Кіріспе
Пропозициялық есептеуде пропозициялық функция немесе предикат – бұл шындық немесе жалған мәнін қабылдай алатын, бірақ ішінде анықталмаған немесе белгіленбеген (еркін айнымалы) айнымалысы (x) бар сөйлем. Сөйлемде бірнеше мұндай айнымалылар болуы мүмкін (мысалы, n айнымалы, онда функция n аргументті қабылдайды).
Шолу
Математикалық функция ретінде A(x) немесе A(x, x, …, x) ұйғарымдық функция предикаттардан немесе ұйғарымдық түрлерден абстрактталады. Мысал ретінде, "x ыстық" деген предикат схемасын қарастырайық. Кез келген нысанды x-ке қойғанда нақты ұсыныс пайда болады, оны шын немесе жалған деп сипаттауға болады, тіпті "x ыстық" өзі шын немесе жалған мәлімдеме ретінде ешқандай құндылығы жоқ болса да. Дегенмен, x-ке лава сияқты мән берілгенде, функция шын мәнін алады; ал x-ке мұз сияқты мән берілгенде, функция жалған мәнін алады. Ұйғарымдық функциялар жиынды құру үшін жиын теориясында пайдалы. Мысалы, 1903 жылы Бертран Рассел «Математика принциптері» еңбегінде (106-бет) былай деп жазды: «Ұйғарымдық функцияны бастапқы түсінік ретінде қарастыру қажет болды». Кейін Рассел ұйғарымдық функциялар предикативті ме, жоқ па деген мәселені зерттеді және осы мәселеге жете алу үшін екі теория ұсынды: зигзаг теориясы және типтердің тармақталған теориясы. Ұйғарымдық функция немесе предикат x айнымалысындағы p(x) ашық формуласы болып табылады, ол x-ке оның мүмкін мәндер жиынтығынан нақты мән берілгенде ұсынысқа айналады. Кларенс Льюис айтқандай, «Ұсыныс – бұл шын немесе жалған болатын кез келген өрнек; ұйғарымдық функция – бұл бір немесе бірнеше айнымалыларды қамтитын өрнек, ол әрбір айнымалы жеке тұлғалардың сөздік доменінен оның бірнеше мәндерімен ауыстырылғанда ұсынысқа айналады». Льюис қатынастарды енгізу үшін ұйғарымдық функциялар түсінігін қолданды, мысалы, n айнымалылардың ұйғарымдық функциясы n-ретті қатынас болып табылады. n = 2 жағдайы екілік қатынастарға сәйкес келеді, олардың біртекті қатынастары (екі айнымалы да бір жиыннан) және әртекті қатынастары болады.
" it has become necessary to take propositional function as a primitive notion. Later Russell examined the problem of whether propositional functions were predicative or not, and he proposed two theories to try to get at this question: the zig zag theory and the ramified theory of types. A Propositional Function, or a predicate, in a variable x is an open formula p(x) involving x that becomes a proposition when one gives x a definite value from the set of values it can take. According to Clarence Lewis, "A proposition is any expression which is either true or false; a propositional function is an expression, containing one or more variables, which becomes a proposition when each of the variables is replaced by some one of its values from a discourse domain of individuals." Lewis used the notion of propositional functions to introduce relations, for example, a propositional function of n variables is a relation of arity n. The case of n = 2 corresponds to binary relations, of which there are homogeneous relations (both variables from the same set) and heterogeneous relations.