Кіріспе
Математикада дифференциалдық нысандар қисықтар, беттер, денелер және жоғары өлшемді көптүрліліктерде интегралдау үшін бірыңғай тәсіл ұсынады. Дифференциалдық формалардың қазіргі түсінігін Эли Картан қалыптастырды. Олар геометрия, топология және физика салаларында кеңінен қолданылады. Мысалы, f(x) dx өрнегі 1-форманың мысалы болып табылады және f функциясының анықталу облысында орналасқан [a, b] аралығында интегралдануы мүмкін:
In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1 form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f:
Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2 form that can be integrated over a surface S:
The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3 form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k form is an object that may be integrated over a k dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials
On an n dimensional manifold, the top dimensional form (n form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k form , produces a (k+1) form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0 form, and its differential is ). This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1 forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1 forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback.
Сонымен қатар, f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz өрнегі 2-форма болып табылады, оны S бетінде интегралдауға болады:
In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1 form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f:
Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2 form that can be integrated over a surface S:
The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3 form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k form is an object that may be integrated over a k dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials
On an n dimensional manifold, the top dimensional form (n form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k form , produces a (k+1) form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0 form, and its differential is ). This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1 forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1 forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback.
∧ символы екі дифференциалдық форманың сыртқы көбейтіндісін, кейде векторлық көбейтіндісін білдіреді. Сол сияқты, 3-форма f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz кеңістіктің бір бөлігінде интегралдауға болатын көлем элементін көрсетеді. Жалпы, k-форма – бұл k өлшемді көптүрлілікте интегралдауға болатын және координаттық дифференциалдар бойынша k дәрежелі біртекті объект. n өлшемді көптүрлілікте ең жоғары өлшемді форма (n-форма) көлемдік форма деп аталады. Дифференциалдық нысандар кезектесетін алгебра құрайды. Бұл дегеніміз, және . Бұл кезектесетін қасиет интегралдау облысының бағытын көрсетеді. Сыртқы туынды – дифференциалдық нысандарға қолданылатын операция, ол k-форма берілгенде (k+1)-форманы тудырады. Бұл операция функцияның туындысын кеңейтеді (функция 0-форма ретінде қарастырылуы мүмкін, ал оның туындысы ). Бұл математикалық анализдің негізгі теоремасын, дивергенция теоремасын, Грин теоремасын және Стокс теоремасын жалпыланған Стокс теоремасының ерекше жағдайлары ретінде қорытуға мүмкіндік береді. Дифференциалдық 1-формалар дифференциалданатын көптүрліліктегі векторлық өрістерге қатысты дуалды болып табылады, ал векторлық өрістер мен 1-формалар арасындағы жұптасу ішкі көбейтінді арқылы кез келген дифференциалдық формаларға дейін кеңейтіледі. Дифференциалдық формалардың алгебрасы және оған анықталған сыртқы туынды екі көптүрлілік арасындағы тегіс функциялардың кері бейнелеуі арқылы сақталады. Бұл мүмкіндік геометриялық инвариантты ақпаратты бір кеңістіктен екіншісіне кері бейнелеу арқылы жылжытуға мүмкіндік береді, егер ақпарат дифференциалдық формалар түрінде берілсе. Мысалы, интеграциялау үшін айнымалыларды өзгерту формуласы интегралдың кері бейнелеу кезінде сақталуын көрсететін қарапайым тұжырымға айналады.
In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1 form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f:
Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2 form that can be integrated over a surface S:
The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3 form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k form is an object that may be integrated over a k dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials
On an n dimensional manifold, the top dimensional form (n form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k form , produces a (k+1) form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0 form, and its differential is ). This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1 forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1 forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback.
Тарих
Дифференциалдық нысандар сызықтық алгебраның ықпалымен дифференциалдық геометрия саласының бір бөлігі болып табылады. Дифференциал ұғымы ерте заманнан белгілі болғанымен, дифференциалдық нысандарды алгебралық тұрғыдан ұйымдастыруға жасалған алғашқы тырастың авторы ретінде көбінесе Эли Картан, оның 1899 жылғы еңбегіне сілтеме жасап, аталады. Дифференциалдық нысандардың сыртқы алгебрасының кейбір элементтері Герман Грасманның 1844 жылғы "Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik" ("Сызықтық кеңею теориясы, математиканың жаңа саласы") атты еңбегінде кездеседі.
Тұжырымдама
Дифференциалдық нысандар координаттарға тәуелді емес көп айнымалы есептеу тәсілін қамтамасыз етеді.
Интеграция және бағдарлау
Дифференциалдық k формасы k өлшемді бағдарланған көптеуге интегралдануы мүмкін. Дифференциалдық 1 формасы шексіз кішкентай бағдарланған ұзындықты немесе 1 өлшемді бағдарланған тығыздықты өлшеу ретінде қарастырылуы мүмкін. Дифференциалдық 2 формасы шексіз кішкентай бағдарланған ауданды немесе 2 өлшемді бағдарланған тығыздықты өлшеу ретінде қарастырылуы мүмкін. Әрі қарай. Дифференциалдық формалардың интеграциясы тек бағдарланған көптеулерде ғана дұрыс анықталған. 1 өлшемді көптеудің мысалы – [a, b] аралығы, ал аралықтарға бағыт беруге болады: егер a < b болса, олар оң бағытталған, әйтпесе теріс бағытталған. Егер a < b болса, онда [a, b] аралығындағы (оның табиғи оң бағытымен) f(x) dx дифференциалдық 1 формасының интегралы, қарама-қарсы бағытталған жағдайда сол аралықтағы сол дифференциалдық форманың интегралының теріс мәніне тең болады. Яғни: Бұл бір өлшемді интегралдар үшін конвенцияларға геометриялық контекст береді, аралықтың бағыты кері қайрылғанда таңба өзгереді. Бір айнымалы интеграция теориясында бұған стандартты түсіндірме: интеграция шектері қарама-қарсы ретпен (b < a) келгенде, интеграция бағытындағы dx өсімі теріс болады. Жалпы алғанда, m формасы – m өлшемді бағдарланған көптеуге интегралданатын бағдарланған тығыздық. (Мысалы, 1 формасы бағдарланған қисық бойында интегралдануы мүмкін, 2 формасы бағдарланған бетте интегралдануы мүмкін және т.б.) Егер M – бағдарланған m өлшемді көптеу болса, ал – қарама-қарсы бағытталған сол көптеу болса, және ω – m формасы болса, онда мыналар орындалады: Бұл конвенциялар интегралды дифференциалдық форма ретінде қарастыруға сәйкес келеді, ол тізбек арқылы интегралданады. Өлшемдер теориясында керісінше, интегралды μ өлшеміне қатысты f функциясы ретінде қарастырады және бағыт туралы түсініксіз A жиынтығында интегралдайды; A жиынтығында интегралдауды көрсету үшін жазады. Бұл бір өлшемдегі шағын айырмашылық, бірақ жоғары өлшемді көптеулерде күрделірек болады; егжей-тегжейлі мәліметтер төменде келтірілген. Бағдарланған тығыздық түсінігін нақтылау, демек, дифференциалдық форманы сыртқы алгебраны қолдану арқылы анықтауға болады. Координаттар жиынтығының дифференциалдары , , барлық 1 формалары үшін негіз ретінде пайдаланылуы мүмкін. Олардың әрқайсысы көптеудегі әрбір нүктеде ковекторды білдіреді, оны тиісті координаттар бағытындағы шағын орын ауыстыруды өлшеу ретінде қарастыруға болады. Жалпы 1 формасы – бұл дифференциалдардың әрбір нүктедегі сызықтық комбинациясы: мұнда барлық координаттардың функциясы. Дифференциалдық 1 формасы бағдарланған қисық бойында сызықтық интеграл ретінде интегралданады. i < j болатын өрнектері көптеудегі әрбір нүктеде барлық 2 формалар үшін негіз ретінде пайдаланылуы мүмкін. Оны жазықтығына параллель шексіз кішкентай бағдарланған квадрат ретінде қарастыруға болады. Жалпы 2 формасы – бұл көптеудегі әрбір нүктеде осылардың сызықтық комбинациясы: , және ол беттік интеграл сияқты интегралданады. Дифференциалдық формаларда анықталатын негізгі операция – сыртқы көбейтінді (символы – ∧). Бұл векторлық есептеуден алынған векторлық көбейтіндіге ұқсас, өйткені ол баламалы көбейтінді. Мысалы, бірінші жағы және екінші жағы болатын квадратты, бірінші жағы және екінші жағы болатын квадратқа қарама-қарсы бағытталған деп қарастыру керек. Сондықтан біз тек i < j болатын өрнектерін қосуымыз керек; мысалы: Сыртқы көбейтінді төменгі дәрежелі формалардан жоғары дәрежелі дифференциалдық формаларды құруға мүмкіндік береді, дәл сол сияқты векторлық есептеудегі векторлық көбейтінді екі жақтың жоғарғы нүктелерін көрсететін векторлардан параллелограммның ауданы векторын есептеуге мүмкіндік береді. Баламалылық сонымен қатар , егер i1, , im индекстерінің кез келген екеуі тең болса, дәл сол сияқты шеттік векторлары сызықтық тәуелді болатын параллелотоппен қоршалған "көлем" нөлге тең.
which is the negative of the integral of the same differential form over the same interval, when equipped with the opposite orientation. That is:
This gives a geometrical context to the conventions for one dimensional integrals, that the sign changes when the orientation of the interval is reversed. A standard explanation of this in one variable integration theory is that, when the limits of integration are in the opposite order (b < a), the increment dx is negative in the direction of integration. More generally, an m form is an oriented density that can be integrated over an m dimensional oriented manifold. (For example, a 1 form can be integrated over an oriented curve, a 2 form can be integrated over an oriented surface, etc.) If M is an oriented m dimensional manifold, and is the same manifold with opposite orientation and ω is an m form, then one has:
These conventions correspond to interpreting the integrand as a differential form, integrated over a chain. In measure theory, by contrast, one interprets the integrand as a function f with respect to a measure μ and integrates over a subset A, without any notion of orientation; one writes to indicate integration over a subset A. This is a minor distinction in one dimension, but becomes subtler on higher dimensional manifolds; see below for details. Making the notion of an oriented density precise, and thus of a differential form, involves the exterior algebra. The differentials of a set of coordinates, , , can be used as a basis for all 1 forms. Each of these represents a covector at each point on the manifold that may be thought of as measuring a small displacement in the corresponding coordinate direction. A general 1 form is a linear combination of these differentials at every point on the manifold:
where the are functions of all the coordinates. A differential 1 form is integrated along an oriented curve as a line integral. The expressions , where i < j can be used as a basis at every point on the manifold for all 2 forms. This may be thought of as an infinitesimal oriented square parallel to the – plane. A general 2 form is a linear combination of these at every point on the manifold: , and it is integrated just like a surface integral. A fundamental operation defined on differential forms is the exterior product (the symbol is the wedge ∧). This is similar to the cross product from vector calculus, in that it is an alternating product. For instance,
because the square whose first side is and second side is is to be regarded as having the opposite orientation as the square whose first side is dx^(2) and whose second side is This is why we only need to sum over expressions , with i < j; for example: The exterior product allows higher degree differential forms to be built out of lower degree ones, in much the same way that the cross product in vector calculus allows one to compute the area vector of a parallelogram from vectors pointing up the two sides. Alternating also implies that , in the same way that the cross product of parallel vectors, whose magnitude is the area of the parallelogram spanned by those vectors, is zero. In higher dimensions, if any two of the indices i1, , im are equal, in the same way that the "volume" enclosed by a parallelotope whose edge vectors are linearly dependent is zero.
Көп индексті жазу
Бастауыш k формалардың кенелік көбейтіндісін белгілеу үшін көп индекс белгісі қолданылады: n өлшемді контекстте, үшін мынаны анықтаймыз. Басқа да пайдалы белгілеу – ұзындығы k болатын, қатаң түрде өсетін көп индекс жиыны. Бұл жиын n өлшемді кеңістікте деп белгіленеді. Содан кейін, жергілікті түрде (координаттар қолданылатын жерде), n өлшемді көптеудегі дифференциалдық k формалар кеңістігін жасайды, егер M-дегі тегіс функциялар сақинасы бойынша модуль ретінде қарастырылса. n өлшемді көптеудегі k формалар модулінің және жалпы жағдайда n өлшемді векторлық кеңістіктегі k ковекторлар кеңістігінің мөлшерін комбинаторлық жолмен есептеу арқылы, мынаған жетеміз: n-нің k-ға қатынасы: <math display="inline"> Бұл сонымен қатар, негізгі көптеудің өлшемінен жоғары дәрежелі нөлдік емес дифференциалдық формалар жоқ екенін көрсетеді.
Операциялар
Векторлық кеңістік құрылымынан туындайтын скалярлық операциялар арқылы қосу мен көбейтуден өзге, дифференциалдық формалар үшін тағы бірнеше стандартты операциялар анықталған. Ең маңызды операциялар – екі дифференциалдық форманың сыртқы көбейтіндісі, бір дифференциалдық форманың сыртқы туындысы, дифференциалдық форма мен векторлық өрістің ішкі көбейтіндісі, векторлық өріске қатысты дифференциалдық форманың Ли туындысы және анықталған байланысы бар көптеуіштегі векторлық өріске қатысты дифференциалдық форманың ковариантты туындысы.
Риманның көптік
Риманн көпқырлысында немесе жалпы алғанда, псевдо-Риманн көпқырлысында метрика, жанама және кожанама бундельдердің талшықтық изоморфизмін анықтайды. Бұл векторлық өрістерді ковекторлық өрістерге және керісінше түрлендіруге мүмкіндік береді. Сондай-ақ, бұл Ходж жұлдызы операторын және сыртқы дифференциал d-ге серік болып табылатын, -1 дәрежелі кодифференциал сияқты қосымша операцияларды анықтауға да мүмкіндік береді.
Векторлық өріс құрылымдары
Псевдо-Риманн көптігінде 1-формалар векторлық өрістермен сәйкестендіріледі; векторлық өрістер қосымша ерекше алгебралық құрылымдарға ие, олар түсініктілік үшін және шатасуды болдырмау мақсатында мұнда тізімделген. Біріншіден, әрбір (ко)тангенттік кеңістік Клиффорд алгебрасын жасайды, онда (ко)вектордың өзімен-өзінің көбейтіндісі квадраттық форманың мәнімен анықталады – бұл жағдайда метрика арқылы шақырылған табиғи форма. Бұл алгебра дифференциалдық формалардың сыртқы алгебрасынан өзгеше, оны квадраттық форма нөлге тең болатын Клиффорд алгебрасы ретінде қарастыруға болады (барлық вектордың өзімен сыртқы көбейтіндісі нөлге тең болғандықтан). Осылайша, Клиффорд алгебралары сыртқы алгебраның антикоммутативті емес ("кванттық") деформациялары болып табылады. Олар геометриялық алгебрада зерттеледі. Басқа мүмкіндік – векторлық өрістерді туындылар ретінде қарастыру. Олар жасайтын дифференциалдық операторлардың (коммутативті емес) алгебрасы Вейль алгебрасы деп аталады және бұл векторлық өрістердегі симметриялық алгебраның коммутативті емес ("кванттық") деформациясы болып табылады.
Сыртқы дифференциалдық кешен
Сыртқы туындының бір маңызды қасиеті – ол сыртқы туынды коцейн кешенін анықтайды дегенді білдіреді:
Бұл кешен де Рам кешені деп аталады, ал оның когомологиясы М-нің де Рам когомологиясы болып табылады. Поанкаре леммасы бойынша, де Рам кешені Ω^(0)(M) болжамды жерлерде ғана жергілікті түрде дәл. Ω^(0)(M) нүктесіндегі ядро – М-дегі жергілікті тұрақты функциялар кеңістігі. Сондықтан, бұл кешен тұрақты шоқ шешімі болып табылады, ал бұл өз кезегінде де Рам теоремасының бір түрін білдіреді: де Рам когомологиясы тұрақты шоқтың когомологиясын есептейді.
Қайта тарту
Егер f : M → N тегіс болсын. f дифференциалы – M және N тангенциалдық бундельдері арасындағы df : TM → TN тегіс бейнелеу. Бұл бейнелеу f* деп те белгіленеді және итеру деп аталады. Кез келген p ∈ M нүктесі және кез келген v ∈ TpM тангенциалдық векторы үшін, Tf(p)N-де f*(v) анықталған итерілген векторы бар. Дегенмен, векторлық өріс үшін де осылай емес. Егер f инъективті болмаса, мысалы, q ∈ N екі немесе одан көп алдын ала бейнеге ие болса, онда векторлық өріс TqN-де екі немесе одан көп түрлі векторларды анықтауы мүмкін. Егер f сюръективті болмаса, онда f ешқандай тангенциалдық векторды анықтамайтын q ∈ N нүктесі болады. N-дегі векторлық өріс, анықтама бойынша, N-нің әрбір нүктесінде бірегей тангенциалдық векторды анықтағандықтан, векторлық өрістің итерілуі әрқашан бола бермейді. Керісінше, дифференциалдық нысанды кері тартуға болады. N-дегі дифференциалдық нысанды әрбір тангенциалдық кеңістіктегі сызықтық функционал ретінде қарастыруға болады. Бұл функционалды дифференциал df : TM → TN арқылы құрастыру M-нің әрбір тангенциалдық кеңістігінде сызықтық функционалды, демек M-де дифференциалдық нысанды анықтайды. Кері тартулардың болуы дифференциалдық нысандар теориясының негізгі ерекшеліктерінің бірі болып табылады. Ол де Рам когомологиясындағы кері тарту гомоморфизмі сияқты басқа жағдайларда кері тарту бейнелеулерінің болуына әкеледі. Формальды түрде, егер f : M → N тегіс болса және ω – N-дегі тегіс k-нысан болса, онда M-де ω-ның кері тартылуы деп аталатын дифференциалдық нысан бар, ол f-қа қатысты ω-ның мінез-құлқын көрсетеді. Кері тартуды анықтау үшін M-нің p нүктесін және p-де M-ге тангенциалдық векторлар v1, ..., vk-ні орнатыңыз. ω-ның кері тартылуы келесі формуламен анықталады:
There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1 form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is The pullback of ω may be defined to be the composite
This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1 form on M. In full generality, let denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k form ω is the composite
Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles
where N × 'R' is the trivial rank one bundle on N. The composite map
defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × 'R'. The vector bundle morphism defined in this way is
Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then
The pullback of a form can also be written in coordinates. Assume that x^(1), , x^(m) are coordinates on M, that y^(1), , y^(n) are coordinates on N, and that these coordinate systems are related by the formulas 1=y^(i) = fi(x^(1), , x^(m)) for all i. Locally on N, ω can be written as
where, for each choice of i1, , ik, ωi1⋅⋅⋅ik is a real valued function of y^(1), , y^(n). Using the linearity of pullback and its compatibility with exterior product, the pullback of ω has the formula
Each exterior derivative dfi can be expanded in terms of dx^(1), , dx^(m). The resulting k form can be written using Jacobian matrices:
Here, denotes the determinant of the matrix whose entries are , .
Егер ω – N-дегі 1-нысан болса, оны N-нің котангенциалдық бундельінің қимасы ретінде қарастыруға болады. Дуальді бейнелеуді белгілеу үшін f дифференциалының дуалін пайдалана отырып, ω-ның кері тартылуын композиция ретінде анықтауға болады. Бұл M-нің котангенциалдық бундельінің қимасы, демек M-дегі дифференциалдық 1-нысан. Толық жалпылықта, дифференциалға арналған дуальді бейнелеудің k-шы сыртқы қуатын белгілейік. Одан кейін k-нысан ω-ның кері тартылуы композиция болады.
There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1 form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is The pullback of ω may be defined to be the composite
This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1 form on M. In full generality, let denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k form ω is the composite
Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles
where N × 'R' is the trivial rank one bundle on N. The composite map
defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × 'R'. The vector bundle morphism defined in this way is
Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then
The pullback of a form can also be written in coordinates. Assume that x^(1), , x^(m) are coordinates on M, that y^(1), , y^(n) are coordinates on N, and that these coordinate systems are related by the formulas 1=y^(i) = fi(x^(1), , x^(m)) for all i. Locally on N, ω can be written as
where, for each choice of i1, , ik, ωi1⋅⋅⋅ik is a real valued function of y^(1), , y^(n). Using the linearity of pullback and its compatibility with exterior product, the pullback of ω has the formula
Each exterior derivative dfi can be expanded in terms of dx^(1), , dx^(m). The resulting k form can be written using Jacobian matrices:
Here, denotes the determinant of the matrix whose entries are , .
Бұл тұрғыдан алғанда, ω – векторлық бундельдердің морфизмі, мұнда N × ℝ – N-дегі тривиалды бірінші дәрежелі бундель. Композициялық бейнелеу M-нің әрбір тангенциалдық кеңістігінде сызықтық функционалды анықтайды, сондықтан ол тривиалды бундель M × ℝ арқылы факторланады. Осылайша анықталған векторлық бундель морфизмі кері тартуды құрметтейді. Кері тарту формалардағы барлық негізгі операцияларды сақтайды. Егер ω және η – нысандар болса және c – нақты сан болса, онда:
There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1 form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is The pullback of ω may be defined to be the composite
This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1 form on M. In full generality, let denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k form ω is the composite
Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles
where N × 'R' is the trivial rank one bundle on N. The composite map
defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × 'R'. The vector bundle morphism defined in this way is
Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then
The pullback of a form can also be written in coordinates. Assume that x^(1), , x^(m) are coordinates on M, that y^(1), , y^(n) are coordinates on N, and that these coordinate systems are related by the formulas 1=y^(i) = fi(x^(1), , x^(m)) for all i. Locally on N, ω can be written as
where, for each choice of i1, , ik, ωi1⋅⋅⋅ik is a real valued function of y^(1), , y^(n). Using the linearity of pullback and its compatibility with exterior product, the pullback of ω has the formula
Each exterior derivative dfi can be expanded in terms of dx^(1), , dx^(m). The resulting k form can be written using Jacobian matrices:
Here, denotes the determinant of the matrix whose entries are , .
Нысанның кері тартылуын координаттар арқылы да жазуға болады. x^(1), ..., x^(m) – M-дегі координаттар, y^(1), ..., y^(n) – N-дегі координаттар және бұл координаттар жүйелері 1=y^(i) = fi(x^(1), ..., x^(m)) формуласымен барлық i үшін байланысты деп есептейік. N-де жергілікті түрде ω келесідей жазылуы мүмкін:
There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1 form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is The pullback of ω may be defined to be the composite
This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1 form on M. In full generality, let denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k form ω is the composite
Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles
where N × 'R' is the trivial rank one bundle on N. The composite map
defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × 'R'. The vector bundle morphism defined in this way is
Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then
The pullback of a form can also be written in coordinates. Assume that x^(1), , x^(m) are coordinates on M, that y^(1), , y^(n) are coordinates on N, and that these coordinate systems are related by the formulas 1=y^(i) = fi(x^(1), , x^(m)) for all i. Locally on N, ω can be written as
where, for each choice of i1, , ik, ωi1⋅⋅⋅ik is a real valued function of y^(1), , y^(n). Using the linearity of pullback and its compatibility with exterior product, the pullback of ω has the formula
Each exterior derivative dfi can be expanded in terms of dx^(1), , dx^(m). The resulting k form can be written using Jacobian matrices:
Here, denotes the determinant of the matrix whose entries are , .
мұнда, әрбір i1, ..., ik таңдауы үшін ωi1…ik – y^(1), ..., y^(n) функциясы. Кері тартудың сызықтығын және сыртқы көбейтумен үйлесімділігін пайдаланып, ω-ның кері тартылуы келесі формулаға ие:
There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1 form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is The pullback of ω may be defined to be the composite
This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1 form on M. In full generality, let denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k form ω is the composite
Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles
where N × 'R' is the trivial rank one bundle on N. The composite map
defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × 'R'. The vector bundle morphism defined in this way is
Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then
The pullback of a form can also be written in coordinates. Assume that x^(1), , x^(m) are coordinates on M, that y^(1), , y^(n) are coordinates on N, and that these coordinate systems are related by the formulas 1=y^(i) = fi(x^(1), , x^(m)) for all i. Locally on N, ω can be written as
where, for each choice of i1, , ik, ωi1⋅⋅⋅ik is a real valued function of y^(1), , y^(n). Using the linearity of pullback and its compatibility with exterior product, the pullback of ω has the formula
Each exterior derivative dfi can be expanded in terms of dx^(1), , dx^(m). The resulting k form can be written using Jacobian matrices:
Here, denotes the determinant of the matrix whose entries are , .
Нәтижесіндегі k-нысанды Якоби матрицаларын пайдаланып жазуға болады:
There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1 form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is The pullback of ω may be defined to be the composite
This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1 form on M. In full generality, let denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k form ω is the composite
Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles
where N × 'R' is the trivial rank one bundle on N. The composite map
defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × 'R'. The vector bundle morphism defined in this way is
Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then
The pullback of a form can also be written in coordinates. Assume that x^(1), , x^(m) are coordinates on M, that y^(1), , y^(n) are coordinates on N, and that these coordinate systems are related by the formulas 1=y^(i) = fi(x^(1), , x^(m)) for all i. Locally on N, ω can be written as
where, for each choice of i1, , ik, ωi1⋅⋅⋅ik is a real valued function of y^(1), , y^(n). Using the linearity of pullback and its compatibility with exterior product, the pullback of ω has the formula
Each exterior derivative dfi can be expanded in terms of dx^(1), , dx^(m). The resulting k form can be written using Jacobian matrices:
Here, denotes the determinant of the matrix whose entries are , .
Мұнда – матрицаның анықтамасы, оның элементтері .
There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1 form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is The pullback of ω may be defined to be the composite
This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1 form on M. In full generality, let denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k form ω is the composite
Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles
where N × 'R' is the trivial rank one bundle on N. The composite map
defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × 'R'. The vector bundle morphism defined in this way is
Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then
The pullback of a form can also be written in coordinates. Assume that x^(1), , x^(m) are coordinates on M, that y^(1), , y^(n) are coordinates on N, and that these coordinate systems are related by the formulas 1=y^(i) = fi(x^(1), , x^(m)) for all i. Locally on N, ω can be written as
where, for each choice of i1, , ik, ωi1⋅⋅⋅ik is a real valued function of y^(1), , y^(n). Using the linearity of pullback and its compatibility with exterior product, the pullback of ω has the formula
Each exterior derivative dfi can be expanded in terms of dx^(1), , dx^(m). The resulting k form can be written using Jacobian matrices:
Here, denotes the determinant of the matrix whose entries are , .
Интеграциялау
Дифференциалдық k формасы бағдарланған k өлшемді көптүрлілік бойынша интегралдануы мүмкін. Егер k формасы n > k өлшемді көптүрлілікте анықталған болса, онда k формасын бағдарланған k өлшемді кішікөптүрліліктер бойынша интегралдауға болады. Егер 1=k = 0 болса, бағдарланған 0 өлшемді кішікөптүрліліктер бойынша интегралдау – бұл сол кішікөптүрліліктердің бағытына сәйкес нүктелерде интегралдың мәнін қосудың жиынтығы. 1=k = 1, 2, 3 және басқа да мәндер сызықтық интегралдарға, беттік интегралдарға, көлемдік интегралдарға және т.б. сәйкес келеді. Дифференциалдық форманың интегралын формалды түрде анықтаудың бірнеше эквивалентті тәсілдері бар, олардың барлығы Евклид кеңістігіне келтіруге негізделген.
Евклид кеңістігіндегі интеграция
U – Rⁿ-нің ашық ішкі жиыны болсын. Rⁿ-ге стандартты бағиттамасын беріңіз және U-ға осы бағиттаманың шектеуін қосыңыз. U-дағы әрбір тегіс n-форма ω, кейбір тегіс функция f: Rⁿ → R үшін келесі түрде жазылады:
for some smooth function f : 'R'^(n) → 'R'. Such a function has an integral in the usual Riemann or Lebesgue sense. This allows us to define the integral of ω to be the integral of f:
Fixing an orientation is necessary for this to be well defined. The skew symmetry of differential forms means that the integral of, say, dx^(1) ∧ dx^(2) must be the negative of the integral of dx^(2) ∧ dx^(1). Riemann and Lebesgue integrals cannot see this dependence on the ordering of the coordinates, so they leave the sign of the integral undetermined. The orientation resolves this ambiguity.
Мұндай функцияның интегралы әдеттегі Риман немесе Лебег мағынасында бар. Бұл ω интегралын f интегралы ретінде анықтауға мүмкіндік береді. Осыны дұрыс анықтау үшін бағиттаманы белгілеу қажет. Дифференциалдық формалардың қисық симметриясы, мысалы, dx¹ ∧ dx² интегралының dx² ∧ dx¹ интегралының теріс мәніне тең болуын білдіреді. Риман және Лебег интегралдары координаттардың ретіне байланыстылықты байқамайды, сондықтан интегралдың таңбасын анықталмаған күйде қалдырады. Бағиттама осы екіұштылықты шешеді.
for some smooth function f : 'R'^(n) → 'R'. Such a function has an integral in the usual Riemann or Lebesgue sense. This allows us to define the integral of ω to be the integral of f:
Fixing an orientation is necessary for this to be well defined. The skew symmetry of differential forms means that the integral of, say, dx^(1) ∧ dx^(2) must be the negative of the integral of dx^(2) ∧ dx^(1). Riemann and Lebesgue integrals cannot see this dependence on the ordering of the coordinates, so they leave the sign of the integral undetermined. The orientation resolves this ambiguity.
Біртұтас бөлшектерді пайдалану арқылы интеграциялау
, қарастырылған тағы бір тәсіл бар, ол M-дегі интегралға тікелей мән береді, бірақ бұл тәсіл M-нің бағытын бекітуді қажет етеді. n-форма ω-ның n-өлшемді көптүрліліктегі интегралы диаграммалар арқылы анықталады. Біріншіден, ω бір оң бағытталған диаграммада қолдау алады деп есептейік. Бұл диаграммада оны 'R'^(n) ашық ішкі жиынындағы n-формаға кері тартуға болады. Мұнда, формада бұрынғыдай жақсы анықталған Риман немесе Лебег интегралы бар. Айнмалыларды өзгерту формуласы және диаграмманың оң бағытталғандығы туралы болжам ω интегралының таңдалған диаграммаға тәуелді болмайтынын қамтамасыз етеді. Жалпы жағдайда, ω-ны n-формалардың қосындысы ретінде жазу үшін бірлікке бөліністі пайдаланыңыз, олардың әрқайсысы бір оң бағытталған диаграммада қолдау алады, және ω интегралын бірлікке бөліністің әр мүшесінің интегралдарының қосындысы ретінде анықтаңыз. Сондай-ақ, осы ішкі тәсілді пайдаланып, бағытталған k-өлшемді субманолифолдтардағы k-формаларды интегралдауға болады. Форма субкөптүрліге кері тартылады, онда интеграл бұрынғыдай диаграммалар арқылы анықталады. Мысалы, γ(t) : [0, 1] → 'R'^(2) жолы берілген болса, жолдағы 1-форманы интегралдау – бұл форманы [0, 1] аралығындағы формаға кері тарту, ал бұл интеграл – интервалдағы f(t) функциясының интегралы.
Іс-шаралармен байланыс
Жалпы дифференциалдық көптікте (қосымша құрылымсыз) дифференциалдық нысандарды көптіктің кіші жиынтықтарында интегралдау мүмкін емес; бұл айырмашылық тізбектер немесе бағдарланған кіші көптіктер арқылы интегралданатын дифференциалдық нысандар мен кіші жиынтықтар арқылы интегралданатын өлшемдер арасындағы маңызды ерекшелік болып табылады. Ең қарапайым мысал – [0, 1] аралығындағы 1-формасы dx-ті интегралдауға тырысу. Нақты түзудегі әдеттегі қашықтықты (және осылайша өлшемді) ескерсек, бұл интеграл бағдарға байланысты 1 немесе -1-ге тең болады, ал аралықтағы өлшемнің интегралы біржақты 1-ге тең (яғни осы өлшемге қатысты тұрақты функция 1-дің интегралы 1-ге тең). Сол сияқты, координаталардың өзгеруі кезінде дифференциалдық n-формасы Якобидің детерминанты J арқылы өзгереді, ал өлшем Якобидің детерминантының абсолютті мәнімен, |J| арқылы өзгереді, бұл бағдар мәселесін одан әрі көрсетеді. Мысалы, x → -x түрлендірілімінде дифференциалдық dx формасы -dx формасына өтеді; бағдар кері айналады; ал Лебег өлшемі, оны біз μ деп белгілейміз, μ-ге өтеді; ол өзгермейді. Бағдардың қосымша деректері болған жағдайда, n-формаларды (жоғарғы өлшемді формаларды) бүкіл көптікке немесе компактты кіші жиынтықтарға интегралдауға болады; бүкіл көптікке интегралдау көптіктің негізгі класына [M] форманы интегралдауға сәйкес келеді. Формальды түрде, бағдар болған жағдайда, n-формаларды тығыздықтармен сәйкестендіруге болады; тығыздықтар өз кезегінде өлшемді анықтайды, сондықтан оларды интегралдауға болады. Бағдарланатын, бірақ бағдарланбаған көптікте бағдарлаудың екі нұсқасы бар; кез келген таңдау n-формаларды компактты кіші жиынтықтарға интегралдауға мүмкіндік береді, екі таңдау белгісімен ғана ерекшеленеді. Бағдарланбаған көптікте n-формалар мен тығыздықтарды сәйкестендіруге болмайды – атап айтқанда, кез келген жоғарғы өлшемді форма бір жерде нөлге тең болуы керек (бағдарланбаған көптіктерде көлемдік формалар жоқ), бірақ еш жерде нөлге тең болмайтын тығыздықтар бар – сондықтан тығыздықтарды компактты кіші жиынтықтарға интегралдауға болады, бірақ n-формаларды интегралдауға болмайды. Оның орнына тығыздықтарды жоғарғы өлшемді псевдоформалармен сәйкестендіруге болады. Тіпті бағдардың болуымен де, k < n үшін k-формаларды кіші жиынтықтарға интегралдаудың мағынасы жоқ, өйткені k-өлшемді кіші жиынтықтарды бағдарлау үшін қоршаған ортаның бағдарын пайдаланудың дәйекті жолы жоқ. Геометриялық тұрғыдан, k-өлшемді кіші жиынтықты орнында айналдырса, сол кіші жиынтықтың бағдары қарама-қарсы болады; мысалы, жазықтықтағы көлденең осьті 180 градусқа айналдыруға болады. n-өлшемді кеңістікте k векторлар жиынтығының Грам детерминантын қарастырыңыз, ол n вектордың детерминантынан айырмашылығы, әрқашан оң болады, квадрат санға сәйкес келеді. Сондықтан k-субкөптіктің бағыты – қоршаған көптікке байланысты емес қосымша дерек. Риманн көптігінде кез келген k (бүтін немесе нақты) үшін k-өлшемді Хаусдорф өлшемін анықтауға болады, оны көптіктің k-өлшемді кіші жиынтықтарына интегралдауға болады. Функцияны осы Хаусдорф өлшемімен көбейту k-өлшемді кіші жиынтықтарға интегралдауға мүмкіндік береді, бұл k-формаларды интегралдауға теориялық аналогты қамтамасыз етеді. n-өлшемді Хаусдорф өлшемі жоғарыда көрсетілгендей тығыздықты береді.
On an orientable but not oriented manifold, there are two choices of orientation; either choice allows one to integrate n forms over compact subsets, with the two choices differing by a sign. On non orientable manifold, n forms and densities cannot be identified —notably, any top dimensional form must vanish somewhere (there are no volume forms on non orientable manifolds), but there are nowhere vanishing densities— thus while one can integrate densities over compact subsets, one cannot integrate n forms. One can instead identify densities with top dimensional pseudoforms. Even in the presence of an orientation, there is in general no meaningful way to integrate k forms over subsets for k < n because there is no consistent way to use the ambient orientation to orient k dimensional subsets. Geometrically, a k dimensional subset can be turned around in place, yielding the same subset with the opposite orientation; for example, the horizontal axis in a plane can be rotated by 180 degrees. Compare the Gram determinant of a set of k vectors in an n dimensional space, which, unlike the determinant of n vectors, is always positive, corresponding to a squared number. An orientation of a k submanifold is therefore extra data not derivable from the ambient manifold. On a Riemannian manifold, one may define a k dimensional Hausdorff measure for any k (integer or real), which may be integrated over k dimensional subsets of the manifold. A function times this Hausdorff measure can then be integrated over k dimensional subsets, providing a measure theoretic analog to integration of k forms. The n dimensional Hausdorff measure yields a density, as above.
Ағымдар
Дифференциалдық формадағы үлестіру немесе жалпыланған функцияның аналогы ток деп аталады. M-дегі k токтар кеңістігі – дифференциалдық k формалардың сәйкес кеңістігіне қосарлы кеңістік. Токтар интегралдаудың жалпыланған домендерінің рөлін атқарады, тізбектерге ұқсас, бірақ одан да икемді.
Геометриялық өлшем теориясының қолданылуы
Күрделі аналитикалық көптүрліліктерге қатысты көптеген минималдық нәтижелер 2-формаларға арналған Виртингер теңсіздігіне негізделген. Оның ықшам дәлелін Герберт Федерердің классикалық "Геометриялық өлшемдер теориясы" еңбегінен табуға болады. Виртингер теңсіздігі систолалық геометриядағы күрделі проективтік кеңістік үшін Громов теңсіздігінің маңызды құралы болып табылады.