Множество степеней: определение и свойства

Введение

Математическое множество, содержащее все подмножества данного множества, разработчик поисковой системы. В математике, степенное множество (или powerset) множества S — это множество всех подмножеств S, включая пустое множество и само S. В аксиоматической теории множеств (как развита, например, в аксиомах ZFC), существование степенного множества любого множества постулируется аксиомой о степенном множестве. Степенное множество S обозначается как , , P(S), , , или 2^(S). Любое подмножество степенного множества называется семейством множеств над S.

Свойства

Если S — конечное множество с кардинальностью (т. е. число всех элементов в множестве |S| равно n), то число всех подмножеств S равно 2^n. Этот факт, а также причина обозначения 2^S, обозначающего множество степеней, продемонстрированы ниже. Индикаторная функция или характеристическая функция подмножества A множества S с кардинальностью n — это функция из S в множество двух элементов {0, 1}, обозначаемая как I_A, и она указывает, принадлежит ли элемент x из S к A или нет; если x принадлежит A, то I_A(x) = 1, и 0 в противном случае. Каждое подмножество A множества S идентифицируется или эквивалентно индикаторной функции I_A, и множество всех функций из S в {0, 1} состоит из всех индикаторных функций всех подмножеств S. Другими словами, {0, 1}^S эквивалентно или биективно множеству степеней P(S). Поскольку каждый элемент в S соответствует либо 0, либо 1 при любой функции из {0, 1}^S, число всех функций в {0, 1}^S равно 2^n. Поскольку число 2 может быть определено как преемник 0 (см., например, ординалы фон Неймана), то {0, 1}^S также обозначается как 2^S. Очевидно, что |P(S)| = 2^n. Вообще говоря, X^Y — это множество всех функций из Y в X, и диагональный аргумент Кантора показывает, что множество степеней множества (конечного или бесконечного) всегда имеет строго большую кардинальность, чем само множество (или, неформально, множество степеней должно быть больше, чем исходное множество). В частности, теорема Кантора показывает, что множество степеней счетно бесконечного множества несчетно бесконечно. Множество степеней множества натуральных чисел может быть приведено к взаимно однозначному соответствию с множеством действительных чисел (см. Кардинальность континуума). Множество степеней множества S, вместе с операциями объединения, пересечения и дополнения, является σ-алгеброй над S и может рассматриваться как прототипичный пример булевой алгебры. Фактически, можно показать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре множества степеней конечного множества. Для бесконечных булевых алгебр это уже неверно, но каждая бесконечная булева алгебра может быть представлена как подалгебра булевой алгебры множества степеней (см. теорему представления Стоуна). Множество степеней множества S образует абелеву группу, если рассматривать его с операцией симметрической разности (с пустым множеством в качестве нейтрального элемента и каждым множеством в качестве своей собственной обратной), и коммутативный моноид, если рассматривать его с операцией пересечения. Следовательно, можно показать, доказывая дистрибутивные законы, что множество степеней, рассматриваемое вместе с обеими этими операциями, образует булево кольцо.

If S is a finite set with the cardinality (i. e., the number of all elements in the set 1=S is 1=n), then the number of all the subsets of S is This fact as well as the reason of the notation 2^(S) denoting the power set are demonstrated in the below. An indicator function or a characteristic function of a subset A of a set S with the cardinality is a function from S to the two element set , denoted as , and it indicates whether an element of S belongs to A or not; If x in S belongs to A, then 1=IA(x) = 1, and 0 otherwise. Each subset A of S is identified by or equivalent to the indicator function IA, and as the set of all the functions from S to consists of all the indicator functions of all the subsets of S. In other words, is equivalent or bijective to the power set Since each element in S corresponds to either 0 or 1 under any function in , the number of all the functions in is 2^(n). Since the number 2 can be defined as (see, for example, von Neumann ordinals), the is also denoted as 2^(S). Obviously holds. Generally speaking, X^(Y) is the set of all functions from Y to X and Cantor's diagonal argument shows that the power set of a set (whether infinite or not) always has strictly higher cardinality than the set itself (or informally, the power set must be larger than the original set). In particular, Cantor's theorem shows that the power set of a countably infinite set is uncountably infinite. The power set of the set of natural numbers can be put in a one to one correspondence with the set of real numbers (see Cardinality of the continuum). The power set of a set S, together with the operations of union, intersection and complement, is a Σ algebra over S and can be viewed as the prototypical example of a Boolean algebra. In fact, one can show that any finite Boolean algebra is isomorphic to the Boolean algebra of the power set of a finite set. For infinite Boolean algebras, this is no longer true, but every infinite Boolean algebra can be represented as a subalgebra of a power set Boolean algebra (see Stone's representation theorem). The power set of a set S forms an abelian group when it is considered with the operation of symmetric difference (with the empty set as the identity element and each set being its own inverse), and a commutative monoid when considered with the operation of intersection. It can hence be shown, by proving the distributive laws, that the power set considered together with both of these operations forms a Boolean ring.

Подмножества ограниченной кардинальности

Множество подмножеств S с кардинальностью, не превосходящей κ, иногда обозначается или [S]^(κ), а множество подмножеств с кардинальностью строго меньше κ иногда обозначается или [S]^(<κ). Аналогично, множество непустых подмножеств S может быть обозначено или .

Объект мощности

Множество можно рассматривать как алгебру, не имеющую нетривиальных операций или определяющих уравнений. С этой точки зрения, идея множества степеней X как множества подмножеств X естественным образом обобщается на субальгебры алгебраической структуры или алгебры. Множество степеней множества, упорядоченное по включению, всегда является полной атомной булевой алгеброй, и каждая полная атомная булева алгебра возникает как решетка всех подмножеств некоторого множества. Обобщение на произвольные алгебры состоит в том, что множество субальгебр алгебры, также упорядоченное по включению, всегда является алгебраической решеткой, и каждая алгебраическая решетка возникает как решетка субальгебр некоторой алгебры. В этом отношении субальгебры ведут себя аналогично подмножествам. Однако существуют два важных свойства подмножеств, которые не переносятся на субальгебры в общем случае. Во-первых, хотя подмножества множества образуют множество (а также решетку), в некоторых классах может оказаться невозможным организовать субальгебры алгебры как саму алгебру в этом классе, хотя их всегда можно организовать как решетку. Во-вторых, в то время как подмножества множества находятся во взаимно однозначном соответствии с функциями из этого множества в множество {0, 1}, нет гарантии, что класс алгебр содержит алгебру, которая может играть роль 2 таким образом. Определенные классы алгебр обладают обоими этими свойствами. Первое свойство встречается чаще; наличие обоих свойств относительно редко. Один из классов, обладающих обоими свойствами, — это мультиграфы. Для двух мультиграфов G и H гомоморфизм h : G → H состоит из двух функций: одной, отображающей вершины в вершины, и другой, отображающей ребра в ребра. Множество H^(G) гомоморфизмов из G в H можно организовать как граф, вершины и ребра которого соответственно являются функциями вершин и ребер, входящими в это множество. Более того, подграфы мультиграфа G находятся во взаимно однозначном соответствии с гомоморфизмами графов из G в мультиграф Ω, определяемый как полный ориентированный граф на двух вершинах (следовательно, четыре ребра: два петли и два ребра, образующих цикл), дополненный пятым ребром — вторым петлей на одной из вершин. Таким образом, мы можем организовать подграфы G как мультиграф Ω^(G), называемый объект степеней G. Что отличает мультиграф как алгебру, так это то, что его операции унарны. Мультиграф имеет два типа элементов, образующих множество V вершин и E ребер, и имеет две унарные операции s, t : E → V, задающие начальную и конечную вершины каждого ребра. Алгебра, все операции которой унарны, называется предсхемой. Каждый класс предсхем содержит предсхему Ω, которая играет роль для субальгебр, аналогичную роли 2 для подмножеств. Такой класс является частным случаем более общего понятия элементарного топоса как категории, которая замкнута (и, более того, картезиански замкнута) и имеет объект Ω, называемый классификатором подобъектов. Хотя термин «объект степеней» иногда используется как синоним «экспоненциального объекта», в теории топосов Y требуется быть равным Ω.

A set can be regarded as an algebra having no nontrivial operations or defining equations. From this perspective, the idea of the power set of X as the set of subsets of X generalizes naturally to the subalgebras of an algebraic structure or algebra. The power set of a set, when ordered by inclusion, is always a complete atomic Boolean algebra, and every complete atomic Boolean algebra arises as the lattice of all subsets of some set. The generalization to arbitrary algebras is that the set of subalgebras of an algebra, again ordered by inclusion, is always an algebraic lattice, and every algebraic lattice arises as the lattice of subalgebras of some algebra. So in that regard, subalgebras behave analogously to subsets. However, there are two important properties of subsets that do not carry over to subalgebras in general. First, although the subsets of a set form a set (as well as a lattice), in some classes it may not be possible to organize the subalgebras of an algebra as itself an algebra in that class, although they can always be organized as a lattice. Secondly, whereas the subsets of a set are in bijection with the functions from that set to the set , there is no guarantee that a class of algebras contains an algebra that can play the role of 2 in this way. Certain classes of algebras enjoy both of these properties. The first property is more common; the case of having both is relatively rare. One class that does have both is that of multigraphs. Given two multigraphs G and H, a homomorphism h : G → H consists of two functions, one mapping vertices to vertices and the other mapping edges to edges. The set H^(G) of homomorphisms from G to H can then be organized as the graph whose vertices and edges are respectively the vertex and edge functions appearing in that set. Furthermore, the subgraphs of a multigraph G are in bijection with the graph homomorphisms from G to the multigraph Ω definable as the complete directed graph on two vertices (hence four edges, namely two self loops and two more edges forming a cycle) augmented with a fifth edge, namely a second self loop at one of the vertices. We can therefore organize the subgraphs of G as the multigraph Ω^(G), called the power object of G.

What is special about a multigraph as an algebra is that its operations are unary. A multigraph has two sorts of elements forming a set V of vertices and E of edges, and has two unary operations s, t : E → V giving the source (start) and target (end) vertices of each edge. An algebra all of whose operations are unary is called a presheaf. Every class of presheaves contains a presheaf Ω that plays the role for subalgebras that 2 plays for subsets. Such a class is a special case of the more general notion of elementary topos as a category that is closed (and moreover cartesian closed) and has an object Ω, called a subobject classifier. Although the term "power object" is sometimes used synonymously with exponential object , in topos theory Y is required to be Ω.

Функторы и количественные показатели

Существует как ковариантный, так и контравариантный функтор множества мощностей, и ковариантный функтор определяется проще: как функтор, который отображает множество S в множество его подмножеств, а морфизм f: S → T (то есть, функцию между множествами) – в морфизм образа. То есть, для множества S, это отображение в множество всех функций из S в множество с двумя элементами. Формально, это определяет естественный изоморфизм. Контравариантный функтор множества мощностей отличается от ковариантного тем, что он отображает f в морфизм прообраза, так что если f: S → T, то прообраз f отображается в морфизм, действующий из T в S. Это связано с тем, что общий функтор отображает морфизм в предкомпозицию с h, то есть в функцию, которая принимает морфизмы из b в c и переводит их в морфизмы из a в c через b посредством h.

В теории категорий и теории элементарных топосов универсальный квантор можно понимать как правый сопряженный функтор между множествами мощностей, а именно – как функтор обратного образа функции между множествами; аналогично, экзистенциальный квантор является левым сопряженным.