Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Кешенді талдау арқылы бүтін сандардың қасиеттерін зерттеу
Exploring properties of the integers with complex analysis
Математикада аналитикалық сандар теориясы – бүтін сандар туралы мәселелерді шешу үшін математикалық талдау әдістерін қолданатын сандар теориясының бір саласы. Ол, көбінесе, Питер Густав Лежун Дирихлеттің 1837 жылы Дирихле L-функцияларын енгізуімен басталды деп есептеледі, бұл Дирихлеттің арифметикалық прогрессиялар туралы теоремасын алғаш рет дәлелдеуге мүмкіндік берді. Бұл сала жай сандар (жай сандар теоремасы және Риманның зета-функциясы) және қосымша сандар теориясы (Голдбах болжамы және Уоринг проблемасы сияқты) салаларындағы нәтижелерімен кеңінен танымал.
In mathematics, analytic number theory is a branch of number theory that uses methods from mathematical analysis to solve problems about the integers. It is often said to have begun with Peter Gustav Lejeune Dirichlet's 1837 introduction of Dirichlet L functions to give the first proof of Dirichlet's theorem on arithmetic progressions. It is well known for its results on prime numbers (involving the Prime Number Theorem and Riemann zeta function) and additive number theory (such as the Goldbach conjecture and Waring's problem).
Талдаулық сан теориясының салалары
Талдау сан теориясын екі негізгі бөлікке бөлуге болады, олар әдістегі негізгі айырмашылықтарға қарағанда, шешуге тырысатын мәселелердің түріне қарай ажыратылады. Көбейту сан теориясы жай сандардың таралуымен айналысады, мысалы, белгілі бір аралықтағы жай сандардың санын бағалау, және жай сандар теоремасын және арифметикалық прогрессиядағы жай сандар туралы Дирихле теоремасын қамтиды. Қосымша сан теориясы бүтін сандардың қосымша құрылымымен айналысады, мысалы, Голдбахтың 2-ден үлкен кез келген жұп сан екі жай санның қосындысы деген болжамы. Қосымша сан теориясының маңызды нәтижелерінің бірі – Уоринг мәселесінің шешімі.
Analytic number theory can be split up into two major parts, divided more by the type of problems they attempt to solve than fundamental differences in technique. Multiplicative number theory deals with the distribution of the prime numbers, such as estimating the number of primes in an interval, and includes the prime number theorem and Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions. Additive number theory is concerned with the additive structure of the integers, such as Goldbach's conjecture that every even number greater than 2 is the sum of two primes. One of the main results in additive number theory is the solution to Waring's problem.
Алдын ала өнімдер
Аналитикалық сан теориясының көп бөлігі алғашқы сандар теоремасынан туындады. π(x) кез келген нақты сан x үшін x-тен кем немесе оған тең алғашқы сандардың санын беретін алғашқы сандарды санау функциясы болсын. Мысалы, π(10) = 4, себебі 10-нан кем немесе оған тең төрт алғашқы сан бар (2, 3, 5 және 7). Алғашқы сандар теоремасы x / ln(x) π(x) функциясына жақсы жуықтама екенін көрсетеді, яғни x шексізге жақындағанда π(x) және x / ln(x) функцияларының бөліндісінің лиміті 1-ге тең:
Much of analytic number theory was inspired by the prime number theorem. Let π(x) be the prime counting function that gives the number of primes less than or equal to x, for any real number x. For example, π(10) = 4 because there are four prime numbers (2, 3, 5 and 7) less than or equal to 10. The prime number theorem then states that x / ln(x) is a good approximation to π(x), in the sense that the limit of the quotient of the two functions π(x) and x / ln(x) as x approaches infinity is 1:
бұл алғашқы сандардың асимптотикалық таралу заңы деп аталады. Адриен Мари Лежандр 1797 немесе 1798 жылы π(a) функциясы a / (A ln(a) + B) функциясымен жуықталады деп болжады, мұнда A және B белгісіз тұрақтылар. Сандар теориясы бойынша кітабының екінші басылымында (1808) ол A = 1 және B ≈ -1.08366 дегенімен нақтырақ болжам жасады. Карл Фридрих Гаусс осы мәселені қарастырды: "1792 немесе 1793 жылы", – деп жазды ол шамамен алпыс жыл өткен соң 1849 жылы Энкеге жолдаған хатында (өз естелігіне сәйкес), ол 15 немесе 16 жасқа толғандағы логарифм кестесіне "Primzahlen unter" ("алғашқы сандар астында") деген қысқа жазба жазған. Бірақ Гаусс бұл болжамды жарияламады. 1838 жылы Петер Густав Лежун Дирихле өзінің жуықтау функциясын ұсынды – логарифмдік интеграл li(x) (Гаусске хабарлаған сәл өзгеше түрдегі қатар түрінде). Лежандрдің және Дирихле формулаларының екеуі де π(x) және x / ln(x) функцияларының жоғарыда айтылған асимптотикалық теңдестігін білдіреді, бірақ Дирихле жуықтамасы, егер айырмашылықтарды бөлінділердің орнына қарастырса, айтарлықтай жақсы болып шығады.
known as the asymptotic law of distribution of prime numbers. Adrien Marie Legendre conjectured in 1797 or 1798 that π(a) is approximated by the function a/(A ln(a) + B), where A and B are unspecified constants. In the second edition of his book on number theory (1808) he then made a more precise conjecture, with A = 1 and B ≈ −1.08366. Carl Friedrich Gauss considered the same question: "Im Jahr 1792 oder 1793" ('in the year 1792 or 1793'), according to his own recollection nearly sixty years later in a letter to Encke (1849), he wrote in his logarithm table (he was then 15 or 16) the short note "Primzahlen unter " ('prime numbers under '). But Gauss never published this conjecture. In 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet came up with his own approximating function, the logarithmic integral li(x) (under the slightly different form of a series, which he communicated to Gauss). Both Legendre's and Dirichlet's formulas imply the same conjectured asymptotic equivalence of π(x) and x / ln(x) stated above, although it turned out that Dirichlet's approximation is considerably better if one considers the differences instead of quotients.
Дирихлет
Иоганн Питер Густав Лежун Дирихле аналитикалық сан теориясын қалыптастырушы ретінде танымал, ол осы салада көптеген терең нәтижелер тапты және оларды дәлелдеу үшін негізгі құралдарды енгізді, олардың көптегені кейіннен оның есімімен аталатын болды. 1837 жылы ол математикалық талдау ұғымдарын қолданып, алгебралық мәселені шешу арқылы Дирихле теоремасын жариялады, осылайша аналитикалық сан теориясының саласын құрды. Теореманы дәлелдеу барысында ол Дирихле белгілері мен L функцияларын енгізді. 1841 жылы ол арифметикалық прогрессиялар теоремасын бүтін сандардан Гаусс бүтін сандары сақинасына дейін жалпылады.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet is credited with the creation of analytic number theory, a field in which he found several deep results and in proving them introduced some fundamental tools, many of which were later named after him. In 1837 he published Dirichlet's theorem on arithmetic progressions, using mathematical analysis concepts to tackle an algebraic problem and thus creating the branch of analytic number theory. In proving the theorem, he introduced the Dirichlet characters and L functions. In 1841 he generalized his arithmetic progressions theorem from integers to the ring of Gaussian integers .
Чебышев
1848 және 1850 жылдардағы екі мақаласында орыс математигі Пафнут Львович Чебышев жай сандардың асимптотикалық таралу заңдылығын дәлелдеуге ұмтылды. Оның еңбегі, 1737 жылдан бері Леонард Эйлердің жұмыстарында қолданылған, аргументі "s" нақты мәндерін қабылдайтын дзета-функция ζ(s) қолдануымен ерекшеленеді, бұл 1859 жылғы Риманның атақты еңбегінен бұрын жасалған. Ол асимптотикалық заңның сәл әлсіз түрін дәлелдеуге жетті, атап айтқанда, егер π(x)/(x/ln(x)) лимиті x шексіздікке ұмтылғанда бар болса, онда ол міндетті түрде бірге тең болады. Ол осы қатынастың барлық x үшін 1-ге жақын екі нақты берілген тұрақтылармен жоғарыдан және төменнен шектелгенін шартсыз дәлелдеді. Чебышевтің мақаласы жай сандар теоремасын дәлелдемегенімен, оның π(x) үшін есептеулері Бертран постулатын дәлелдеуге жеткілікті болды, яғни кез келген n ≥ 2 бүтін саны үшін n мен 2n аралығында жай сан бар.
In two papers from 1848 and 1850, the Russian mathematician Pafnuty L'vovich Chebyshev attempted to prove the asymptotic law of distribution of prime numbers. His work is notable for the use of the zeta function ζ(s) (for real values of the argument "s", as are works of Leonhard Euler, as early as 1737) predating Riemann's celebrated memoir of 1859, and he succeeded in proving a slightly weaker form of the asymptotic law, namely, that if the limit of π(x)/(x/ln(x)) as x goes to infinity exists at all, then it is necessarily equal to one. He was able to prove unconditionally that this ratio is bounded above and below by two explicitly given constants near to 1 for all x. Although Chebyshev's paper did not prove the Prime Number Theorem, his estimates for π(x) were strong enough for him to prove Bertrand's postulate that there exists a prime number between n and 2n for any integer n ≥ 2.
Риман
Бернхард Риман қазіргі заманғы аналитикалық сандар теориясына елеулі үлес қосты. Ол бір ғана қысқа мақаласында (сандар теориясы саласында жариялаған жалғыз мақаласында) Риманның зета-функциясын зерттеді және оның жай сандардың таралуын түсінудегі маңыздылығын дәлелдеді. Ол зета-функцияның қасиеттері туралы бірнеше болжам жасады, соның ішінде әйгілі Риман гипотезасы да бар.
Bernhard Riemann made some famous contributions to modern analytic number theory. In a single short paper (the only one he published on the subject of number theory), he investigated the Riemann zeta function and established its importance for understanding the distribution of prime numbers. He made a series of conjectures about properties of the zeta function, one of which is the well known Riemann hypothesis.
Хадамар және де ла Валле-Пуссен
Риманның идеяларын дамыта отырып, Жак Хадамард пен Шарль Жан де ла Валле Пуссен алғашқы сандар теоремасын тәуелсіз түрде екі рет дәлелдеді және екеуі де 1896 жылы жарияланды. Екі дәлелдеуде де комплекс сандарды талдау әдістері қолданылды, соның нәтижесінде Риманның ζ(s) функциясы s = 1 + it түріндегі, t > 0 шартын қанағаттандыратын барлық комплекс сандар үшін нөлге тең емес екені көрсетілді.
Extending the ideas of Riemann, two proofs of the prime number theorem were obtained independently by Jacques Hadamard and Charles Jean de la Vallée Poussin and appeared in the same year (1896). Both proofs used methods from complex analysis, establishing as a main step of the proof that the Riemann zeta function ζ(s) is non zero for all complex values of the variable s that have the form s = 1 + it with t > 0.
Қазіргі заман
1950 жылдан кейінгі ең үлкен техникалық өзгеріс – әсіресе көбейту мәселелерінде, іргелес әдістердің дамуы болды. Бұл әдістер комбинаторлық сипатқа ие және өте алуан түрлі. Комбинаторлық теорияның экстремалды саласы, өз кезегінде, аналитикалық сандар теориясының сандық жоғарғы және төменгі шекараларға берген мәнімен үлкен әсерге ие болды. Жақындағы тағы бір жаңалық – ықтималдық сандар теориясы, ол сандар теориялық функциялардың таралуын бағалау үшін ықтималдық теориясының әдістерін қолданады, мысалы, бір санның қанша жай бөлгіші бар екенін анықтау. Атап айтқанда, Итан Чжан, Джеймс Мейнард, Теренс Тао және Бен Гриннің жетістіктері Голдстон-Пинц-Йылдырым әдісін пайдаланды, олар бастапқыда осы әдісті дәлелдеу үшін қолданды, бұл жарияланған ең жақсы нәтиже.
The biggest technical change after 1950 has been the development of sieve methods, particularly in multiplicative problems. These are combinatorial in nature, and quite varied. The extremal branch of combinatorial theory has in return been greatly influenced by the value placed in analytic number theory on quantitative upper and lower bounds. Another recent development is probabilistic number theory, which uses methods from probability theory to estimate the distribution of number theoretic functions, such as how many prime divisors a number has. Specifically, the breakthroughs by Yitang Zhang, James Maynard, Terence Tao and Ben Green have all used the Goldston–Pintz–Yıldırım method, which they originally used to prove that that , which is the best published result.