Введение
Выражение, которое может быть интегрировано по области.
In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1 form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f:
Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2 form that can be integrated over a surface S:
The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3 form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k form is an object that may be integrated over a k dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials
On an n dimensional manifold, the top dimensional form (n form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k form , produces a (k+1) form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0 form, and its differential is ). This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1 forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1 forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback.
В математике дифференциальные формы предоставляют единый подход к определению подынтегральных выражений для кривых, поверхностей, объемов и многомерных многообразий. Современное понятие дифференциальных форм было разработано Эли Картаном. Они имеют множество применений, особенно в геометрии, топологии и физике. Например, выражение f(x) dx является примером 1-формы и может быть интегрировано по интервалу [a, b], содержащемуся в области определения f:
In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1 form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f:
Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2 form that can be integrated over a surface S:
The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3 form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k form is an object that may be integrated over a k dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials
On an n dimensional manifold, the top dimensional form (n form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k form , produces a (k+1) form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0 form, and its differential is ). This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1 forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1 forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback.
Аналогично, выражение f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz является 2-формой, которую можно интегрировать по поверхности S:
In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1 form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f:
Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2 form that can be integrated over a surface S:
The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3 form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k form is an object that may be integrated over a k dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials
On an n dimensional manifold, the top dimensional form (n form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k form , produces a (k+1) form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0 form, and its differential is ). This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1 forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1 forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback.
Символ ∧ обозначает внешнее произведение, иногда называемое клиновым произведением, двух дифференциальных форм. Аналогично, 3-форма f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz представляет собой элемент объема, который может быть интегрирован по области пространства. В общем случае, k-форма – это объект, который может быть интегрирован по k-мерному многообразию и является однородной функцией степени k относительно координальных дифференциалов.
In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1 form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f:
Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2 form that can be integrated over a surface S:
The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3 form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k form is an object that may be integrated over a k dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials
On an n dimensional manifold, the top dimensional form (n form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k form , produces a (k+1) form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0 form, and its differential is ). This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1 forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1 forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback.
На n-мерном многообразии форма максимальной размерности (n-форма) называется объемной формой. Дифференциальные формы образуют коммутативную алгебру с антисимметричным произведением. Это означает, что и . Это антисимметричное свойство отражает ориентацию области интегрирования. Внешняя производная – это операция над дифференциальными формами, которая, применительно к k-форме, порождает (k+1)-форму. Эта операция расширяет дифференциал функции (функцию можно рассматривать как 0-форму, а ее дифференциал равен ). Это позволяет выразить фундаментальную теорему исчисления, теорему о дивергенции, теорему Грина и теорему Стокса как частные случаи одного общего результата – обобщенной теоремы Стокса. Дифференциальные 1-формы естественно дуальны векторным полям на дифференцируемом многообразии, а спаривание между векторными полями и 1-формами расширяется на произвольные дифференциальные формы посредством внутреннего произведения. Алгебра дифференциальных форм вместе с внешней производной, определенной на ней, инвариантна относительно обратного отображения под действием гладких функций между двумя многообразиями. Эта особенность позволяет геометрически инвариантной информации переноситься из одного пространства в другое посредством обратного отображения, при условии, что информация выражена в терминах дифференциальных форм. Например, формула замены переменных для интегрирования сводится к простому утверждению о том, что интеграл сохраняется при обратном отображении.
In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1 form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f:
Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2 form that can be integrated over a surface S:
The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3 form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k form is an object that may be integrated over a k dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials
On an n dimensional manifold, the top dimensional form (n form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k form , produces a (k+1) form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0 form, and its differential is ). This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1 forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1 forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback.
История
Дифференциальные формы являются частью дифференциальной геометрии и тесно связаны с линейной алгеброй. Хотя понятие дифференциала возникло давно, обычно Эли Картану приписывают первую алгебраическую организацию дифференциальных форм, впервые представленную в его работе 1899 года. Некоторые аспекты внешней алгебры дифференциальных форм можно найти в труде Германна Грассмана 1844 года «Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik» (Теория линейного расширения, новая отрасль математики).
Концепция
Дифференциальные формы предоставляют подход к многомерному исчислению, не зависящий от выбора системы координат.
Интеграция и ориентация
Дифференциальная k-форма может быть интегрирована по ориентированному многообразию размерности k. Дифференциальную 1-форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной длины, или 1-мерной ориентированной плотности. Дифференциальную 2-форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной площади, или 2-мерной ориентированной плотности. И так далее. Интегрирование дифференциальных форм корректно определено только на ориентированных многообразиях. Примером 1-мерного многообразия является интервал [a, b], и интервалам можно задать ориентацию: они положительно ориентированы, если a < b, и отрицательно ориентированы в противном случае. Если a < b, то интеграл дифференциальной 1-формы f(x) dx по интервалу [a, b] (с его естественной положительной ориентацией) равен отрицательному интегралу той же дифференциальной формы по тому же интервалу, но с противоположной ориентацией. То есть:
which is the negative of the integral of the same differential form over the same interval, when equipped with the opposite orientation. That is:
This gives a geometrical context to the conventions for one dimensional integrals, that the sign changes when the orientation of the interval is reversed. A standard explanation of this in one variable integration theory is that, when the limits of integration are in the opposite order (b < a), the increment dx is negative in the direction of integration. More generally, an m form is an oriented density that can be integrated over an m dimensional oriented manifold. (For example, a 1 form can be integrated over an oriented curve, a 2 form can be integrated over an oriented surface, etc.) If M is an oriented m dimensional manifold, and is the same manifold with opposite orientation and ω is an m form, then one has:
These conventions correspond to interpreting the integrand as a differential form, integrated over a chain. In measure theory, by contrast, one interprets the integrand as a function f with respect to a measure μ and integrates over a subset A, without any notion of orientation; one writes to indicate integration over a subset A. This is a minor distinction in one dimension, but becomes subtler on higher dimensional manifolds; see below for details. Making the notion of an oriented density precise, and thus of a differential form, involves the exterior algebra. The differentials of a set of coordinates, , , can be used as a basis for all 1 forms. Each of these represents a covector at each point on the manifold that may be thought of as measuring a small displacement in the corresponding coordinate direction. A general 1 form is a linear combination of these differentials at every point on the manifold:
where the are functions of all the coordinates. A differential 1 form is integrated along an oriented curve as a line integral. The expressions , where i < j can be used as a basis at every point on the manifold for all 2 forms. This may be thought of as an infinitesimal oriented square parallel to the – plane. A general 2 form is a linear combination of these at every point on the manifold: , and it is integrated just like a surface integral. A fundamental operation defined on differential forms is the exterior product (the symbol is the wedge ∧). This is similar to the cross product from vector calculus, in that it is an alternating product. For instance,
because the square whose first side is and second side is is to be regarded as having the opposite orientation as the square whose first side is dx^(2) and whose second side is This is why we only need to sum over expressions , with i < j; for example: The exterior product allows higher degree differential forms to be built out of lower degree ones, in much the same way that the cross product in vector calculus allows one to compute the area vector of a parallelogram from vectors pointing up the two sides. Alternating also implies that , in the same way that the cross product of parallel vectors, whose magnitude is the area of the parallelogram spanned by those vectors, is zero. In higher dimensions, if any two of the indices i1, , im are equal, in the same way that the "volume" enclosed by a parallelotope whose edge vectors are linearly dependent is zero.
Это дает геометрический контекст для соглашений, принятых в одномерном исчислении интегралов, а именно, что знак меняется при изменении ориентации интервала. Стандартное объяснение этого в теории интегрального исчисления одной переменной заключается в том, что, когда пределы интегрирования заданы в обратном порядке (b < a), приращение dx отрицательно в направлении интегрирования. В более общем смысле, m-форма является ориентированной плотностью, которую можно интегрировать по m-мерному ориентированному многообразию. (Например, 1-форму можно интегрировать по ориентированной кривой, 2-форму – по ориентированной поверхности и т.д.) Если M – ориентированное m-мерное многообразие, а – то же самое многообразие с противоположной ориентацией, и ω – m-форма, то выполняется следующее равенство:
which is the negative of the integral of the same differential form over the same interval, when equipped with the opposite orientation. That is:
This gives a geometrical context to the conventions for one dimensional integrals, that the sign changes when the orientation of the interval is reversed. A standard explanation of this in one variable integration theory is that, when the limits of integration are in the opposite order (b < a), the increment dx is negative in the direction of integration. More generally, an m form is an oriented density that can be integrated over an m dimensional oriented manifold. (For example, a 1 form can be integrated over an oriented curve, a 2 form can be integrated over an oriented surface, etc.) If M is an oriented m dimensional manifold, and is the same manifold with opposite orientation and ω is an m form, then one has:
These conventions correspond to interpreting the integrand as a differential form, integrated over a chain. In measure theory, by contrast, one interprets the integrand as a function f with respect to a measure μ and integrates over a subset A, without any notion of orientation; one writes to indicate integration over a subset A. This is a minor distinction in one dimension, but becomes subtler on higher dimensional manifolds; see below for details. Making the notion of an oriented density precise, and thus of a differential form, involves the exterior algebra. The differentials of a set of coordinates, , , can be used as a basis for all 1 forms. Each of these represents a covector at each point on the manifold that may be thought of as measuring a small displacement in the corresponding coordinate direction. A general 1 form is a linear combination of these differentials at every point on the manifold:
where the are functions of all the coordinates. A differential 1 form is integrated along an oriented curve as a line integral. The expressions , where i < j can be used as a basis at every point on the manifold for all 2 forms. This may be thought of as an infinitesimal oriented square parallel to the – plane. A general 2 form is a linear combination of these at every point on the manifold: , and it is integrated just like a surface integral. A fundamental operation defined on differential forms is the exterior product (the symbol is the wedge ∧). This is similar to the cross product from vector calculus, in that it is an alternating product. For instance,
because the square whose first side is and second side is is to be regarded as having the opposite orientation as the square whose first side is dx^(2) and whose second side is This is why we only need to sum over expressions , with i < j; for example: The exterior product allows higher degree differential forms to be built out of lower degree ones, in much the same way that the cross product in vector calculus allows one to compute the area vector of a parallelogram from vectors pointing up the two sides. Alternating also implies that , in the same way that the cross product of parallel vectors, whose magnitude is the area of the parallelogram spanned by those vectors, is zero. In higher dimensions, if any two of the indices i1, , im are equal, in the same way that the "volume" enclosed by a parallelotope whose edge vectors are linearly dependent is zero.
Эти соглашения соответствуют интерпретации подынтегрального выражения как дифференциальной формы, интегрируемой по цепи. В теории меры, напротив, подынтегральное выражение интерпретируется как функция f относительно меры μ и интегрируется по подмножеству A без какого-либо понятия об ориентации; для обозначения интегрирования по подмножеству A используется запись . Это незначительное различие в одном измерении, но становится более существенным на многомерных многообразиях; подробности см. ниже. Уточнение понятия ориентированной плотности, а следовательно, и дифференциальной формы, требует использования внешней алгебры. Дифференциалы набора координат , , могут быть использованы в качестве базиса для всех 1-форм. Каждый из них представляет собой ковектор в каждой точке многообразия, который можно рассматривать как измерение малого смещения в соответствующем координатном направлении. Общая 1-форма является линейной комбинацией этих дифференциалов в каждой точке многообразия:
which is the negative of the integral of the same differential form over the same interval, when equipped with the opposite orientation. That is:
This gives a geometrical context to the conventions for one dimensional integrals, that the sign changes when the orientation of the interval is reversed. A standard explanation of this in one variable integration theory is that, when the limits of integration are in the opposite order (b < a), the increment dx is negative in the direction of integration. More generally, an m form is an oriented density that can be integrated over an m dimensional oriented manifold. (For example, a 1 form can be integrated over an oriented curve, a 2 form can be integrated over an oriented surface, etc.) If M is an oriented m dimensional manifold, and is the same manifold with opposite orientation and ω is an m form, then one has:
These conventions correspond to interpreting the integrand as a differential form, integrated over a chain. In measure theory, by contrast, one interprets the integrand as a function f with respect to a measure μ and integrates over a subset A, without any notion of orientation; one writes to indicate integration over a subset A. This is a minor distinction in one dimension, but becomes subtler on higher dimensional manifolds; see below for details. Making the notion of an oriented density precise, and thus of a differential form, involves the exterior algebra. The differentials of a set of coordinates, , , can be used as a basis for all 1 forms. Each of these represents a covector at each point on the manifold that may be thought of as measuring a small displacement in the corresponding coordinate direction. A general 1 form is a linear combination of these differentials at every point on the manifold:
where the are functions of all the coordinates. A differential 1 form is integrated along an oriented curve as a line integral. The expressions , where i < j can be used as a basis at every point on the manifold for all 2 forms. This may be thought of as an infinitesimal oriented square parallel to the – plane. A general 2 form is a linear combination of these at every point on the manifold: , and it is integrated just like a surface integral. A fundamental operation defined on differential forms is the exterior product (the symbol is the wedge ∧). This is similar to the cross product from vector calculus, in that it is an alternating product. For instance,
because the square whose first side is and second side is is to be regarded as having the opposite orientation as the square whose first side is dx^(2) and whose second side is This is why we only need to sum over expressions , with i < j; for example: The exterior product allows higher degree differential forms to be built out of lower degree ones, in much the same way that the cross product in vector calculus allows one to compute the area vector of a parallelogram from vectors pointing up the two sides. Alternating also implies that , in the same way that the cross product of parallel vectors, whose magnitude is the area of the parallelogram spanned by those vectors, is zero. In higher dimensions, if any two of the indices i1, , im are equal, in the same way that the "volume" enclosed by a parallelotope whose edge vectors are linearly dependent is zero.
где – функции всех координат. Дифференциальная 1-форма интегрируется вдоль ориентированной кривой как линейный интеграл. Выражения , где i < j, могут быть использованы в качестве базиса в каждой точке многообразия для всех 2-форм. Это можно представить как бесконечно малый ориентированный квадрат, параллельный плоскости . Общая 2-форма является линейной комбинацией этих выражений в каждой точке многообразия: , и она интегрируется так же, как поверхностный интеграл. Фундаментальной операцией, определенной для дифференциальных форм, является внешнее произведение (символ – клиновидное произведение ∧). Оно аналогично векторному произведению из векторного исчисления, поскольку является чередующимся произведением. Например,
which is the negative of the integral of the same differential form over the same interval, when equipped with the opposite orientation. That is:
This gives a geometrical context to the conventions for one dimensional integrals, that the sign changes when the orientation of the interval is reversed. A standard explanation of this in one variable integration theory is that, when the limits of integration are in the opposite order (b < a), the increment dx is negative in the direction of integration. More generally, an m form is an oriented density that can be integrated over an m dimensional oriented manifold. (For example, a 1 form can be integrated over an oriented curve, a 2 form can be integrated over an oriented surface, etc.) If M is an oriented m dimensional manifold, and is the same manifold with opposite orientation and ω is an m form, then one has:
These conventions correspond to interpreting the integrand as a differential form, integrated over a chain. In measure theory, by contrast, one interprets the integrand as a function f with respect to a measure μ and integrates over a subset A, without any notion of orientation; one writes to indicate integration over a subset A. This is a minor distinction in one dimension, but becomes subtler on higher dimensional manifolds; see below for details. Making the notion of an oriented density precise, and thus of a differential form, involves the exterior algebra. The differentials of a set of coordinates, , , can be used as a basis for all 1 forms. Each of these represents a covector at each point on the manifold that may be thought of as measuring a small displacement in the corresponding coordinate direction. A general 1 form is a linear combination of these differentials at every point on the manifold:
where the are functions of all the coordinates. A differential 1 form is integrated along an oriented curve as a line integral. The expressions , where i < j can be used as a basis at every point on the manifold for all 2 forms. This may be thought of as an infinitesimal oriented square parallel to the – plane. A general 2 form is a linear combination of these at every point on the manifold: , and it is integrated just like a surface integral. A fundamental operation defined on differential forms is the exterior product (the symbol is the wedge ∧). This is similar to the cross product from vector calculus, in that it is an alternating product. For instance,
because the square whose first side is and second side is is to be regarded as having the opposite orientation as the square whose first side is dx^(2) and whose second side is This is why we only need to sum over expressions , with i < j; for example: The exterior product allows higher degree differential forms to be built out of lower degree ones, in much the same way that the cross product in vector calculus allows one to compute the area vector of a parallelogram from vectors pointing up the two sides. Alternating also implies that , in the same way that the cross product of parallel vectors, whose magnitude is the area of the parallelogram spanned by those vectors, is zero. In higher dimensions, if any two of the indices i1, , im are equal, in the same way that the "volume" enclosed by a parallelotope whose edge vectors are linearly dependent is zero.
потому что квадрат, первая сторона которого и вторая сторона , должен рассматриваться как имеющий противоположную ориентацию по сравнению с квадратом, первая сторона которого dx^(2) и вторая сторона которого . Именно поэтому нам нужно суммировать только выражения , где i < j; например: . Внешнее произведение позволяет строить дифференциальные формы более высокой степени из форм более низкой степени, аналогично тому, как векторное произведение в векторном исчислении позволяет вычислить вектор площади параллелограмма по векторам, указывающим на две его стороны. Чередующийся характер также подразумевает, что , подобно тому, как векторное произведение параллельных векторов, величина которого равна площади параллелограмма, образованного этими векторами, равна нулю. В более высоких измерениях, если любые два из индексов i1, , im совпадают, то результат равен нулю, подобно тому, как «объем», заключенный в параллелотоп, ребра которого линейно зависимы, равен нулю.
which is the negative of the integral of the same differential form over the same interval, when equipped with the opposite orientation. That is:
This gives a geometrical context to the conventions for one dimensional integrals, that the sign changes when the orientation of the interval is reversed. A standard explanation of this in one variable integration theory is that, when the limits of integration are in the opposite order (b < a), the increment dx is negative in the direction of integration. More generally, an m form is an oriented density that can be integrated over an m dimensional oriented manifold. (For example, a 1 form can be integrated over an oriented curve, a 2 form can be integrated over an oriented surface, etc.) If M is an oriented m dimensional manifold, and is the same manifold with opposite orientation and ω is an m form, then one has:
These conventions correspond to interpreting the integrand as a differential form, integrated over a chain. In measure theory, by contrast, one interprets the integrand as a function f with respect to a measure μ and integrates over a subset A, without any notion of orientation; one writes to indicate integration over a subset A. This is a minor distinction in one dimension, but becomes subtler on higher dimensional manifolds; see below for details. Making the notion of an oriented density precise, and thus of a differential form, involves the exterior algebra. The differentials of a set of coordinates, , , can be used as a basis for all 1 forms. Each of these represents a covector at each point on the manifold that may be thought of as measuring a small displacement in the corresponding coordinate direction. A general 1 form is a linear combination of these differentials at every point on the manifold:
where the are functions of all the coordinates. A differential 1 form is integrated along an oriented curve as a line integral. The expressions , where i < j can be used as a basis at every point on the manifold for all 2 forms. This may be thought of as an infinitesimal oriented square parallel to the – plane. A general 2 form is a linear combination of these at every point on the manifold: , and it is integrated just like a surface integral. A fundamental operation defined on differential forms is the exterior product (the symbol is the wedge ∧). This is similar to the cross product from vector calculus, in that it is an alternating product. For instance,
because the square whose first side is and second side is is to be regarded as having the opposite orientation as the square whose first side is dx^(2) and whose second side is This is why we only need to sum over expressions , with i < j; for example: The exterior product allows higher degree differential forms to be built out of lower degree ones, in much the same way that the cross product in vector calculus allows one to compute the area vector of a parallelogram from vectors pointing up the two sides. Alternating also implies that , in the same way that the cross product of parallel vectors, whose magnitude is the area of the parallelogram spanned by those vectors, is zero. In higher dimensions, if any two of the indices i1, , im are equal, in the same way that the "volume" enclosed by a parallelotope whose edge vectors are linearly dependent is zero.
Многоиндексальная обозначение
Общая нотация для клинового произведения элементарных k-форм называется многоиндексной нотацией: в n-мерном контексте для , мы определяем . Другая полезная нотация получается путем определения множества всех строго возрастающих многоиндексов длины k в пространстве размерности n, обозначаемого как . Затем локально (где бы ни применялись координаты), порождает пространство дифференциальных k-форм в многообразии M размерности n, рассматриваемое как модуль над кольцом гладких функций на M. Комбинаторно вычисляя размер , модуль k-форм на n-мерном многообразии, и в общем случае пространство k-ковекторов на n-мерном векторном пространстве, получаем n из k: <math display="inline"> . Это также демонстрирует, что не существует ненулевых дифференциальных форм степени, превышающей размерность базового многообразия.
Операции
Помимо сложения и умножения на скаляр, вытекающих из структуры векторного пространства, на дифференциальных формах определены несколько других стандартных операций. Наиболее важными из них являются внешнее произведение двух дифференциальных форм, внешняя производная дифференциальной формы, внутреннее произведение дифференциальной формы и векторного поля, производная Ли дифференциальной формы по векторному полю и ковариантная производная дифференциальной формы по векторному полю на многообразии с заданной связностью.
Римановский многообразие
На римановом многообразии, или в более общем случае, на псевдоримановом многообразии, метрика определяет волокно-мудрый изоморфизм между касательным и кокасательным пучками. Это позволяет переходить от векторных полей к ковекторным полям и обратно. Также это даёт возможность определить дополнительные операции, такие как оператор звезды Ходжа и кодифференциал, который имеет степень −1 и является сопряжённым к внешнему дифференциалу d.
Структуры векторных полей
На псевдоримановом многообразии 1-формы можно отождествить с векторными полями; векторные поля обладают дополнительными различными алгебраическими структурами, которые перечислены здесь для справки и во избежание путаницы. Во-первых, каждое (со)касательное пространство порождает алгебру Клиффорда, где произведение (со)вектора на себя задается значением квадратичной формы – в данном случае, естественной, индуцированной метрикой. Эта алгебра отличается от внешней алгебры дифференциальных форм, которую можно рассматривать как алгебру Клиффорда, в которой квадратичная форма равна нулю (поскольку внешнее произведение любого вектора на себя равно нулю). Таким образом, алгебры Клиффорда являются неантикоммутативными ("квантовыми") деформациями внешней алгебры. Они изучаются в геометрической алгебре. Другой подход – рассматривать векторные поля как дифференцирования. (Некоммутативная) алгебра дифференциальных операторов, порождаемая ими, является алгеброй Вейля и представляет собой некомутативную ("квантовую") деформацию симметричной алгебры над векторными полями.
Внешний дифференциальный комплекс
Одно важное свойство внешней производной заключается в том, что это означает, что внешняя производная определяет комплекс коцепей:
Этот комплекс называется комплексом де Рама, а его когомологии по определению являются когомологиями де Рама многообразия M. По лемме Пуанкаре комплекс де Рама локально точен, за исключением Ω⁰(M). Ядро в Ω⁰(M) — это пространство локально постоянных функций на M. Следовательно, комплекс является разрешением постоянного пучка, что, в свою очередь, влечет за собой форму теоремы де Рама: когомологии де Рама вычисляют когомологии пучка .
Откат
Предположим, что f : M → N гладкая. Дифференциал f является гладным отображением df : TM → TN между тангентными расслоениями M и N. Это отображение также обозначается f∗ и называется прямым перенесением (pushforward). Для любой точки p ∈ M и любого касательного вектора v ∈ TpM существует однозначно определенный вектор прямого перенесения f∗(v) в Tf(p)N. Однако это неверно для векторного поля. Если f не инъективно, например, потому что q ∈ N имеет два или более прообраза, то векторное поле может определять два или более различных векторов в TqN. Если f не сюръективно, то найдется точка q ∈ N, в которой f∗ не определяет никакого касательного вектора. Поскольку векторное поле на N определяет, по определению, единственный касательный вектор в каждой точке N, прямое перенесение векторного поля не всегда существует. В отличие от этого, всегда можно вернуть дифференциальную форму (pull back). Дифференциальную форму на N можно рассматривать как линейный функционал на каждом касательном пространстве. Предкомпозиция этого функционала с дифференциалом df : TM → TN определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве M и, следовательно, дифференциальную форму на M. Существование обратных перенесений является одной из ключевых особенностей теории дифференциальных форм. Это приводит к существованию обратных отображений в других ситуациях, таких как обратные гомоморфизмы в когомологиях де Рама. Формально, пусть f : M → N гладкая, и пусть ω — гладкая k-форма на N. Тогда существует дифференциальная форма на M, называемая обратным перенесением ω, которая отражает поведение ω, рассматриваемое относительно f. Чтобы определить обратное перенесение, зафиксируйте точку p из M и касательные векторы v1, ..., vk к M в p. Обратное перенесение ω определяется формулой. Существует несколько более абстрактных способов интерпретировать это определение. Если ω — 1-форма на N, то ее можно рассматривать как сечение кокасательного расслоения N. Обозначая через двойственное отображение, двойственное к дифференциалу f, получаем . Обратное перенесение ω можно определить как композицию. Это сечение кокасательного расслоения M и, следовательно, дифференциальная 1-форма на M. В общем случае, пусть обозначает k-ю внешнюю степень двойственного отображения к дифференциалу. Тогда обратное перенесение k-формы ω является композицией. Другой абстрактный взгляд на обратное перенесение исходит из рассмотрения k-формы ω как линейного функционала на касательных пространствах. С этой точки зрения, ω является морфизмом векторных расслоений, где N × ℝ — тривиальное расслоение ранга один над N. Композиция отображений определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве M и, следовательно, факторизуется через тривиальное расслоение M × ℝ. Морфизм векторного расслоения, определенный таким образом, является. Обратное перенесение сохраняет все основные операции над формами. Если ω и η — формы, а c — действительное число, то. Обратное перенесение формы также может быть записано в координатах. Предположим, что x¹,..., xᵐ — координаты на M, y¹,..., yⁿ — координаты на N, и эти системы координат связаны формулами yⁱ = fⁱ(x¹, ..., xᵐ) для всех i. Локально на N, ω можно записать как, где для каждого выбора i₁, ..., ik, ωᵢ₁···ᵢₖ — функция, принимающая действительные значения от y¹, ..., yⁿ. Используя линейность обратного перенесения и его совместимость с внешним произведением, обратное перенесение ω имеет формулу. Каждую внешнюю производную dfⁱ можно разложить по dx¹, ..., dxᵐ. Полученную k-форму можно записать с использованием матриц Якоби: Здесь, обозначает определитель матрицы, элементы которой равны,.
There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1 form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is The pullback of ω may be defined to be the composite
This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1 form on M. In full generality, let denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k form ω is the composite
Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles
where N × 'R' is the trivial rank one bundle on N. The composite map
defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × 'R'. The vector bundle morphism defined in this way is
Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then
The pullback of a form can also be written in coordinates. Assume that x^(1), , x^(m) are coordinates on M, that y^(1), , y^(n) are coordinates on N, and that these coordinate systems are related by the formulas 1=y^(i) = fi(x^(1), , x^(m)) for all i. Locally on N, ω can be written as
where, for each choice of i1, , ik, ωi1⋅⋅⋅ik is a real valued function of y^(1), , y^(n). Using the linearity of pullback and its compatibility with exterior product, the pullback of ω has the formula
Each exterior derivative dfi can be expanded in terms of dx^(1), , dx^(m). The resulting k form can be written using Jacobian matrices:
Here, denotes the determinant of the matrix whose entries are , .
Интеграция
Дифференциальная k-форма может быть интегрирована по ориентированному k-мерному многообразию. Если k-форма определена на n-мерном многообразии с n > k, то k-форма может быть интегрирована по ориентированным k-мерным подмногообразиям. Если k = 0, то интеграция по ориентированным 0-мерным подмногообразиям представляет собой просто суммирование значений подынтегральной функции в точках, с учетом ориентации этих точек. Другие значения k = 1, 2, 3 соответствуют линейным интегралам, поверхностным интегралам, объемным интегралам и так далее. Существует несколько эквивалентных способов формального определения интеграла дифференциальной формы, все из которых сводятся к случаю евклидова пространства.
Интеграция на евклидовом пространстве
Пусть U – открытое подмножество Rⁿ. Наделим Rⁿ стандартной ориентацией, а U – ограничением этой ориентации. Каждая гладкая n-форма ω на U имеет вид
для некоторой гладкой функции f: Rⁿ → R. Такая функция имеет интеграл в обычном смысле Римана или Лебега. Это позволяет нам определить интеграл ω как интеграл от f:
Фиксация ориентации необходима для корректности определения. Антисимметричность дифференциальных форм означает, что интеграл, например, dx¹ ∧ dx² должен быть равен отрицательному интегралу dx² ∧ dx¹. Интегралы Римана и Лебега не учитывают зависимость от порядка координат, поэтому они оставляют знак интеграла неопределённым. Ориентация разрешает эту неоднозначность.
Интеграция с использованием разделов единства
Существует другой подход, изложенный в , который непосредственно приписывает значение интегралу по M, но этот подход требует фиксации ориентации M. Интеграл n-формы ω на n-мерном многообразии определяется путем работы в локальных координатах. Предположим сначала, что ω поддерживается на одной положительно ориентированной локальной координате. В этой локальной координате ее можно перенести обратно в n-форму на открытом подмножестве Rⁿ. Здесь форма имеет хорошо определенный интеграл Римана или Лебега, как и прежде. Формула замены переменных и предположение о положительной ориентации локальной координаты вместе гарантируют, что интеграл ω не зависит от выбранной локальной координаты. В общем случае используйте разбиение единицы, чтобы представить ω как сумму n-форм, каждая из которых поддерживается в одной положительно ориентированной локальной координате, и определите интеграл ω как сумму интегралов каждого слагаемого в разбиении единицы. Также возможно интегрировать k-формы на ориентированных k-мерных подмногообразиях, используя этот более внутренний подход. Форма переносится обратно на подмногообразие, где интеграл определяется с использованием локальных координат, как и раньше. Например, для заданного пути γ(t) : [0, 1] → R², интегрирование 1-формы на этом пути сводится к переносу формы обратно в форму на [0, 1], и этот интеграл является интегралом функции f(t) на интервале.
Связь с мерами
На общем дифференцируемом многообразии (без дополнительной структуры) дифференциальные формы нельзя интегрировать по подмножествам многообразия; это различие является ключевым для отличия между дифференциальными формами, которые интегрируются по цепям или ориентированным подмногообразиям, и мерами, которые интегрируются по подмножествам. Самый простой пример — попытка интегрировать 1-форму dx на интервале [0, 1]. Предполагая обычную метрику (и, следовательно, меру) на вещественной прямой, этот интеграл равен либо 1, либо −1, в зависимости от ориентации: , в то время как интеграл меры на интервале однозначно равен 1 (то есть интеграл постоянной функции 1 по этой мере равен 1). Аналогично, при изменении координат дифференциальная n-форма изменяется на якобианский детерминант J, в то время как мера изменяется на абсолютную величину якобианского детерминанта , что дополнительно отражает проблему ориентации. Например, при отображении x ↦ −x на прямой дифференциальная форма dx переходит в −dx; ориентация меняется на противоположную; в то время как мера Лебега, которую мы здесь обозначаем , переходит в ; она не изменяется. При наличии дополнительной информации об ориентации можно интегрировать n-формы (формы максимальной размерности) по всему многообразию или по компактным подмножествам; интеграл по всему многообразию соответствует интегрированию формы по фундаментальному классу многообразия [M]. Формально, при наличии ориентации, n-формы можно отождествить с плотностями на многообразии; плотности, в свою очередь, определяют меру и, следовательно, могут быть интегрированы. На ориентируемом, но не ориентированном многообразии есть два выбора ориентации; любой из этих выборов позволяет интегрировать n-формы по компактным подмножествам, причем два выбора отличаются знаком. На неориентируемом многообразии n-формы и плотности нельзя отождествить — в частности, любая форма максимальной размерности должна обращаться в нуль где-то (на неориентируемых многообразиях нет объемных форм), но существуют плотности, не обращающиеся в нуль ни в одной точке; таким образом, хотя плотности можно интегрировать по компактным подмножествам, n-формы интегрировать нельзя. Вместо этого плотности можно отождествить с псевдоформами максимальной размерности. Даже при наличии ориентации, как правило, нет осмысленного способа интегрировать k-формы по подмножествам для k < n, поскольку нет последовательного способа использовать ориентацию окружающего пространства для ориентации k-мерных подмножеств. Геометрически, k-мерное подмножество можно повернуть на месте, получив то же подмножество с противоположной ориентацией; например, горизонтальную ось на плоскости можно повернуть на 180 градусов. Сравните грам-детерминант множества k векторов в n-мерном пространстве, который, в отличие от детерминанта n векторов, всегда положителен и соответствует квадрату числа. Следовательно, ориентация k-подмногообразия является дополнительными данными, которые нельзя вывести из окружающего многообразия. На римановом многообразии можно определить k-мерную меру Хаусдорфа для любого k (целого или вещественного числа), которую можно интегрировать по k-мерным подмножествам многообразия. Функция, умноженная на эту меру Хаусдорфа, затем может быть интегрирована по k-мерным подмножествам, предоставляя теоретико-измерительную аналогию интегрированию k-форм. n-мерная мера Хаусдорфа дает плотность, как указано выше.
On an orientable but not oriented manifold, there are two choices of orientation; either choice allows one to integrate n forms over compact subsets, with the two choices differing by a sign. On non orientable manifold, n forms and densities cannot be identified —notably, any top dimensional form must vanish somewhere (there are no volume forms on non orientable manifolds), but there are nowhere vanishing densities— thus while one can integrate densities over compact subsets, one cannot integrate n forms. One can instead identify densities with top dimensional pseudoforms. Even in the presence of an orientation, there is in general no meaningful way to integrate k forms over subsets for k < n because there is no consistent way to use the ambient orientation to orient k dimensional subsets. Geometrically, a k dimensional subset can be turned around in place, yielding the same subset with the opposite orientation; for example, the horizontal axis in a plane can be rotated by 180 degrees. Compare the Gram determinant of a set of k vectors in an n dimensional space, which, unlike the determinant of n vectors, is always positive, corresponding to a squared number. An orientation of a k submanifold is therefore extra data not derivable from the ambient manifold. On a Riemannian manifold, one may define a k dimensional Hausdorff measure for any k (integer or real), which may be integrated over k dimensional subsets of the manifold. A function times this Hausdorff measure can then be integrated over k dimensional subsets, providing a measure theoretic analog to integration of k forms. The n dimensional Hausdorff measure yields a density, as above.
Течения
Дифференциально-форменный аналог распределения или обобщенной функции называется током. Пространство k-токов на M является двойственным пространством к соответствующему пространству дифференциальных k-форм. Токи выполняют роль обобщенных областей интегрирования, аналогичных, но даже более гибких, чем сингулярные цепи.
Применение в теории геометрических мер
Многочисленные результаты минимальности для комплексных аналитических многообразий основаны на неравенстве Виртингера для 2-форм. Лаконичное доказательство можно найти в классическом труде Герберта Федерера «Геометрическая теория меры». Неравенство Виртингера также является ключевым элементом неравенства Громова для комплексного проективного пространства в систолической геометрии.