Введение

Тип непрерывного отображения в топологии

В топологии покрытие, или покрытие-проекция, — это отображение между топологическими пространствами, которое, интуитивно, локально действует как проекция множества копий пространства на само себя. В частности, покрытия являются особыми типами локальных гомеоморфизмов. Если является покрытием, то называется покрывающим пространством или покрытием , а — основанием покрытия, или просто основанием. По неточности терминологии, и иногда также могут называться покрывающими пространствами. Поскольку покрытия являются локальными гомеоморфизмами, покрывающее пространство является особым видом этального пространства. Покрывающие пространства впервые возникли в контексте комплексного анализа (в частности, метода аналитического продолжения), где они были введены Риманом как области, на которых естественно многозначные комплексные функции становятся однозначными. Эти пространства теперь называются поверхностями Римана. Покрывающие пространства являются важным инструментом в различных областях математики. В современной геометрии покрывающие пространства (или разветвленные покрытия, которые имеют несколько более слабые условия) используются при построении многообразий, орбиформ и морфизмов между ними. В алгебраической топологии покрывающие пространства тесно связаны с фундаментальной группой: во-первых, поскольку все покрытия обладают свойством подъема гомотопий, покрывающие пространства являются важным инструментом в вычислении гомотопических групп. Стандартным примером в этом направлении является вычисление фундаментальной группы окружности посредством покрытия по (см. ниже). При определенных условиях покрывающие пространства также демонстрируют соответствие Галуа с подгруппами фундаментальной группы.

Определение

Пусть X — топологическое пространство. Покрытие пространства X — это непрерывное отображение p: E → X, такое что для каждой точки x ∈ X существует открытое окрестность U точки x и дискретное пространство F, такие что p⁻¹(U) ≈ F × U, и p|_(p⁻¹(U)) является гомеоморфизмом для каждого U. Открытые множества U называются слоями (листами), которые однозначно определены с точностью до гомеоморфизма, если X связен. Для каждой точки x ∈ X дискретное множество p⁻¹(x) называется волокном. Если X связен, то можно показать, что p сюръективен, и мощность p⁻¹(x) одинакова для всех x; это значение называется степенью покрытия. Если X пути-связен, то покрытие p называется пути-связным покрытием. Это определение эквивалентно утверждению, что p является локально тривиальным расслоением. Некоторые авторы также требуют, чтобы p был сюръективным в случае, когда X не связен.

Местный гомеоморфизм

Поскольку покрытие отображает каждое из непересекающихся открытых множеств гомеоморфно на себя, оно является локальным гомеоморфизмом, то есть представляет собой непрерывное отображение, и для каждой точки существует открытое окрестность , такая, что является гомеоморфизмом. Следовательно, покрывающее пространство и базовое пространство локально обладают одними и теми же свойствами. Если является связным и не ориентируемым многообразием, то существует покрытие степени , при котором является связным и ориентируемым многообразием. Если является связной группой Ли, то существует покрытие, которое также является гомоморфизмом группы Ли, и является группой Ли. Если является графом, то из существования покрытия следует, что также является графом. Если является связным многообразием, то существует покрытие, при котором является связным и просто связным многообразием. Если является связной поверхностью Римана, то существует покрытие, которое также является голоморфным отображением, и является связной и просто связной поверхностью Римана.

Продукт покрытий

Пусть X и Y — топологические пространства, а U и V — покрытия. Тогда U ∪ V является покрытием. Однако, в общем случае, не все покрытия пространства X имеют такую форму.

Эквивалентность покрытий

Пусть X — топологическое пространство, а U и V — два покрытия X. Оба покрытия называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм f: X → X, такой что следующая диаграмма коммутирует. Если такой гомеоморфизм существует, то покрывающие пространства U и V называются изоморфными.

Голоморфные карты между поверхностями Римана

Пусть и будут поверхностями Римана, то есть одномерными комплексными многообразиями, и пусть будет непрерывным отображением. Отображение называется голоморфным в точке , если для любых атласов и с , отображение является голоморфным. Если отображение голоморфно во всех точках , мы говорим, что оно голоморфно. Отображение называется локальным выражением отображения в . Если отображение является неголоморфным и голоморфным между компактными поверхностями Римана, то оно сюръективно и является открытым отображением, то есть для любого открытого множества его образ также открыт.

Точка разветвления и точка разветвления

Пусть f — неконстантное голоморфное отображение между компактными поверхностями Римана. Для каждой точки z ∈ S существует окрестность U около z и окрестность V около f(z), а также однозначно определенное целое число e ≥ 1, такое что локальное выражение f в U имеет вид w = z^e. Число e называется индексом ветвления f в точке z, а точка z называется точкой ветвления, если e > 1. Если e = 1 для некоторой точки z, то f не ветвится в этой точке. Образ точки ветвления называется точкой ветвления отображения.

Определение

Непрерывное отображение называется разветвленным покрытием, если существует замкнутое множество с плотным дополнением, такое что является покрытием.

Примеры

Пусть $f: X \to Y$ и $g: Y \to Z$, тогда $g \circ f: X \to Z$ является разветвленным покрытием степени $n$, где $Y$ имеет точку ветвления. Каждая неконстантная голоморфная карта между компактными поверхностями Римана $X$ и $Y$ степени $n$ является разветвленным покрытием степени $n$.

Определение

Пусть $\tilde{X} \to X$ — простосвязное накрытие. Если $\tilde{Y} \to X$ — другое простосвязное накрытие, то существует единственно определённый гомеоморфизм $f: \tilde{X} \to \tilde{Y}$, такой что следующая диаграмма коммутирует:

Это означает, что $\tilde{Y}$ определяется с точностью до эквивалентности, и благодаря этому универсальному свойству обозначается как универсальное накрытие пространства $X$.

Примеры

с является универсальным накрытием единичной окружности, с является универсальным накрытием проективного пространства для с является универсальным накрытием унитарной группы. Поскольку , следует, что фактор-отображение является универсальным накрытием. Топологическое пространство, не имеющее универсального накрытия, — это гавайская серёжка: можно показать, что ни одна окрестность начала координат не является односвязной.

Покрытия G

Пусть G — дискретная группа, действующая на топологическом пространстве X. Это означает, что каждому элементу g из G сопоставлен гомеоморфизм Hg пространства X на себя, таким образом, что Hg h всегда равно Hg ∘ Hh для любых двух элементов g и h из G. (Или, другими словами, групповое действие группы G на пространстве X является просто групповым гомоморфизмом группы G в группу Homeo(X) самогомеоморфизмов X.) Естественно задаться вопросом, при каких условиях проекция из X в орбитальное пространство X/G является покрывающим отображением. Это не всегда верно, поскольку действие может иметь фиксированные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на произведение X × X посредством действия поворота, где неединичный элемент действует по правилу (x, y) ↦ (y, x). Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами X и X/G не так просто. Однако группа G действует на фундаментальный группоид X, и поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоиды, и соответствующие орбитальные группоиды. Теория этого изложена в главе 11 книги "Топология и группоиды", упомянутой ниже. Основной результат заключается в том, что для разрывных действий группы G на пространстве Хаусдорфа X, допускающем универсальное накрытие, фундаментальный группоид орбитального пространства X/G изоморфен орбитальному группоиду фундаментального группоида X, то есть факторгруппе этого группоида по действию группы G. Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметричного квадрата пространства.

Определение

Пусть задано покрытие. Трансформация палубы — это гомеоморфизм φ: X → X, такой что диаграмма непрерывных отображений коммутирует. Вместе с композицией отображений, множество трансформаций палубы образует группу, которая совпадает с G. Теперь предположим, что p: X → Y — покрывающая карта и Y (и, следовательно, также X) связно и локально связно путями. Действие G на каждом слое транзитивно. Если это действие свободно на некотором слое, то оно свободно на всех слоях, и мы называем покрытие регулярным (или нормальным или Галуа). Каждое такое регулярное покрытие является главным расслоением, где G рассматривается как дискретная топологическая группа. Каждое универсальное покрытие является регулярным, при этом группа преобразований палубы изоморфна фундаментальной группе π₁(Y).

Примеры

Пусть $\tilde{X} \to X$ будет покрытием для некоторого топологического пространства $X$, тогда отображение $f: \tilde{X} \to X$ является трансформацией палубы и $\text{Deck}(f)$ — группа трансформаций палубы. Пусть $\tilde{Y} \to Y$ будет покрытием, тогда отображение $g: \tilde{Y} \to Y$ с $g(\gamma x) = \gamma g(x)$ является трансформацией палубы и $\text{Deck}(g)$ — группа трансформаций палубы. Как еще один важный пример, рассмотрим комплексную плоскость $\mathbb{C}$ и комплексную плоскость без начала координат $\mathbb{C} \setminus \{0\}$. Тогда отображение $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$, заданное как $f(z) = z^n$, является регулярным покрытием. Трансформациями палубы являются умножения на $n$-е корни из единицы, и группа трансформаций палубы, следовательно, изоморфна циклической группе $\mathbb{Z}_n$. Аналогично, отображение $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, заданное как $f(z) = e^z$, является универсальным покрытием.

Свойства

Пусть X — связное пространство, а p — связное накрытие. Поскольку преобразование из палубы биективно, оно переставляет элементы волокна над точкой x и однозначно определяется тем, куда оно отображает одну точку. В частности, только тождественное отображение фиксирует точку в волокне. Благодаря этому свойству каждое преобразование из палубы определяет групповое действие на волокне, то есть, пусть U — открытое окрестность точки x, а V — открытое окрестность точки y, тогда p: U → V является групповым действием.

Определение

Покрытие называется нормальным, если это означает, что для любого и любых двух точек существует трансформация накрытия, такая что .

Свойства

Пусть X — связное пространство, а p — связное накрытие. Пусть H — подгруппа G, тогда p является нормальным накрытием, если H — нормальная подгруппа G.
Если p — нормальное накрытие и g ∈ G, то g*π₁ (X, x₀) = π₁ (X, x₀).
Если p — связное накрытие и g ∈ G, то gN = Ng, где N — нормализатор H в G.
Пусть X — топологическое пространство. Группа G действует дизъюнктно на X, если для каждой точки x ∈ X существует открытое окрестность U с x ∈ U, такая что для любой точки y ∈ U выполняется g*y ≠ x для всех g ≠ e из G.
Если группа G действует дизъюнктно на топологическом пространстве X, то факторное отображение q: X → X/G является нормальным накрытием. Здесь X/G — факторное пространство, а орбитой группового действия является множество {g*x | g ∈ G}.

Примеры

Покрытие является нормальным покрытием для каждого покрытия. Каждое просто связное покрытие является нормальным покрытием.

Расчет

Пусть G — группа, действующая разрывно на топологическом пространстве X, и пусть p — нормальное накрытие. Если X связен по путям, то π₁(X) = π₁(G). Если X просто связен, то π₁(X) = 0.

Примеры

Пусть антиподальное отображение с генерирует, вместе с композицией отображений, группу и индуцирует групповое действие , которое действует разрывно на . Из этого следует, что фактор-отображение является нормальным накрытием и для – универсальным накрытием, следовательно, для . Пусть будет специальной ортогональной группой, тогда отображение является нормальным накрытием и, вследствие этого, универсальным накрытием, следовательно, . С групповым действием на , где является полупрямым произведением, получается универсальное накрытие бутылки Клейна, следовательно, . Пусть будет тором, который вложен в . Тогда получается гомеоморфизм, который индуцирует разрывное групповое действие , при котором . Следует, что отображение является нормальным накрытием бутылки Клейна, следовательно, . Пусть будет вложено в . Поскольку групповое действие разрывно, а взаимно просты, отображение является универсальным накрытием пространства линзы, следовательно, .

Категория покрытий

Пусть X — топологическое пространство. Объектами категории являются покрытия X, а морфизмами между двумя покрытиями U и V — непрерывные отображения f: U → V, такие, что диаграмма коммутирует.

G-Set

Пусть G — топологическая группа. Категория G-множеств — это категория множеств, снабженных действием группы G. Морфизмы — это G-отображения между G-множествами. Они удовлетворяют условию g⋅x = g⋅f(x) для всех g ∈ G и x ∈ X.

Эквивалентность

Пусть X — связное и локально односвязное пространство, а π₁(X, x₀) — фундаментальная группа. Поскольку π₁(X, x₀) определяет, посредством поднятия путей и вычисления в конечной точке поднятия, групповое действие на слое расслоения, функтор является эквивалентностью категорий.

Приложения

Важным практическим применением теории покрывающих пространств является использование их для представления вращений в SO(3), группе вращений. Эта группа широко используется в различных областях инженерии, поскольку трехмерные вращения активно применяются в навигации, морской и аэрокосмической инженерии, а также во многих других областях. Топологически SO(3) является вещественным проективным пространством RP3, с фундаментальной группой Z/2 и единственным (нетривиальным) покрывающим пространством – гиперсферой S3, которая соответствует группе Spin(3) и представляется единичными кватернионами. Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом для представления пространственных вращений – см. статью «Кватернионы и пространственные вращения». Однако часто желательно представлять вращения набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (существуют различные варианты), как потому, что это более понятно для тех, кто знаком с вращениями на плоскости, так и потому, что можно построить систему из трех карданных подвесов (гимналов) для осуществления вращений в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению с 3-торуса T3, заданного тремя углами, в вещественное проективное пространство RP3, представляющее вращения. Полученное отображение имеет недостатки, поскольку не является покрывающим. В частности, нарушение свойства локального гомеоморфизма в определенных точках называется блокировкой карданного подвеса (гимнального замком) и демонстрируется на анимации справа. В некоторых точках (когда оси вращения лежат в одной плоскости) ранг отображения равен 2, а не 3, что означает, что из этой точки можно реализовать только 2 степени свободы вращения, изменяя углы. Это создает проблемы в практических приложениях и формализуется с помощью понятия покрывающего пространства.