set of the set of natural numbers can be put in a one to one correspondence with the set of real numbers (see Cardinality of the continuum). The power set of a set S, together with the operations of union, intersection and complement, is a Σ algebra over S and can be viewed as the prototypical example of a Boolean algebra. In fact, one can show that any finite Boolean algebra is isomorphic to the Boolean algebra of the power set of a finite set. For infinite Boolean algebras, this is no longer true, but every infinite Boolean algebra can be represented as a subalgebra of a power set Boolean algebra (see Stone's representation theorem). The power set of a set S forms an abelian group when it is considered with the operation of symmetric difference (with the empty set as the identity element and each set being its own inverse), and a commutative monoid when considered with the operation of intersection. It can hence be shown, by proving the distributive laws, that the power set considered together with both of these operations forms a Boolean ring.

Шектелген кардиналдылығы бар субтоптар

S жиығының кардиналдығы κ-дан кем немесе оған тең болатын ішкі жиындар жиыны кейде немесе [S]^(κ) деп белгіленеді, ал кардиналдығы κ-дан қатаң кем болатын ішкі жиындар жиыны кейде немесе [S]^(<κ) деп белгіленеді. Сол сияқты, S жиығының бос емес ішкі жиындар жиыны немесе деп белгіленуі мүмкін.

Қуат объектісі

Жинақты тривиальді емес операциялары немесе анықтамалық теңдеулері жоқ алгебра ретінде қарастыруға болады. Осы тұрғыдан алғанда, X жинағының қуат жиыны идеясы, X жинағының ішкі жиындары ретінде, алгебралық құрылымның немесе алгебраның субальгебраларына табиғи түрде жалпыланады. Жинақтың қуат жиыны, кіріктіру арқылы реттелгенде, әрқашан толық атомдық Буль алгебрасы болып табылады, және кез келген толық атомдық Буль алгебрасы, кейбір жинақтың барлық ішкі жиындарының торшасы ретінде пайда болады. Кездейсоқ алгебраларға жалпылау: алгебраның субальгебралары жиыны, сонымен қатар кіріктіру арқылы реттелгенде, әрқашан алгебралық тор болып табылады, және кез келген алгебралық тор, кейбір алгебраның субальгебраларының торшасы ретінде пайда болады. Осыған байланысты субальгебралар, ішкі жиындарға ұқсас түрде әрекет етеді. Дегенмен, жалпы субальгебраларға берілмейтін екі маңызды қасиет бар. Біріншіден, жинақтың ішкі жиындары жиынды (сондай-ақ торды) құраса да, кейбір сыныптарда алгебраның субальгебраларын сол сыныптағы алгебра ретінде ұйымдастыру мүмкін болмайды, бірақ оларды әрқашан тор ретінде ұйымдастыруға болады. Екіншіден, жинақтың ішкі жиындары, сол жинақтың функцияларымен бір-бірге сәйкес келеді, ал алгебралар класының құрамында 2 рөлін осылай атқара алатын алгебра бар екендігіне кепілдік жоқ. Алгебралардың кейбір кластары осы екі қасиетті де иеленеді. Бірінші қасиет жиі кездеседі; екеуіне де ие болу жағдайы салыстырмалы түрде сирек. Екі қасиетті де қамтитын бір класс – мультиграфтар. Екі мультиграф G және H берілгенде, h : G → H гомоморфизмі екі функциядан тұрады, біреуі төбелерді төбелерге, екіншісі қабырғаларды қабырғаларға бейнелейді. G-ден H-ға дейінгі гомоморфизмдердің H^(G) жиынын, осы жиында пайда болатын төбелер мен қабырғалар функцияларының төбелері мен қабырғалары болатын граф ретінде ұйымдастыруға болады. Сонымен қатар, мультиграф G-нің ішкі графтары, G-ден Ω мультиграфына дейінгі граф гомоморфизмдерімен бір-бірге сәйкес келеді. Бұл екі төбесі бар толық бағытталған граф ретінде анықталады (осыдан төрт қабырға, атап айтқанда екі өзіндік цикл және тағы екі қабырға цикл құрайды), сондай-ақ бесінші қабырғамен толықтырылады, атап айтқанда бірінші төбедегі екінші өзіндік цикл. Сондықтан G-нің ішкі графтарын G-нің қуат объектісі деп аталатын Ω^(G) мультиграфы ретінде ұйымдастыруға болады. Мультиграфтың алгебра ретінде ерекшелігі – оның операциялары бірлік болып табылады. Мультиграфтың V төбелері мен E қабырғалары жиынтығын құрайтын екі түрі бар, және екі бірлік операциясы s, t : E → V, әр қабырғаның бастапқы (бастапқы) және соңғы (аяқталу) төбелерін анықтайды. Барлық операциялары бірлік болатын алгебра прешеф деп аталады. Прешефтердің кез келген класы прешеф Ω-ны қамтиды, ол субальгебралар үшін 2-нің ішкі жиындар үшін атқаратын рөлді атқарады. Мұндай класс – жабық (сондай-ақ картезиялық жабық) және субобъект жіктегіші деп аталатын Ω объектісі бар категория ретінде элементарлық топостың жалпы түсінігінің ерекше жағдайы. "Қуат объектісі" термині кейде экспоненциалдық объектімен синоним ретінде қолданылса да, топос теориясында Y-нің Ω болуы қажет.

A set can be regarded as an algebra having no nontrivial operations or defining equations. From this perspective, the idea of the power set of X as the set of subsets of X generalizes naturally to the subalgebras of an algebraic structure or algebra. The power set of a set, when ordered by inclusion, is always a complete atomic Boolean algebra, and every complete atomic Boolean algebra arises as the lattice of all subsets of some set. The generalization to arbitrary algebras is that the set of subalgebras of an algebra, again ordered by inclusion, is always an algebraic lattice, and every algebraic lattice arises as the lattice of subalgebras of some algebra. So in that regard, subalgebras behave analogously to subsets. However, there are two important properties of subsets that do not carry over to subalgebras in general. First, although the subsets of a set form a set (as well as a lattice), in some classes it may not be possible to organize the subalgebras of an algebra as itself an algebra in that class, although they can always be organized as a lattice. Secondly, whereas the subsets of a set are in bijection with the functions from that set to the set , there is no guarantee that a class of algebras contains an algebra that can play the role of 2 in this way. Certain classes of algebras enjoy both of these properties. The first property is more common; the case of having both is relatively rare. One class that does have both is that of multigraphs. Given two multigraphs G and H, a homomorphism h : G → H consists of two functions, one mapping vertices to vertices and the other mapping edges to edges. The set H^(G) of homomorphisms from G to H can then be organized as the graph whose vertices and edges are respectively the vertex and edge functions appearing in that set. Furthermore, the subgraphs of a multigraph G are in bijection with the graph homomorphisms from G to the multigraph Ω definable as the complete directed graph on two vertices (hence four edges, namely two self loops and two more edges forming a cycle) augmented with a fifth edge, namely a second self loop at one of the vertices. We can therefore organize the subgraphs of G as the multigraph Ω^(G), called the power object of G.

What is special about a multigraph as an algebra is that its operations are unary. A multigraph has two sorts of elements forming a set V of vertices and E of edges, and has two unary operations s, t : E → V giving the source (start) and target (end) vertices of each edge. An algebra all of whose operations are unary is called a presheaf. Every class of presheaves contains a presheaf Ω that plays the role for subalgebras that 2 plays for subsets. Such a class is a special case of the more general notion of elementary topos as a category that is closed (and moreover cartesian closed) and has an object Ω, called a subobject classifier. Although the term "power object" is sometimes used synonymously with exponential object , in topos theory Y is required to be Ω.

Функторлар мен сандық белгілер

Ковариантты және контравариантты қуат жиынтығы функторы бар, ал ковариантты функтор қарапайым түрде анықталады: S жиынын және f: S → T морфизмін (мұнда жиындар арасындағы функция) оның бейне морфизміне жіберу арқылы. Яғни, бұл мақалада басқа жерде қуат жиынтығы S-тен 2 элементі бар жиынғағы функциялар жиыны ретінде анықталған. Формальды түрде, бұл табиғи изоморфизмді анықтайды. Контравариантты қуат жиынтығы функторы ковариантты нұсқадан оның f-ті кері бейне морфизміне жіберуімен ерекшеленеді, сондықтан егер. Бұл себебі, жалпы функтор h арқылы алдын ала құрастыру арқылы морфизмді алады, сондықтан функция, b-ден c-ге дейінгі морфизмдерді алып, оларды h арқылы b арқылы a-дан c-ге дейінгі морфизмдерге айналдырады. Категориялар теориясында және элементарлық топостар теориясында әмбебап квантор қуат жиынтықтары арасындағы функтордың оң жақ қосымшасы, жиындар арасындағы функцияның кері бейне функторы ретінде түсіндіріледі; демек, экзистенциалдық квантор сол жақ қосымша болып табылады.