Аналитическое исследование чисел: методы комплексного анализа в теории чисел
Analytic number theory
Аналитическая теория чисел: применение методов комплексного анализа для решения задач о целых числах. Теорема о простых числах, дзета-функция Римана и др.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Исследование свойств целых чисел с помощью комплексного анализа
Exploring properties of the integers with complex analysis
В математике аналитическая теория чисел — это раздел теории чисел, использующий методы математического анализа для решения задач о целых числах. Считается, что она зародилась в 1837 году с введением Питером Густавом Лежуном Дирихле L-функций Дирихле, что позволило получить первое доказательство теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях. Она известна своими результатами в теории простых чисел (включая теорему о простых числах и дзета-функцию Римана) и аддитивной теории чисел (такие как гипотеза Гольдбаха и проблема Варинга).
In mathematics, analytic number theory is a branch of number theory that uses methods from mathematical analysis to solve problems about the integers. It is often said to have begun with Peter Gustav Lejeune Dirichlet's 1837 introduction of Dirichlet L functions to give the first proof of Dirichlet's theorem on arithmetic progressions. It is well known for its results on prime numbers (involving the Prime Number Theorem and Riemann zeta function) and additive number theory (such as the Goldbach conjecture and Waring's problem).
Отрасли аналитической теории чисел
Аналитическая теория чисел может быть разделена на две основные части, разделяемые скорее типом задач, которые они пытаются решить, чем фундаментальными различиями в методах. Мультипликативная теория чисел изучает распределение простых чисел, например, оценку количества простых чисел в заданном интервале, и включает в себя теорему о простых числах и теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Аддитивная теория чисел посвящена аддитивной структуре целых чисел, например, гипотезе Гольдбаха, утверждающей, что любое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел. Одним из главных результатов в аддитивной теории чисел является решение проблемы Уоринга.
Analytic number theory can be split up into two major parts, divided more by the type of problems they attempt to solve than fundamental differences in technique. Multiplicative number theory deals with the distribution of the prime numbers, such as estimating the number of primes in an interval, and includes the prime number theorem and Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions. Additive number theory is concerned with the additive structure of the integers, such as Goldbach's conjecture that every even number greater than 2 is the sum of two primes. One of the main results in additive number theory is the solution to Waring's problem.
Прекурсоры
Большая часть аналитической теории чисел была вдохновлена теоремой о простых числах. Пусть π(x) — функция подсчёта простых чисел, дающая количество простых чисел, меньших или равных x, для любого действительного числа x. Например, π(10) = 4, поскольку существует четыре простых числа (2, 3, 5 и 7), меньших или равных 10. Теорема о простых числах утверждает, что x / ln(x) является хорошим приближением к π(x) в том смысле, что предел отношения двух функций π(x) и x / ln(x) при x, стремящемся к бесконечности, равен 1:
Much of analytic number theory was inspired by the prime number theorem. Let π(x) be the prime counting function that gives the number of primes less than or equal to x, for any real number x. For example, π(10) = 4 because there are four prime numbers (2, 3, 5 and 7) less than or equal to 10. The prime number theorem then states that x / ln(x) is a good approximation to π(x), in the sense that the limit of the quotient of the two functions π(x) and x / ln(x) as x approaches infinity is 1:
известный как асимптотический закон распределения простых чисел. Адриен-Мари Лежандр предположил в 1797 или 1798 году, что π(a) приближается к функции a / (A ln(a) + B), где A и B — неустановленные константы. Во втором издании своей книги по теории чисел (1808) он выдвинул более точную гипотезу, с A = 1 и B ≈ −1,08366. Карл Фридрих Гаусс рассматривал тот же вопрос: "Im Jahr 1792 oder 1793" ("в 1792 или 1793 году"), согласно его собственным воспоминаниям, спустя почти шестьдесят лет в письме к Энке (1849), он записал в своей логарифмической таблице (когда ему было 15 или 16 лет) короткую заметку "Primzahlen unter" ("простые числа под"). Однако Гаусс так и не опубликовал эту гипотезу. В 1838 году Петер Густав Лежен Дирихле предложил собственную приближающую функцию — логарифмический интеграл li(x) (в немного отличающейся форме ряда, о котором он сообщил Гауссу). Формулы Лежандра и Дирихле подразумевают ту же предполагаемую асимптотическую эквивалентность π(x) и x / ln(x), о которой говорилось выше, хотя оказалось, что приближение Дирихле значительно лучше, если рассматривать разности вместо отношений.
known as the asymptotic law of distribution of prime numbers. Adrien Marie Legendre conjectured in 1797 or 1798 that π(a) is approximated by the function a/(A ln(a) + B), where A and B are unspecified constants. In the second edition of his book on number theory (1808) he then made a more precise conjecture, with A = 1 and B ≈ −1.08366. Carl Friedrich Gauss considered the same question: "Im Jahr 1792 oder 1793" ('in the year 1792 or 1793'), according to his own recollection nearly sixty years later in a letter to Encke (1849), he wrote in his logarithm table (he was then 15 or 16) the short note "Primzahlen unter " ('prime numbers under '). But Gauss never published this conjecture. In 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet came up with his own approximating function, the logarithmic integral li(x) (under the slightly different form of a series, which he communicated to Gauss). Both Legendre's and Dirichlet's formulas imply the same conjectured asymptotic equivalence of π(x) and x / ln(x) stated above, although it turned out that Dirichlet's approximation is considerably better if one considers the differences instead of quotients.
Дирихле
Иоганну Петру Густаву Лежуну Дирихле приписывают создание аналитической теории чисел, области, в которой он получил несколько глубоких результатов и, доказывая их, ввел ряд фундаментальных инструментов, многие из которых впоследствии были названы его именем. В 1837 году он опубликовал теорему Дирихле об арифметических прогрессиях, применив методы математического анализа для решения алгебраической задачи и тем самым заложив основы аналитической теории чисел. При доказательстве этой теоремы он ввел дирихле́вские символы и L-функции. В 1841 году он обобщил свою теорему об арифметических прогрессиях с целых чисел на кольцо гауссовых целых чисел.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet is credited with the creation of analytic number theory, a field in which he found several deep results and in proving them introduced some fundamental tools, many of which were later named after him. In 1837 he published Dirichlet's theorem on arithmetic progressions, using mathematical analysis concepts to tackle an algebraic problem and thus creating the branch of analytic number theory. In proving the theorem, he introduced the Dirichlet characters and L functions. In 1841 he generalized his arithmetic progressions theorem from integers to the ring of Gaussian integers .
Чебышев
В двух статьях 1848 и 1850 годов русский математик Пафнутий Львович Чебышёв попытался доказать асимптотический закон распределения простых чисел. Его работа примечательна использованием дзета-функции ζ(s) (для вещественных значений аргумента "s", как и в работах Леонарда Эйлера, ещё в 1737 году), предшествующей знаменитой работе Римана 1859 года, и ему удалось доказать несколько более слабую форму асимптотического закона, а именно, что если предел π(x) / (x/ln(x)) при x стремящемся к бесконечности вообще существует, то он обязательно равен единице. Ему удалось безусловно доказать, что это отношение ограничено сверху и снизу двумя явно заданными константами, близкими к 1 для всех x. Хотя работа Чебышёва не доказала теорему о простых числах, его оценки для π(x) были достаточно сильными, чтобы он мог доказать постулат Бертрана о том, что существует простое число между n и 2n для любого целого числа n ≥ 2.
In two papers from 1848 and 1850, the Russian mathematician Pafnuty L'vovich Chebyshev attempted to prove the asymptotic law of distribution of prime numbers. His work is notable for the use of the zeta function ζ(s) (for real values of the argument "s", as are works of Leonhard Euler, as early as 1737) predating Riemann's celebrated memoir of 1859, and he succeeded in proving a slightly weaker form of the asymptotic law, namely, that if the limit of π(x)/(x/ln(x)) as x goes to infinity exists at all, then it is necessarily equal to one. He was able to prove unconditionally that this ratio is bounded above and below by two explicitly given constants near to 1 for all x. Although Chebyshev's paper did not prove the Prime Number Theorem, his estimates for π(x) were strong enough for him to prove Bertrand's postulate that there exists a prime number between n and 2n for any integer n ≥ 2.
Риманн
Бернхард Риман внес значительный вклад в современную аналитическую теорию чисел. В одной короткой статье (единственной, посвященной им теории чисел) он исследовал функцию дзета Римана и установил её важность для понимания распределения простых чисел. Он выдвинул ряд гипотез о свойствах дзета-функции, одной из которых является широко известная гипотеза Римана.
Bernhard Riemann made some famous contributions to modern analytic number theory. In a single short paper (the only one he published on the subject of number theory), he investigated the Riemann zeta function and established its importance for understanding the distribution of prime numbers. He made a series of conjectures about properties of the zeta function, one of which is the well known Riemann hypothesis.
Хадамар и де ла Валле-Пуссен
Расширяя идеи Римана, два доказательства теоремы о простых числах были получены независимо друг от друга Жаком Адамаром и Шарлем Жан де ла Валле Пуссеном и опубликованы в один и тот же год (1896). В обоих доказательствах использовались методы комплексного анализа, ключевым шагом которого являлось установление того, что дзета-функция Римана ζ(s) не обращается в нуль для всех комплексных значений переменной s вида s = 1 + it, где t > 0.
Extending the ideas of Riemann, two proofs of the prime number theorem were obtained independently by Jacques Hadamard and Charles Jean de la Vallée Poussin and appeared in the same year (1896). Both proofs used methods from complex analysis, establishing as a main step of the proof that the Riemann zeta function ζ(s) is non zero for all complex values of the variable s that have the form s = 1 + it with t > 0.
Современность
Наиболее значительным техническим изменением после 1950 года стало развитие ситовых методов, особенно в задачах, связанных с мультипликативностью. Эти методы носят комбинаторный характер и весьма разнообразны. Экстремальное направление комбинаторной теории, в свою очередь, в значительной степени испытало влияние важности количественных верхних и нижних оценок в аналитической теории чисел. Другим недавним развитием является вероятностная теория чисел, которая использует методы теории вероятностей для оценки распределения арифметических функций, например, для определения количества простых делителей числа. В частности, прорывы, достигнутые Итан Чжаном, Джеймсом Мейнардом, Теренсом Тао и Беном Грином, опирались на метод Голдстона — Пинца — Йылдырыма, который они первоначально использовали для доказательства того, что , что является наилучшим опубликованным результатом.
The biggest technical change after 1950 has been the development of sieve methods, particularly in multiplicative problems. These are combinatorial in nature, and quite varied. The extremal branch of combinatorial theory has in return been greatly influenced by the value placed in analytic number theory on quantitative upper and lower bounds. Another recent development is probabilistic number theory, which uses methods from probability theory to estimate the distribution of number theoretic functions, such as how many prime divisors a number has. Specifically, the breakthroughs by Yitang Zhang, James Maynard, Terence Tao and Ben Green have all used the Goldston–Pintz–Yıldırım method, which they originally used to prove that that , which is the best published result.