Кіріспе
Топологиядағы үздіксіз картаның түрі
Топологияда, жабу немесе жабу проекциясы – топологиялық кеңістіктер арасындағы карта, ол интуитивті түрде, кеңістіктің бірнеше көшірмелерінің өзіне проекциясы сияқты жергілікті түрде әрекет етеді. Әсіресе, жабулар – жергілікті гомеоморфизмдердің ерекше түрлері болып табылады. Егер жабу болса, жабу кеңістігі немесе жабуы деп аталады, ал жабудың негізі немесе жай ғана негізі деп аталады. Терминологияны шартты түрде пайдалану арқылы, кейде және кеңістіктері де жабу кеңістіктері деп аталуы мүмкін. Жабулар жергілікті гомеоморфизмдер болғандықтан, жабу кеңістігі – эталь кеңістігінің ерекше түрі болып табылады. Жабу кеңістіктері алғаш рет күрделі талдау контекстінде (әсіресе, аналитикалық жалғастыру әдісі) пайда болды, онда оларды Риман табиғи түрде көпмәнді күрделі функциялар бірмәнді болатын домендер ретінде енгізді. Бұл кеңістіктер қазір Риман беттері деп аталады. Жабу кеңістіктері математиканың бірнеше салаларында маңызды құрал болып табылады. Қазіргі геометрияда, жабу кеңістіктері (немесе сәл әлсіз шарттары бар тармақталған жабулар) көпқырлылықтарды, орбиталық кеңістіктерді және олардың арасындағы морфизмдерді құрастыруда қолданылады. Алгебралық топологияда, жабу кеңістіктері негізгі топпен тығыз байланысты: біріншіден, барлық жабулар гомотопияны көтеру қасиетіне ие болғандықтан, жабу кеңістіктері гомотопиялық топтарды есептеуде маңызды құрал болып табылады. Бұл бағытта стандартты мысал ретінде жабуы арқылы шеңбердің негізгі тобын есептеуді қарастыруға болады (төменде қараңыз). Белгілі бір жағдайларда, жабу кеңістіктері негізгі топтың кіші топтарымен Галуа сәйкестігін көрсетеді.
Анықтама
Топологиялық кеңістік болсын. -ның жабыны – үздісіз бейнелеу,
мұнда әрбір үшін ашық маң және дискретті кеңістік бар, сондай-ақ әрбір үшін гомеоморфизм болады. Ашық жиынтар қабаттар деп аталады, және егер кеңістік байланысты болса, олар гомеоморфизмге дейін бірегей анықталады. Әрбір үшін дискретті жиын -ның талшығы деп аталады. Егер кеңістік байланысты болса, онда бейнелеудің сюръективті екенін және барлық үшін кардиналдық саны бірдей екенін көрсетуге болады; бұл шама жабу дәрежесі деп аталады. Егер кеңістік жолмен байланысты болса, онда жабу жолмен байланысты жабу деп аталады. Бұл анықтама жергілікті тривиалды талшықтык шоғыр деген тұжырымға тең. Кейбір авторлар кеңістік байланысты емес болған жағдайда да сюръективті болуын талап етеді.
Жергілікті гомеоморфизм
Қоршау ашық жиынтықтарды үйлесімді түрде бейнелегендіктен, ол жергілікті үйлесімділік, яғни үздіксіз бейнелеу және кез келген нүкте үшін, сол нүктенің ашық маңы бар, онда ол үйлесімділік болады. Осыдан жабу кеңістігі мен негізгі кеңістік жергілікті түрде бірдей қасиеттерге ие екендігі шығады. Егер байланысты және бағытталмайтын көпқырлы болса, онда дәрежесі болатын жабу бар, осы арқылы байланысты және бағытталған көпқырлы болады. Егер байланысты Лай тобы болса, онда Лай тобының гомоморфизмі болып табылатын және өзі Лай тобы болатын жабу бар. Егер граф болса, онда жабу да граф болады. Егер байланысты көпқырлы болса, онда байланысты және жай ғана байланысты көпқырлы болатын жабу бар. Егер байланысты Риман беті болса, онда ол сонымен қатар голоморфтық бейнелеу болып табылады және байланысты және жай ғана байланысты Риман беті болады.
Қаптаманың өнімдері
Келіңіз және топологиялық кеңістіктер болсын, ал және жабындылар болсын. Онда - бұл жабынды. Дегенмен, жалпы жағдайда кеңістіктің барлық жабындары осы түрде бола бермейді.
Қаптамалардың теңдестігі
Келіңіздер, топологиялық кеңістік болсын, ал және жабындар болсын. Егер гомеоморфизм болса, онда екі жабын эквивалентті деп аталады, және диаграмма осы гомеоморфизммен ауысады. Мұндай гомеоморфизм болған жағдайда, жабатын кеңістіктер мен изоморфты деп аталады.
commutes. If such a homeomorphism exists, then one calls the covering spaces and isomorphic.
Риманн беттерінің арасындағы голоморфты карталар
Let және Риман беттері болсын, яғни бір өлшемді комплекстік көптүрліліктер, және let үздіксіз бейнелеу болсын. егер және карталары үшін, мұндағы , бейнелеу голоморфты болса, онда нүктеде голоморфты деп айтамыз. Егер барлық нүктелерде голоморфты болса, онда бейнелеу голоморфты деп айтамыз. бейнелеуінің нүктесіндегі жергілікті өрнегі деп аталады. Егер карта тығыз Риман беттері арасындағы тұрақты емес голоморфты бейнелеу болса, онда ол сюръективті және ашық бейнелеу болып табылады, яғни кез келген ашық жиын үшін оның бейнесі де ашық болады.
If is a non constant, holomorphic map between compact Riemann surfaces, then is surjective and an open map, i. e. for every open set the image is also open.
Бұтақтану нүктесі мен бұтақ нүктесі
Риманның тығыз беттері арасындағы тұрақты емес, голоморфты функцияны қарастырайық. Кез келген үшін және үшін, және беттері үшін кестелер бар, сондай-ақ бірегей анықталған , бар, осылайша функцияның жергілікті өрнегі мынадай түрде болады: санын функцияның тармақталу индексі деп атайды, ал нүктесі тармақталу нүктесі деп аталады, егер . Егер үшін болса, онда функция тармақталмайды. Тармақталу нүктесінің бейнесі тармақ нүктесі деп аталады.
Анықтама
Жалғаспалы бейнелеу, егер тығыз толықтығы бар жабық жиын болса және ол жабу болып табылады, тармақталған жабу деп аталады.
Мысалдар
Егер және болса, онда -бұтақталған жабу, мұнда -бұтақталған нүкте болып табылады. Тығыз Риман беттерінің арасындағы әрбір тұрақты емес голоморфты бейнелеу - дәрежесі бар бұтақталған жабу болып табылады.
Анықтама
Келіңіздер, бұл жай ғана байланысқан жабын болсын. Егер басқа жай ғана байланысқан жабын болса, онда бірегей анықталған гомеоморфизм бар, осы диаграммамен үйлесетін. Бұл дегеніміз, ол эквиваленттілікке дейін бірегей түрде анықталады және осы әмбебап қасиетіне байланысты, кеңістіктің әмбебап жабыны деп аталады.
commutes. This means that is, up to equivalence, uniquely determined and because of that universal property denoted as the universal covering of the space .
Мысалдар
with - бірлік шеңбердің әмбебап жабуы, with - проективті кеңістіктің әмбебап жабуы, үшін with - унитарлық топтың әмбебап жабуы. Осыдан, үлестік бейнелеу - әмбебап жабу болады. әмбебап жабуы жоқ топологиялық кеңістік – Гавайи құлақшасы: нөл нүктесінің ешбір аймағы жай байланысты емес екенін көрсетуге болады.
G-қаптамалары
G дискретті тобы болсын, ол топологиялық X кеңістігінде әрекет етеді. Бұл G-нің әрбір g элементе үшін X-тің өзіне гомеоморфизмі Hg сәйкес келеді дегенді білдіреді, осындай Hg h әрқашан кез келген екі элемент g және h үшін Hg ∘ Hh-қа тең болады. (Яғни, G тобының X кеңістігіндегі әрекеті – X-тің өзіне гомеоморфизмдер тобы Homeo(X)-қа G тобының гомоморфизмі ғана.) X-тен X/G орбиталық кеңістігіне проекцияның қандай шарттарда жабын картасы болатынын сұрау табиғи. Бұл әрқашан дұрыс емес, себебі әрекетте бекітілген нүктелер болуы мүмкін. Мысалы, 2-реттік циклдік топ X × X көбейтіндісінде (x, y) ↦ (y, x) түрлендіру арқылы бұрылыс әрекеті арқылы әрекет етеді. Осылайша, X және X/G негізгі топтарының арақатынасын зерттеу оңай емес. Дегенмен, G тобы X-тің негізгі группоидына әрекет етеді, сондықтан зерттеуді топтардың группоидтарға әрекет етуін және сәйкес орбиталық группоидтарды қарастыру арқылы жақсырақ жүргізуге болады. Бұл теория төменде сілтеме келтірілген «Топология және группоидтар» кітабының 11-тарауында баяндалған. Басты нәтиже – G тобының Хаусдорф кеңістігі X-те үздіксіз әрекеттері үшін, орбиталық кеңістіктің X/G негізгі группоиды X-тің негізгі группоидының орбиталық группоидына изоморфты, яғни G тобының әрекетімен бұл группоидтың бөлігіне. Бұл кеңістіктің симметриялық квадратының негізгі тобы сияқты нақты есептеулерге әкеледі.
Анықтама
Бұл жапқыш. Палубалық түрлендіру – гомеоморфизм, яғни үздіксіз бейнелеулердің диаграммасы сәйкес келеді. Бейнелеулердің композициясымен бірге палубалық түрлендірулер жиыны топты құрайды, ол жапқыш картамен бірдей. Енді, егер жапқыш карта болса және (соның салдарынан) де байланысты және жергілікті түрде жолмен байланысты болса, онда топтың әрбір талшыққа әсері транзитивті болады. Егер бұл әсер кейбір талшықта еркін болса, онда ол барлық талшықтарда еркін болады, және біз мұндай жапқышты тұрақты (немесе қалыпты немесе Галуа) деп атаймыз. Кез келген мұндай тұрақты жапқыш негізгі топтама болып табылады, онда топ дискретті топологиялық топ ретінде қарастырылады. Кез келген әмбебап жапқыш тұрақты болады, ал палубалық түрлендірулер тобы негізгі топқа изоморфты.
commutes. Together with the composition of maps, the set of deck transformation forms a group , which is the same as
Now suppose is a covering map and (and therefore also ) is connected and locally path connected. The action of on each fiber is transitive. If this action is free on some fiber, then it is free on all fibers, and we call the cover regular (or normal or Galois). Every such regular cover is a principal bundle, where is considered as a discrete topological group. Every universal cover is regular, with deck transformation group being isomorphic to the fundamental group .
Мысалдар
Егер болатын жамылғы болса, онда карта жамылғы түрленуі болады және Егер болатын жамылғы болса, онда карта шартымен жамылғы түрленуі болады және тағы бір маңызды мысал ретінде, кешен жазықтықты және нөлдік нүктесі алынған кешен жазықтықты қарастырайық. Онда карта реттелі жамылғы болады. Жамылғы түрленулері – бірліктің n-ші дәрежелі түбірлерімен көбейтулер, сондықтан жамылғы түрлену тобы циклдік топқа изоморфты. Сол сияқты, карта әмбебап жамылғы болады.
Қасиеттері
Жолды жалғасқан кеңістік және жалғасқан жабын болсын. Палубалық түрлендіру биективті болғандықтан, ол талшықтың элементтерін өзгертеді және бір ғана нүктенің қайда жіберілетінімен бірегей түрде анықталады. Атап айтқанда, тек сәйкестік түрлендіру ғана талшықтағы нүктені өзгеріссіз қалдырады. Осы қасиетінің арқасында әр палубалық түрлендіру үстінде топтық әрекетті анықтайды, яғни болсын, онда топтық әрекет болады.
Анықтама
Жабын қалыпты деп аталады, егер бұл кез келген және кез келген екі үшін палубаның түрленуі бар дегенді білдірсе, онда .
Қасиеттері
Жолды жалғасқан кеңістік және жалғасқан жабын болсын. Топтың ішкі тобы болсын, онда - қалыпты жабу, егер топтың қалыпты ішкі тобы болса.
Егер - қалыпты жабу және болса, онда .
Егер - жолды жалғасқан жабын және болса, онда , мұндабы - нормализаторы.
- топологиялық кеңістік болсын. - тобы егер әрбір үшін ашық маңайы болса, онда және кез келген үшін мынадай шарт орындалады: .
Егер - тобы - топологиялық кеңістікке үзіліссіз әрекет етсе, онда квозиенттік бейнелеу - қалыпты жабу болады. Мұндабы - квозиенттік кеңістік және - топтың әрекетінің орбитасы.
If is a normal covering and , then
If is a path connected covering and , then , whereby is the normaliser of
Let be a topological space. A group acts discontinuously on , if every has an open neighborhood with , such that for every with one has
If a group acts discontinuously on a topological space , then the quotient map with is a normal covering. Hereby is the quotient space and is the orbit of the group action.
Мысалдар
Жабынның әрқайсысы – бұл қалыпты жабын. Кез келген жай байланысты жабын – қалыпты жабын болады.
Есептеу
Кеңістікте үзіліссіз әрекет ететін топ болсын, және жабын қалыпты болсын. Егер кеңістік жолға байланысты болса, онда . Егер кеңістік жай ғана байланысты болса, онда .
If is simply connected, then .
Мысалдар
Антиподальды карта, карталардың композициясымен бірге, топты тудырады және топтық әрекетті индукциялайды, ол үзіліссіз түрде әрекет етеді. Осыдан келеді, бөлу картасы қалыпты жабу болып табылады және әмбебап жабу үшін, демек, арнайы ортогональды топ болса, онда карта қалыпты жабу болып табылады және осыдан ол әмбебап жабу, демек, топтық әрекетімен, яғни жартылай тікелей көбейтінді, кілн бөтелкесінің әмбебап жабуын береді, демек. Тор, кілн бөтелкесіне енгізілген. Содан кейін гомеоморфизмді аламыз, ол үзіліссіз топтық әрекетті индукциялайды, яғни, бұл әрекет картасы кілн бөтелкесінің қалыпты жабуы болып табылады, демек. Тор кілн бөтелкесіне енгізілген. Топтық әрекет үзіліссіз болғандықтан, және олар өзара жай сандар болғандықтан, карта линздік кеңістіктің әмбебап жабуы болып табылады, демек.
Қаптамалар санаты
Келіңіздер, топологиялық кеңістік болсын. Санаттың объектілері – кеңістіктің жабындары, ал екі жабынның арасындағы морфизмдер – үздіксіз бейнелеулер, олардың арасындағы диаграмма коммутативті болады.
commutes.
G-Set
Топологиялық топ болсын. санаты – G-топтары болып табылатын жиындар санаты. Морфизмдер – G-топтары арасындағы G-бейнелеулері. Олар кез келген үшін шартын қанағаттандырады.
Теңдестік
Кеңістік байланысты және жергілікті жай ғана байланысқан болсын, ал – оның негізгі тобы болсын. Жолдарды көтеру және көтерілістің соңғы нүктесінде бағалау арқылы, жабынның талшығындағы топтық әрекет анықталады, сондықтан функторы категориялардың баламалылығы болып табылады.
Қолданбалар
Орынды жабудың маңызды практикалық қолданылуы SO(3) бойынша карталарда, айналым тобында кездеседі. Бұл топ инженерлік салада кеңінен қолданылады, себебі 3 өлшемді айналу навигация, теңіз инженерлігі және аэроғарыш инженерлігінде, сондай-ақ көптеген басқа да салаларда қолданылады. Топологиялық тұрғыдан алғанда, SO(3) – бұл нақты проективті кеңістік RP3, негізгі тобы Z/2 және жалғыз (тривиалды емес) орынды жабу кеңістігі гиперсфера S3 болып табылады, бұл топ Spin(3) деп аталады және бірлік кватерниондармен бейнеленеді. Осылайша, кватерниондар кеңістіктік айналуды бейнелеудің тиімді әдісі болып саналады. Дегенмен, айналуды үш санның жиынтығы арқылы көрсету жиі қажет болады, олар Эйлер бұрыштары деп аталады (көптеген түрлері бар), себебі бұл жазықтықтағы айналумен таныс адам үшін түсініктірек, және үш гимбалдың комбинациясын құрастырып, үш өлшемде айналуды жасауға болады. Топологиялық тұрғыдан бұл үш бұрыштың 3-торы T3-тен айналудың нақты проективті кеңістігі RP3-ке жасалған картаға сәйкес келеді, ал нәтижедегі картада бұл карта орынды жабу картасы бола алмайтындықтан кемшіліктер пайда болады. Атап айтқанда, картаның белгілі бір нүктелерде жергілікті гомеоморфизм болуына мүмкіндік бермеуі гимбал құлыптауы деп аталады және оң жақтағы анимацияда көрсетілген. Кейбір нүктелерде (осьтер бір жазықтықта жатқанда) картаның ранкі 3 емес, 2-ге тең, яғни бұрыштарды өзгерту арқылы сол нүктеден айналудың тек 2 өлшемін ғана жүзеге асыруға болады. Бұл қолданыста мәселе тудырады және орынды жабу кеңістігі түсінігі арқылы формальдастырылады.