Введение
В пропозициональной логике, пропозициональная функция или предикат — это высказывание, выраженное таким образом, что оно могло бы принимать значение истинно или ложно, если бы не содержало в себе неопределённую или не указанную переменную (x) – свободную переменную, из-за которой высказывание остаётся неопределённым. Высказывание может содержать несколько таких переменных (например, n переменных, в этом случае функция принимает n аргументов).
Обзор
В качестве математической функции, A(x) или A(x, x, , x), пропозициональная функция абстрагируется от предикатов или пропозициональных форм. В качестве примера рассмотрим схему предиката "x горячий". Подстановка любого объекта вместо x приводит к конкретному высказыванию, которое можно оценить как истинное или ложное, хотя само выражение "x горячий" не имеет истинностного значения. Однако, когда x присваивается значение, например, "лава", функция принимает значение "истина"; а когда x присваивается значение, например, "лёд", функция принимает значение "ложь". Пропозициональные функции полезны в теории множеств для построения множеств. Например, в 1903 году Бертран Рассел писал в "Принципах математики" (стр. 106): "стало необходимо рассматривать пропозициональную функцию как примитивное понятие". Позднее Рассел исследовал вопрос о том, являются ли пропозициональные функции предикативными или нет, и предложил две теории для решения этого вопроса: зигзагообразную теорию и разветвлённую теорию типов. Пропозициональная функция, или предикат, относительно переменной x – это открытая формула p(x), содержащая x, которая становится высказыванием, когда x присваивается определённое значение из множества допустимых значений. Согласно К. Льюису, "высказывание – это любое выражение, которое либо истинно, либо ложно; пропозициональная функция – это выражение, содержащее одну или несколько переменных, которое становится высказыванием, когда каждая из переменных заменяется одним из её значений из области значений, допустимых для данной переменной". Льюис использовал понятие пропозициональных функций для введения отношений, например, пропозициональная функция от n переменных является отношением арности n. Случай n = 2 соответствует бинарным отношениям, среди которых выделяют однородные отношения (обе переменные из одного и того же множества) и неоднородные отношения.
" it has become necessary to take propositional function as a primitive notion. Later Russell examined the problem of whether propositional functions were predicative or not, and he proposed two theories to try to get at this question: the zig zag theory and the ramified theory of types. A Propositional Function, or a predicate, in a variable x is an open formula p(x) involving x that becomes a proposition when one gives x a definite value from the set of values it can take. According to Clarence Lewis, "A proposition is any expression which is either true or false; a propositional function is an expression, containing one or more variables, which becomes a proposition when each of the variables is replaced by some one of its values from a discourse domain of individuals." Lewis used the notion of propositional functions to introduce relations, for example, a propositional function of n variables is a relation of arity n. The case of n = 2 corresponds to binary relations, of which there are homogeneous relations (both variables from the same set) and heterogeneous relations.