Кері есептеулер: Геодезияда қолданылуы

Кері проблемалар: бақылаулар негізінде себептерді анықтау, геодезияда қолданылуы. Математика, физика, медицинадағы маңызды есептеулер. 🔍📈

15 мин оқу

100%

Дереккөз: Inverse problem — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Байқаулар жиынтығын тудырған себептік факторларды есептеу процесі, геодезияда қолданылуы. Ғылымдағы кері проблема – бұл байқаулар жиынтығынан оларды тудырған себептік факторларды есептеу процесі: мысалы, рентгендік компьютерлік томографияда бейнені есептеу, акустикадағы көзді қалпына келтіру немесе Жердің гравитациялық өрісінің өлшемдерінен оның тығыздығын есептеу. Бұл кері проблема деп аталады, себебі ол әсерлерден басталып, содан кейін себептерді есептейді. Бұл алғы проблеманың керісі, ол себептерден басталып, содан кейін әсерлерді есептейді. Кері проблемалар – ғылым мен математикадағы ең маңызды математикалық проблемалардың бірі, өйткені олар тікелей байқау мүмкін емес параметрлер туралы мәлімет береді. Олар жүйелерді идентификациялау, оптика, радар, акустика, коммуникация теориясы, сигналды өңдеу, медициналық бейнелеу, компьютерлік көру, геофизика, океанография, астрономия, қашықтан зондтау, табиғи тілді өңдеу, машиналық оқыту, құрылымдық емес сынақтар, беткейлердің тұрақтылығын талдау және тағы да көптеген салаларда кеңінен қолданылады.

Тарих

Физиктерді ғасырлар бойы әсерден бастап, себептерін табу қызықтырды. Тарихи мысал ретінде Адамс пен Ле Верье есептеулері Уранның бұзылған траекториясынан Нептунды табуға әкелді. Алайда кері проблемаларды ресми зерттеу 20 ғасырға дейін басталған жоқ. Кері проблеманың шешімінің алғашқы мысалдарының бірі Герман Вейльдің 1911 жылы жариялаған, Лаплас-Белтрами операторының өзіндік мәндерінің асимптотикалық мінез-құлқын сипаттайтын еңбегі болды. Бүгінде Вейл заңы деп аталатын бұл заңдылықты барабанның пішінін есту мүмкін бе деген сұраққа жауап ретінде түсіну оңай. Вейл барабанның өзіндік жиіліктері барабанның ауданы мен периметріне белгілі бір теңдеу арқылы байланысты болады деп болжады, бұл нәтиже кейін математиктер тарапынан жақсартылды. Кері проблемалар саласына кейіннен совет армян физигі Виктор Амбарцумиан үлкен үлес қосты. Студент кезінде Амбарцумиан атом құрылымы теориясын, энергия деңгейлерінің қалыптасуын, Шредингер теңдеуін және оның қасиеттерін мұқият зерттеді. Дифференциалдық теңдеулердің өзіндік мәндері теориясын меңгерген соң, ол дискретті энергия деңгейлері мен дифференциалдық теңдеулердің өзіндік мәндері арасындағы көзге көрінетін ұқсастықты көрсетті. Содан кейін ол: берілген өзіндік мәндер жиыны бойынша, олардың өзіндік мәндері болатын теңдеулерді табуға бола ма? деген сұрақ қойды. Негізінде Амбарцумиан тербелістегі саптың теңдеулерін анықтаумен айналысатын кері Штурм-Лиувилл мәселесін зерттеді. Бұл мақала 1929 жылы неміс физика журналы Zeitschrift für Physik-те жарияланды және ұзақ уақыт бойы көңілсіз қалды. Осы жағдайды көп жылдар өткен соң сипаттап, Амбарцумиан: "Егер астроном физикалық журналға математикалық мазмұндағы мақала жарияласа, онда оны ұмыту ықтималдығы жоғары" деді. Дегенмен, Екінші дүниежүзілік соғыстың соңында 20 жасар Амбарцумиан жазған бұл мақаланы швед математиктері тауып алды және кері проблемаларды зерттеудің жаңа саласының бастауы болды, соның нәтижесінде бүкіл ғылымның негізі қаланды. Содан кейін, әсіресе Кеңес Одағындағы Гельфанд пен Левитан тарапынан кері шашырау проблемасын "тікелей шешуге" маңызды күш-жігер жұмсалды. Олар шешімді анықтау үшін аналитикалық конструктивті әдіс ұсынды. Компьютерлер қолжетімді болған кезде, кейбір авторлар осы тәсілді ұқсас проблемаларға, мысалы 1D толқын теңдеуіндегі кері проблемаға қолдану мүмкіндігін зерттеді. Бірақ тез арада инверсияның тұрақсыз процесс екені анықталды: шу мен қателер өте күшейе алады, бұл тікелей шешімді жүзеге асыруды қиын етеді. Содан кейін, 70-жылдардың басында ең кіші квадраттар және ықтималдық тәсілдер пайда болды және әртүрлі физикалық жүйелерде қолданылатын параметрлерді анықтау үшін өте пайдалы болды. Бұл тәсіл сәттілікке жетті. Қазіргі кезде кері проблемалар физикадан басқа химия, экономика және компьютерлік ғылымдар сияқты салаларда да зерттеледі. Соңында, сандық модельдер қоғамның көптеген салаларында кеңінен қолданылатындықтан, осы сандық модельдердің әрқайсысына байланысты кері проблема туындауы мүмкін.

Starting with the effects to discover the causes has concerned physicists for centuries. A historical example is the calculations of Adams and Le Verrier which led to the discovery of Neptune from the perturbed trajectory of Uranus. However, a formal study of inverse problems was not initiated until the 20th century. One of the earliest examples of a solution to an inverse problem was discovered by Hermann Weyl and published in 1911, describing the asymptotic behavior of eigenvalues of the Laplace–Beltrami operator. Today known as Weyl's law, it is perhaps most easily understood as an answer to the question of whether it is possible to hear the shape of a drum. Weyl conjectured that the eigenfrequencies of a drum would be related to the area and perimeter of the drum by a particular equation, a result improved upon by later mathematicians. The field of inverse problems was later touched on by Soviet Armenian physicist, Viktor Ambartsumian. While still a student, Ambartsumian thoroughly studied the theory of atomic structure, the formation of energy levels, and the Schrödinger equation and its properties, and when he mastered the theory of eigenvalues of differential equations, he pointed out the apparent analogy between discrete energy levels and the eigenvalues of differential equations. He then asked: given a family of eigenvalues, is it possible to find the form of the equations whose eigenvalues they are? Essentially Ambartsumian was examining the inverse Sturm–Liouville problem, which dealt with determining the equations of a vibrating string. This paper was published in 1929 in the German physics journal Zeitschrift für Physik and remained in obscurity for a rather long time. Describing this situation after many decades, Ambartsumian said, "If an astronomer publishes an article with a mathematical content in a physics journal, then the most likely thing that will happen to it is oblivion." Nonetheless, toward the end of the Second World War, this article, written by the 20 year old Ambartsumian, was found by Swedish mathematicians and formed the starting point for a whole area of research on inverse problems, becoming the foundation of an entire discipline. Then important efforts have been devoted to a "direct solution" of the inverse scattering problem especially by Gelfand and Levitan in the Soviet Union. They proposed an analytic constructive method for determining the solution. When computers became available, some authors have investigated the possibility of applying their approach to similar problems such as the inverse problem in the 1D wave equation. But it rapidly turned out that the inversion is an unstable process: noise and errors can be tremendously amplified making a direct solution hardly practicable. Then, around the seventies, the least squares and probabilistic approaches came in and turned out to be very helpful for the determination of parameters involved in various physical systems. This approach met a lot of success. Nowadays inverse problems are also investigated in fields outside physics, such as chemistry, economics, and computer science. Eventually, as numerical models become prevalent in many parts of society, we may expect an inverse problem associated with each of these numerical models.

Елементар мысал: Жердің гравитациялық өрісі

Тек бірнеше физикалық жүйелер модель параметрлеріне қатысты шынайы сызықтық болып табылады. Геофизикадағы осындай жүйелердің бірі – Жердің гравитациялық өрісі. Жердің гравитациялық өрісі Жердің жер астындағы тығыздық таралуымен анықталады. Жердің литологиясы айтарлықтай өзгеретіндіктен, Жер бетінде Жердің гравитациялық өрісінің шағын айырмашылықтарын байқай аламыз. Гравитация туралы біздің түсінігімізден (Ньютонның гравитация заңы) гравитацияның математикалық өрнегі мынадай: мұндағы – жергілікті гравитациялық үдеудің өлшемі, – әмбебап гравитациялық тұрақты, – жер астындағы тау жыныстарының жергілікті массасы (тығыздыққа байланысты) және – массадан бақылау нүктесіне дейінгі қашықтық. Жоғарыдағы өрнекті дискреттеу арқылы Жер бетіндегі дискретті деректерді бақылауларды жер астындағы біз көбірек білгіміз келетін дискретті модель параметрлеріне (тығыздыққа) байланыстыра аламыз. Мысалы, Жер бетінде 5 нүктеде өлшеулер жүргізілген жағдайды қарастырайық. Бұл жағдайда біздің дерек векторымыз (5×1) өлшемді бағандық вектор болып табылады: оның i-ші компоненті i-ші бақылау орнымен байланысты. Біз сондай-ақ жер қойнауында белгілі орналасуы бар бес белгісіз масса бар екенін білеміз (шындыққа жатпаса да, ұғымды көрсету үшін қолданылады): i-ші бақылау орны мен j-ші масса арасындағы қашықтықты арқылы белгілейміз. Осылайша, бес белгісіз массаны бес дерек нүктесіне байланыстыратын сызықтық жүйені келесідей құрастыруға болады: Деректерімізге сәйкес модель параметрлерін табу үшін біз матрицаны кері қайтара аламыз, өлшеулерді тікелей модель параметрлеріне аударуға болады. Мысалы: Бес теңдеу мен бес белгісізі бар жүйе – өте ерекше жағдай: біздің мысалымыз осы ерекшелікке жету үшін жасалған. Жалпы, деректер мен белгісіздер саны әртүрлі болғандықтан, матрица квадрат емес. Алайда, тіпті квадрат матрицаның да керісі болмауы мүмкін: матрицаның рангі жеткіліксіз болуы мүмкін (яғни, нөлдік өзіндік мәндері бар) және жүйенің шешімі бірегей емес. Сонда кері мәселенің шешімі анықталмайды. Бұл – бірінші қиындық. Артық анықталған жүйелерде (белгісіздерден гөрі көбірек теңдеулер) басқа да мәселелер бар. Сонымен қатар, шу байқауларымызды бұзуы мүмкін, нәтижесінде жүйенің шешімі болмауы мүмкін, себебі ол модель параметрлеріне мүмкін жауаптар кеңістігінен тысқа шығуы мүмкін. Бұл – тағы бір қиындық.

Only a few physical systems are actually linear with respect to the model parameters. One such system from geophysics is that of the Earth's gravitational field. The Earth's gravitational field is determined by the density distribution of the Earth in the subsurface. Because the lithology of the Earth changes quite significantly, we are able to observe minute differences in the Earth's gravitational field on the surface of the Earth. From our understanding of gravity (Newton's Law of Gravitation), we know that the mathematical expression for gravity is:

here is a measure of the local gravitational acceleration, is the universal gravitational constant, is the local mass (which is related to density) of the rock in the subsurface and is the distance from the mass to the observation point. By discretizing the above expression, we are able to relate the discrete data observations on the surface of the Earth to the discrete model parameters (density) in the subsurface that we wish to know more about. For example, consider the case where we have measurements carried out at 5 locations on the surface of the Earth. In this case, our data vector, is a column vector of dimension (5×1): its th component is associated with the th observation location. We also know that we only have five unknown masses in the subsurface (unrealistic but used to demonstrate the concept) with known location: we denote by the distance between the th observation location and the th mass. Thus, we can construct the linear system relating the five unknown masses to the five data points as follows:

To solve for the model parameters that fit our data, we might be able to invert the matrix to directly convert the measurements into our model parameters. For example:

A system with five equations and five unknowns is a very specific situation: our example was designed to end up with this specificity. In general, the numbers of data and unknowns are different so that matrix is not square. However, even a square matrix can have no inverse: matrix can be rank deficient (i. e. has zero eigenvalues) and the solution of the system is not unique. Then the solution of the inverse problem will be undetermined. This is a first difficulty. Over determined systems (more equations than unknowns) have other issues. Also noise may corrupt our observations making possibly outside the space of possible responses to model parameters so that solution of the system may not exist. This is another difficulty.

Бірінші қиындықты жеңу құралдары

Бірінші қиындық маңызды мәселені көрсетеді: біздің байқауларымызда жеткілікті ақпарат жоқ және қосымша деректер қажет. Қосымша деректер параметрлердің мәндері, олардың кеңістіктегі таралуы немесе жалпы алғанда, олардың өзара тәуелділігі туралы физикалық алдын ала ақпараттан алынуы мүмкін. Бұл басқа эксперименттерден де түсуі мүмкін: мысалы, тығыздықты жақсы бағалау үшін гравиметрлер мен сейсмографтар тіркеген деректерді біріктіруді қарастыруға болады. Бұл қосымша ақпаратты енгізу негізінен статистикалық мәселе болып табылады. Осы ғылым әртүрлі табиғаттағы шамаларды қалай үйлестіру керектігіне жауап бере алады. Біз бұл туралы "Бейзиандық тәсіл" бөлімінде толығырақ тоқталамыз. Таратылған параметрлерге қатысты, олардың кеңістіктегі таралуы туралы алдын ала ақпарат көбінесе осы таратылған параметрлердің туындылары туралы ақпараттан тұрады. Сондай-ақ, деректерге оңтайлы сәйкес келетін "ең қарапайым" модельді іздеу, тіпті бұл жасанды болса да, кең таралған тәжірибе. Бұл әдетте параметрлердің градиентінің нормасын (немесе жалпы өзгеруін) жоғары бағалау арқылы жүзеге асырылады (бұл тәсіл энтропияны максимизациялау деп те аталады). Модельді қажет болған жағдайда ғана еркіндік дәрежесін енгізетін параметрлеу арқылы да қарапайым етуге болады. Қосымша ақпаратты модель параметрлері немесе олардың функциялары бойынша теңсіздік шектеулері арқылы да интеграциялауға болады. Мұндай шектеулер параметрлердің (мысалы, теріс мәндер) шынайы емес мәндерін алудың алдын алу үшін маңызды. Бұл жағдайда модель параметрлері құрайтын кеңістік енді векторлық кеңістік емес, бірақ кейін белгіленетін рұқсат етілген модельдердің ішкі жиыны болады.

Екінші қиындықты жеңу құралдары

Жоғарыда айтылғандай, шу деңгейі соншалықты жоғары болуы мүмкін, біздің өлшемдеріміз ешқандай модельдің бейнесін көрсетпейді. Сондықтан деректерді тудыратын модельді іздеудің орнына, ең жақсы (немесе оңтайлы) модельді іздеуіміз керек: яғни деректерге ең жақсы сәйкес келетін модельді. Бұл бізді объективті функцияны азайтуға жетелейді, атап айтқанда, қалдықтардың мөлшерін немесе болжамды деректердің байқалған деректерден қаншалықты алшақтығын анықтайтын функционалды. Әрине, егер бізде мінсіз деректер болса (яғни шу болмаса), қалпына келтірілген модель байқалған деректерге толық сәйкес келуі керек. Стандартты объективті функция мына түрде болады:

мұнда – қалдықтардың Евклид нормасы (өлшемдер үлгілер емес, функциялар болған жағдайда – норма). Бұл тәсіл статистикада кеңінен қолданылатын ең кіші квадраттар әдісін пайдалануды білдіреді. Дегенмен, Евклид нормасы сыртқы мәндерге (outliers) өте сезімтал екені белгілі: осы қиындықтың алдын алу үшін біз Евклид нормасының орнына басқа қашықтықтарды, мысалы, нормасын қолдануды қарастыра аламыз.

Бейес әдісі

Ең кіші квадраттар әдісіне өте ұқсас ықтималдық әдісі бар: егер деректерді бұзған шудың статистикасын білсек, ең ықтимал модельді m іздеуге болады, яғни ең жоғары ықтималдық критерийіне сәйкес келетін модельді. Егер шу Гаусс еселі болса, ең жоғары ықтималдық критерийі ең кіші квадраттар критерийі түрінде көрінеді, деректер кеңістігіндегі Евклидтік скалярлық көбейтінді шудың ковариациясын ескеретін скалярлық көбейтіндімен алмастырылады. Сондай-ақ, модель параметрлері туралы алдын ала мәліметтер болған жағдайда, кері проблеманы шешу үшін Байес қорытындысын қолдануға болады. Бұл тәсіл Тарантоланың кітабында толыққанды сипатталған.

Бастауыш мысалының сандық шешімі

Мұнда деректердің қателіктерін сандық бағалау үшін Евклид нормасын қолданамыз. Біз сызықтық кері мәселені шешеміз, сондықтан мақсатты функция квадраттық болады. Оны ең аз мәнге дейін келтіру үшін, оның градиентін дәл сол қағида бойынша есептеу дәстүрлі болып табылады (біз бір ғана айнымалының функциясын ең аз мәнге дейін келтіргендей). Оптималды модельде бұл градиент нөлге теңеседі, оны былай жазуға болады:

мұнда FT – F матрицасының транспозын білдіреді. Бұл теңдеу келесідей қарапайымдалады:

Бұл өрнек нормалық теңдеу деп аталады және кері мәселенің мүмкін шешімін береді. Біздің мысалымызда матрица әдетте толық дәрежелі болып шығады, сондықтан жоғарыдағы теңдеунің мағынасы бар және модель параметрлерін бірегей түрде анықтайды: бірегей шешімге қол жеткізу үшін қосымша ақпаратты қосудың қажеті жоқ.

Математикалық және есептеу аспектілері

Кері проблемалар математикалық модельдеуде әдетте кездесетін жақсы қойылған проблемаларға қарама-қарсы, көбінесе нашар қойылады. Жак Хадамар ұсынған жақсы қойылған мәселенің үш шарты (шешімнің немесе шешімдердің болуы, бірегейлігі және тұрақтылығы) ішінде, тұрақтылық шарты ең көп бұзылады. Функционалдық талдау тұрғысынан, кері проблема метрикалық кеңістіктер арасындағы бейнелеу арқылы көрсетіледі. Кері проблемалар көбінесе шексіз өлшемді кеңістіктерде формулировкаланса да, өлшемдердің шектеулі саны және белгісіз параметрлердің шектеулі санын ғана анықтау қажеттігі, проблемаларды дискретті түрге келтіруге әкелуі мүмкін. Бұл жағдайда кері проблема көбінесе нашар шартталған болады. Мұндай жағдайларда, шешімге жұмсақ шарттар енгізу және артық үйлесімділіктің (overfitting) алдын алу үшін реттеу қолданылуы мүмкін. Көптеген реттелген кері проблемалар Байес қорытындысының ерекше жағдайлары ретінде қарастырылуы мүмкін.

Оптимизациялау мәселесінің сандық шешімі

Кейбір кері проблемалардың өте қарапайым шешімі бар, мысалы, бір рет шешілмейтін функциялар жиынтығы болғанда, яғни n функциядан тұратын жиынтық, оларды n түрлі нүктеде есептегенде сызықтық тәуелсіз векторлар жиынтығы алынады. Бұл, осы функциялардың сызықтық комбинациясы берілгенде, коэффициенттерді векторларды матрицаның бағаналары ретінде орналастырып, содан кейін осы матрицаны керілендіру арқылы есептеуге болады. Бір рет шешілмейтін функциялардың ең қарапайым мысалы – біркелкілік теоремасын қолданып құрастырылған, бір рет шешілмейтін болу үшін жасалған көпмүшелер. Нақтырақ айтқанда, бұл Вандермонд матрицасын керілендіру арқылы іске асырылады. Бірақ бұл өте ерекше жағдай. Жалпы, кері проблеманы шешу үшін күрделі оңтайландыру алгоритмдері қажет. Модель көптеген параметрлермен сипатталғанда (кейбір дифракциялық томография қолданбаларында белгісіздер саны миллиардқа жете алады), қалыпты теңдеулермен байланысты сызықтық жүйені шешу қиын болуы мүмкін. Оптимизациялау мәселесін шешу үшін қолданылатын сандық әдіс, ең алдымен, алдын ала проблеманың шешімін есептеуге қажетті еңбек шығындарына байланысты. Алға қарайғы проблеманы шешуге арналған тиісті алгоритм таңдалғаннан кейін (матрица үлкен болғанда қарапайым матрица-вектор көбейтуі жеткіліксіз болуы мүмкін), минималдауды жүзеге асыруға арналған тиісті алгоритмді сызықтық жүйелерді шешудің сандық әдістерімен және квадраттық функцияларды минималдаумен айналысатын оқулықтарда табуға болады (мысалы, Сиарле немесе Носедалға қараңыз). Сондай-ақ, пайдаланушы модельдерге физикалық шектеулер қосуды қаласа: Бұл жағдайда олар өздігінен тақырып болатын шектеулі оңтайландыру әдістерімен таныс болуы керек. Барлық жағдайларда, мақсатты функцияның градиентін есептеу оңтайландыру мәселесін шешудің маңызды бөлігі болып табылады. Жоғарыда айтылғандай, таратылған параметрдің кеңістіктік таралуы туралы ақпаратты параметрлеу арқылы енгізуге болады. Оңтайландыру кезінде осы параметрлеуді бейімдеу туралы да ойлануға болады. Егер мақсатты функция Евклид нормасынан басқа нормаға негізделген болса, онда біз квадраттық оңтайландыру саласынан шығуымыз керек. Нәтижесінде, оңтайландыру мәселесі күрделене түседі. Атап айтқанда, егер норма деректердің қатесін бағалау үшін қолданылса, мақсатты функция дифференциалданбайды: оның градиенті енді мағынасыз. Дифференциалданбайтын оңтайландырудан арналған арнайы әдістер (мысалы, Лемарешальға қараңыз) қолданылады. Оптималды модель есептелгеннен кейін біз «Бұл модельге сенуге бола ма?» деген сұраққа жауап беруіміз керек. Сұрақты былай қоюға болады: мәліметтерге «шамамен осылай» дәл келетін модельдер жиынтығы қаншалықты үлкен? Квадраттық мақсатты функциялар жағдайында бұл жиын гиперэллипсоидқа кіреді, (белгісіздер саны) қосалқы жиынтығы, оның көлемі «шамамен осылай» дегенімізге, яғни шу деңгейіне байланысты. Бұл эллипсоидтың ең үлкен осьінің бағыты (матрицаның ең кіші өзіндік мәнімен байланысты) нашар анықталған компоненттердің бағыты: егер біз осы бағытты ұстансақ, мақсатты функцияның мәнін айтарлықтай өзгертпей модельге күшті бұрмалау әкелуіміз мүмкін және осылайша айтарлықтай өзгеше квази-оптималды модельге қол жеткізе аламыз. «Бұл модельге сенуге бола ма?» деген сұраққа жауап шу деңгейімен және мақсатты функцияның Гессианның өзіндік мәндерімен немесе, егер реттеу енгізілмеген жағдайда, матрицаның жеке мәндерімен анықталады. Әрине, реттеуді (немесе басқа да алдын ала ақпарат түрлерін) пайдалану оңтайлы шешімдер жиынтығының көлемін азайтады және есептелген шешімге сенуді арттырады.

Some inverse problems have a very simple solution, for instance, when one has a set of unisolvent functions, meaning a set of n functions such that evaluating them at n distinct points yields a set of linearly independent vectors. This means that given a linear combination of these functions, the coefficients can be computed by arranging the vectors as the columns of a matrix and then inverting this matrix. The simplest example of unisolvent functions is polynomials constructed, using the unisolvence theorem, so as to be unisolvent. Concretely, this is done by inverting the Vandermonde matrix. But this a very specific situation. In general, the solution of an inverse problem requires sophisticated optimization algorithms. When the model is described by a large number of parameters (the number of unknowns involved in some diffraction tomography applications can reach one billion), solving the linear system associated with the normal equations can be cumbersome. The numerical method to be used for solving the optimization problem depends in particular on the cost required for computing the solution of the forward problem. Once chosen the appropriate algorithm for solving the forward problem (a straightforward matrix vector multiplication may be not adequate when matrix is huge), the appropriate algorithm for carrying out the minimization can be found in textbooks dealing with numerical methods for the solution of linear systems and for the minimization of quadratic functions (see for instance Ciarlet or Nocedal). Also, the user may wish to add physical constraints to the models: In this case, they have to be familiar with constrained optimization methods, a subject in itself. In all cases, computing the gradient of the objective function often is a key element for the solution of the optimization problem. As mentioned above, information about the spatial distribution of a distributed parameter can be introduced through the parametrization. One can also think of adapting this parametrization during the optimization. Should the objective function be based on a norm other than the Euclidean norm, we have to leave the area of quadratic optimization. As a result, the optimization problem becomes more difficult. In particular, when the norm is used for quantifying the data misfit the objective function is no longer differentiable: its gradient does not make sense any longer. Dedicated methods (see for instance Lemaréchal) from non differentiable optimization come in. Once the optimal model is computed we have to address the question: "Can we trust this model?" The question can be formulated as follows: How large is the set of models that match the data "nearly as well" as this model? In the case of quadratic objective functions, this set is contained in a hyper ellipsoid, a subset of ( is the number of unknowns), whose size depends on what we mean with "nearly as well", that is on the noise level. The direction of the largest axis of this ellipsoid (eigenvector associated with the smallest eigenvalue of matrix ) is the direction of poorly determined components: if we follow this direction, we can bring a strong perturbation to the model without changing significantly the value of the objective function and thus end up with a significantly different quasi optimal model. We clearly see that the answer to the question "can we trust this model" is governed by the noise level and by the eigenvalues of the Hessian of the objective function or equivalently, in the case where no regularization has been integrated, by the singular values of matrix Of course, the use of regularization (or other kinds of prior information) reduces the size of the set of almost optimal solutions and, in turn, increases the confidence we can put in the computed solution.

Таратылған параметрлерді қалпына келтіру үшін кейбір классикалық сызықтық кері есептер

Төменде көрсетілген мәселелер Фредгольм интегралының әртүрлі түрлеріне сәйкес келеді: олардың әрқайсысы нақты бір ядромен байланысты.

Деконвольсия

Деконволюцияның мақсаты – деректерде шулы және бұлыңғыр сигнал түрінде көрінетін бастапқы кескінді немесе сигналды қайта құру. Математикалық тұрғыдан алғанда, ядро мұнда тек арасындағы айырмаға ғана тәуелді.

Томографиялық әдістер

Бұл әдістерде біз үлестірілген параметрді қалпына келтіруге тырысамыз, байқау осы параметрдің интегралдарын өлшеуден тұрады. Біз бұл отбасындағы өлшеу нүктесімен байланысты сызықты арқылы белгілейміз. нүктесіндегі байқауды былай жазуға болады:

мұнда – сызығы бойындағы доға ұзындығы, ал – белгілі салмақ функциясы. Бұл теңдеуді жоғарыдағы Фредгольм интегралымен салыстыра отырып, ядроның сызығында өте жоғары мәнге ие болатын, бір түгелімен ұқсас дельта функциясы екенін байқаймыз. Мұндай ядромен алға бағытталған оператор тығыз емес.

Компьютерлік томография

Рентгендік компьютерлік томографияда параметр интегралданатын сызықтар түзу сызықтар болып табылады: параметрлердің таралуының томографиялық реконструкциясы Радон трансформациясының кері есептелуіне негізделген. Теориялық тұрғыдан алғанда көптеген сызықты кері есептер жақсы зерттелгенімен, Радон трансформациясы және оның жалпыламаларына қатысты мәселелер әлі де көптеген теориялық қиындықтарды тудырады, деректердің жеткіліктілігі мәселесі әлі шешілмеген. Мұндай мәселелердің қатарына үш өлшемді рентгендік трансформация үшін толық емес деректер және рентгендік трансформацияны тензорлық өрістерге жалпылау мәселелері жатады. Қолданылатын шешімдерге алгебралық реконструкция техникасы, сүзгіленген кері проекция және есептеу қуатының артуымен қатар, итеративтік реконструкция әдістері, мысалы, итеративтік сиректік асимптотикалық минимумдық дисперсия жатады.

Дифракциялық томография

Дифракциялық томография – зерттеу сейсмологиясындағы классикалық сызықтық кері мәселе: берілген көз-қабылдағыш жұбы үшін белгілі бір уақытта тіркелген амплитуда – бұл көзден және қабылдағыштан, сәйкесінше, жүріс уақытында өлшенген қашықтықтардың қосындысы тіркеу уақытына тең болатын нүктелерден келетін үлестердің қосындысы. 3D кеңістікте параметр сызықтар бойынша емес, беттер бойынша интегралданады. Егер таралу жылдамдығы тұрақты болса, онда мұндай нүктелер эллипсоид бойында орналасады. Кері мәселе – сейсмограммалар бойынша дифракциялық нүктелердің таралуын анықтау, жылдамдық таралуы белгілі болған жағдайда. Тікелей шешімді бастапқыда Бейлкин және Ламбаре және басқалар ұсынған. Осы еңбектер амплитуданы сақтайтын миграция деп аталатын тәсілдердің бастапқы нүктесі болды (Бейлкин мен Блейштейнді қараңыз). Егер толқын теңдеуін шешу үшін геометриялық оптика әдістері (яғни сәулелер) қолданылса, онда бұл әдістер ең кіші квадраттар тәсілінен туындаған ең кіші квадраттар миграциясы әдістерімен тығыз байланысты болып шығады (Лайли, Тарантола қараңыз).

Допплер томографиясы (астрофизика)

Егер айналып жатқан жұлдыздық нысанды қарастыратын болсақ, спектрлік профильде байқалатын спектрлік сызықтар Допплер эффектісіне байланысты ығысады. Допплер томографиясы нысанның спектрлік мониторингісіндегі ақпаратты жұлдыз атмосферасының сәулеленуінің 2D бейнесіне (радиальдық жылдамдық және периодтық айналу қозғалысының фазасының функциясы ретінде) түрлендіруге арналған. Том Марш түсіндіргендей, бұл сызықтық кері есеп томография сияқты: жазбалардағы оның әсерін шығару үшін сызықтар бойынша интеграцияланған таратылған параметрді қалпына келтіруіміз керек.

Кері жылу өткізгіш

Теріс жылу өткізгіштігі туралы алғашқы жарияланымдар атмосфераға қайта кіру кезінде жер бетіндегі жылу ағынын анықтау қажеттілігінен туындады, бұл деректер жер астындағы температура сенсорлары арқылы алынды. Жер бетіндегі жылу ағыны қажет болатын, бірақ жер бетіндегі сенсорларды қолдану қиын басқа да қолданыстар: поршендік қозғалтқыштардың ішінде, ракеталық қозғалтқыштардың ішінде; сондай-ақ, ядролық реактор компоненттерін сынау. Температура сигналындағы демпфирлеу және кешігу салдарынан туындайтын өлшеу қателеріне сезімталдық пен дұрыс емес шешімділік мәселесін шешу үшін әртүрлі сандық әдістер әзірленді.

Сызықтық емес кері есептер

Сызықтық емес кері проблемалар кері проблемалардың өте күрделі санатына жатады. Бұл жағдайда тікелей оператор сызықтық емес болады. Физикалық құбылыстарды модельдеу көбінесе дербес дифференциалдық теңдеулерді шешуге негізделеді (жоғарыдағы кестеде көрсетілгендей, гравитация заңынан басқа): осы дербес дифференциалдық теңдеулер көбінесе сызықтық болғанымен, олардағы физикалық параметрлер жүйенің күйіне сызықтық емес тәсілмен байланысты, демек, біз жүйеден алатын өлшемдерге де байланысты болады.

Кері шашырау проблемалары

Сызықтық кері проблемалар теориялық тұрғыдан XIX ғасырдың соңында толығымен шешілген болатын. Ал 1970 жылға дейін тек бір сызықтық емес кері проблемалар класы шешілді, ол ресейлік математикалық мектептің (Крейн, Гельфанд, Левитан, Марченко) жұмысынан кейін кері спектральді және (бір кеңістік өлшеміндегі) кері шашырау проблемалары болды. Чадан мен Сабатье өздерінің "Кванттық шашырау теориясының кері проблемалары" кітабында (ағылшын тілінде екі басылым, орыс тілінде бір басылым) осы нәтижелердің кең шолуын жасады. Осы типтегі проблемалардағы деректер – шашырауды сипаттайтын сызықтық оператор спектрінің қасиеттері. Спектр өзіндік мәндер мен өзіндік функциялардан тұрады, олар бірге "дискреттік спектрді" құрайды, сондай-ақ оның жалпыламалары – үздіксіз спектр. Физикалық тұрғыдан ерекшелігі – шашырау эксперименттері үздіксіз спектр туралы ғана ақпарат береді, ал шашырау операторын қалпына келтіру үшін оның толық спектрін білу қажетті және жеткілікті. Осылайша, бізде сызықтық кері проблемалардағы нөлдік кеңістік сияқты ұқсас қасиеттері бар, бірақ одан әлдеқайда қызықты көрінбейтін параметрлер бар. Сонымен қатар, мұндай оператордың спектрі сақталатын физикалық қозғалыстар да бар, бұл қозғалыстың салдары. Бұл құбылысқа ерекше сызықтық емес дербес дифференциалдық эволюциялық теңдеулер басшылық етеді, мысалы, Кортевег-де Врис теңдеуі. Егер оператордың спектрі бір ғана өзіндік мәнге дейін азайтса, оған сәйкес қозғалыс – тұрақты жылдамдықпен деформациясыз таралатын жалғыз дөңгелек қозғалысы, яғни "солитон" деп аталатын жалғыз толқын болады. Кортевег-де Врис теңдеуі немесе басқа интегралданатын сызықтық емес дербес дифференциалдық теңдеулер үшін мінсіз сигнал және оның жалпыламалары көптеген қолданысқа ие. Бұл сала 1970 жылдан бері математикалық физиканың бір саласы ретінде зерттеледі. Сызықтық емес кері проблемалар қазіргі уақытта қолданбалы ғылымның көптеген салаларында зерттеледі (акустика, механика, кванттық механика, электромагниттік шашырау, әсіресе радарлық зондтау, сейсмикалық зондтау және дерлік барлық бейнелеу әдістері). Риман гипотезасына қатысты соңғы мысалды Ву мен Спринг келтірді, олардың пікірінше, жартылай классикалық ескі кванттық теорияда гамильтониан ішіндегі потенциалдың кері шамасы өзіндік мәндердің (энергиялар) санау функциясы n(x) жартылай туындысына пропорционалды.

Whereas linear inverse problems were completely solved from the theoretical point of view at the end of the nineteenth century , only one class of nonlinear inverse problems was so before 1970, that of inverse spectral and (one space dimension) inverse scattering problems, after the seminal work of the Russian mathematical school (Krein, Gelfand, Levitan, Marchenko). A large review of the results has been given by Chadan and Sabatier in their book "Inverse Problems of Quantum Scattering Theory" (two editions in English, one in Russian). In this kind of problem, data are properties of the spectrum of a linear operator which describe the scattering. The spectrum is made of eigenvalues and eigenfunctions, forming together the "discrete spectrum", and generalizations, called the continuous spectrum. The very remarkable physical point is that scattering experiments give information only on the continuous spectrum, and that knowing its full spectrum is both necessary and sufficient in recovering the scattering operator. Hence we have invisible parameters, much more interesting than the null space which has a similar property in linear inverse problems. In addition, there are physical motions in which the spectrum of such an operator is conserved as a consequence of such motion. This phenomenon is governed by special nonlinear partial differential evolution equations, for example the Korteweg–de Vries equation. If the spectrum of the operator is reduced to one single eigenvalue, its corresponding motion is that of a single bump that propagates at constant velocity and without deformation, a solitary wave called a "soliton". A perfect signal and its generalizations for the Korteweg–de Vries equation or other integrable nonlinear partial differential equations are of great interest, with many possible applications. This area has been studied as a branch of mathematical physics since the 1970s. Nonlinear inverse problems are also currently studied in many fields of applied science (acoustics, mechanics, quantum mechanics, electromagnetic scattering in particular radar soundings, seismic soundings, and nearly all imaging modalities). A final example related to the Riemann hypothesis was given by Wu and Sprung, the idea is that in the semiclassical old quantum theory the inverse of the potential inside the Hamiltonian is proportional to the half derivative of the eigenvalues (energies) counting function n(x).

Мұнай және газ қоймаларындағы өткізгіштікті сәйкестендіру

Мақсаты – саңылаулы ортадағы бір фазалы сұйық ағынын модельдейтін параболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеудегі диффузия коэффициентін анықтау. Бұл мәселе 1970-ші жылдардың басында жасалған алғашқы жұмыстан бері көптеген зерттеулердің назарында болды. Екі фазалы ағындарға қатысты маңызды мәселе – салыстырмалы өткізгіштік пен капиллярлық қысымды бағалау.