Кіріспе
Жинақталған екілік операциясы бар алгебралық құрылым. Математикада жартылай топ – бірлестірілген ішкі екілік операциясы бар жинақтан тұратын алгебралық құрылым. Жартылай топтың екілік операциясы көбінесе көбейту түрінде белгіленеді (тек белгілеу, міндетті түрде элементарлық арифметикалық көбейту емес): x ⋅ y, немесе жай ғана xy, жартылай топ операциясын реттелген жұпқа (x, y) қолдану нәтижесін көрсетеді. Бірлестірілу формальды түрде былай жазылады: (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) барлық x, y және z жартылай топтары үшін. Жартылай топтарды операциясы бірлестірілген магмалардың ерекше жағдайы ретінде қарастыруға болады немесе сәйкестік элементінің немесе кері элементтерінің болуын талап етпейтін топтардың жалпылама түрі ретінде қарастыруға болады. Топтар немесе магмалар сияқты, жартылай топ операциясы коммутативті болуы міндетті емес, сондықтан x ⋅ y міндетті түрде y ⋅ x-ке тең болмайды; ассоциативті, бірақ коммутативті емес операцияның белгілі мысалы – матрица көбейтуі. Егер жартылай топ операциясы коммутативті болса, онда жартылай топ коммутативті жартылай топ деп аталады немесе (топтардың ұқсас жағдайындағыдан сирек кездеседі) Абель жартылай тобы деп аталуы мүмкін. Моноид – жартылай топтар мен топтар арасындағы алгебралық құрылым, ол сәйкестік элементі бар жартылай топ, сондықтан топ аксиомаларының барлығына, бірақ біреуіне ғана бағынады: моноид үшін кері элементтердің болуы талап етілмейді. Табиғи мысал – конкатенацияны екілік операция ретінде және бос тізбекті сәйкестік элементі ретінде қолданатын тізбектер. Бос емес тізбектерге шектеу моноид емес жартылай топтың мысалын береді. Қосылу арқылы оң бүтін сандар моноид емес коммутативті жартылай топты құрайды, ал теріс емес бүтін сандар моноидты құрайды. Сәйкестік элементі жоқ жартылай топты оңай моноидқа айналдыруға болады, тек сәйкестік элементін қосу арқылы. Осылайша, моноидтар топтар теориясынан емес, жартылай топтар теориясында зерттеледі. Жартылай топтарды квазитоптармен шатастыруға болмайды, олар топтарды басқа бағытта жалпылау болып табылады; квазитоптардағы операцияның бірлестірілген болуы міндетті емес, бірақ квазитоптар топтардан бөліну ұғымын сақтайды. Жалпы алғанда, жартылай топтарда (немесе моноидтарда) бөлу мүмкін емес. Жартылай топтарды формалды зерттеу 20 ғасырдың басында басталды. Алғашқы нәтижелерге кез келген жартылай топты түрлендіру жартылай тобы ретінде іске асыратын жартылай топтар үшін Кейли теоремасы кіреді, онда кездейсоқ функциялар топтар теориясындағы биекциялардың рөлін ауыстырады. Шектеулі жартылай топтарды жіктеудегі терең нәтиже – шектеулі топтар үшін Джордан-Хёльдер ыдырауына ұқсас Кроун-Родес теориясы. Жартылай топтарды зерттеудің кейбір басқа әдістері, мысалы Гриннің қатынастары, топтар теориясындағы ешбір нәрсеге ұқсамайды. 1950 жылдардан бастап шектеулі жартылай топтар теориясы теориялық компьютерлік ғылымда ерекше маңызды болды, себебі шектеулі жартылай топтар мен шектеулі автоматтар арасындағы синтаксистік моноид арқылы табиғи байланыс бар. Ықтималдықтар теориясында жартылай топтар Марков процестерімен байланысты. Қолданбалы математиканың басқа салаларында жартылай топтар сызықтық уақыт инвариантты жүйелер үшін негізгі модель болып табылады. Қисма дифференциалдық теңдеулерде жартылай топ кез келген теңдеуге байланысты, оның кеңістіктік эволюциясы уақыттан тәуелсіз. Белгілі бір қолданбаларда пайда болатын қосымша қасиеттері бар жартылай топтардың көптеген арнайы сыныптары бар. Кейбір сыныптар топтардың кейбір қосымша қасиеттерін, бірақ барлық қасиеттерін көрсетпей, топтарға жақын. Олардың ішінде: тұрақты жартылай топтар, ортодоксалды жартылай топтар, инволюциялық жартылай топтар, кері жартылай топтар және жоюшы жартылай топтар. Сондай-ақ, тривиальды топтан басқа топтар жоқ жартылай топтардың қызықты сыныптары бар; соңғы түрдің мысалдары – жолақтар және олардың коммутативтік жартылай топтары – жартылай торлар, олар да реттелген алгебралық құрылымдар.
In mathematics, a semigroup is an algebraic structure consisting of a set together with an associative internal binary operation on it. The binary operation of a semigroup is most often denoted multiplicatively (just notation, not necessarily the elementary arithmetic multiplication): x ⋅ y, or simply xy, denotes the result of applying the semigroup operation to the ordered pair (x, y). Associativity is formally expressed as that 1=(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) for all x, y and z in the semigroup. Semigroups may be considered a special case of magmas, where the operation is associative, or as a generalization of groups, without requiring the existence of an identity element or inverses. As in the case of groups or magmas, the semigroup operation need not be commutative, so x ⋅ y is not necessarily equal to y ⋅ x; a well known example of an operation that is associative but non commutative is matrix multiplication. If the semigroup operation is commutative, then the semigroup is called a commutative semigroup or (less often than in the analogous case of groups) it may be called an abelian semigroup. A monoid is an algebraic structure intermediate between semigroups and groups, and is a semigroup having an identity element, thus obeying all but one of the axioms of a group: existence of inverses is not required of a monoid. A natural example is strings with concatenation as the binary operation, and the empty string as the identity element. Restricting to non empty strings gives an example of a semigroup that is not a monoid. Positive integers with addition form a commutative semigroup that is not a monoid, whereas the non negative integers do form a monoid. A semigroup without an identity element can be easily turned into a monoid by just adding an identity element. Consequently, monoids are studied in the theory of semigroups rather than in group theory. Semigroups should not be confused with quasigroups, which are generalization of groups in a different direction; the operation in a quasigroup need not be associative but quasigroups preserve from groups the notion of division. Division in semigroups (or in monoids) is not possible in general. The formal study of semigroups began in the early 20th century. Early results include a Cayley theorem for semigroups realizing any semigroup as a transformation semigroup, in which arbitrary functions replace the role of bijections in group theory. A deep result in the classification of finite semigroups is Krohn–Rhodes theory, analogous to the Jordan–Hölder decomposition for finite groups. Some other techniques for studying semigroups, like Green's relations, do not resemble anything in group theory. The theory of finite semigroups has been of particular importance in theoretical computer science since the 1950s because of the natural link between finite semigroups and finite automata via the syntactic monoid. In probability theory, semigroups are associated with Markov processes. In other areas of applied mathematics, semigroups are fundamental models for linear time invariant systems. In partial differential equations, a semigroup is associated to any equation whose spatial evolution is independent of time. There are numerous special classes of semigroups, semigroups with additional properties, which appear in particular applications. Some of these classes are even closer to groups by exhibiting some additional but not all properties of a group. Of these we mention: regular semigroups, orthodox semigroups, semigroups with involution, inverse semigroups and cancellative semigroups. There are also interesting classes of semigroups that do not contain any groups except the trivial group; examples of the latter kind are bands and their commutative subclass – semilattices, which are also ordered algebraic structures.
Жартылай топтардың мысалдары
Бос жарты топ: бос жиын бос функцияны екілік операция ретінде пайдаланып жарты топты құрайды. Бір элементі бар жарты топ: негізінен тек бір ғана (нақтырақ айтқанда, изоморфизмге дейін тек бір ғана), {a} синглетоны, онда 1=a · a = a операциясы бар. Екі элементі бар жарты топ: негізінен әртүрлі бес жарты топ бар. "Флип-флоп" моноид: қосқыштағы үш операцияны – орнату, қалпына келтіру және ештеңе жасамау – көрсететін үш элементі бар жарты топ. Қосылатын оң бүтін сандар жиыны. (0 қосылғанда, бұл моноидқа айналады.) Минималды немесе максималды мәнді бүтін сандар жиыны. (Оң және теріс шексіздік қосылғанда, бұл моноидқа айналады.) Белгілі бір өлшемдегі квадраттық теріс емес матрицалар, матрица көбейтуімен. Сақинаның кез келген идеалы, сақинаның көбейтуімен. Белгілі бір әліпби Σ арқылы жасалған барлық шекті тізбектер жиыны, тізбектерді біріктіру жарты топ операциясы ретінде қолданылады – бұл "Σ бойынша еркін жарты топ" деп аталады. Бос тізбек қосылғанда, бұл жарты топ Σ бойынша еркін моноидқа айналады. F ықтималдық таралымы және F-тің барлық конволюциялық қуаттары, конволюция операциясы ретінде. Бұл конволюциялық жарты топ деп аталады. Трансформациялық жарты топтар және моноидтар. Топологиялық кеңістікке функциялардың құрамы арқылы байланысқан үздіріссіз функциялар жиыны, сәйкестік функциясы сәйкестік ретінде әрекет ететін моноидты құрайды. Жалпы алғанда, кез келген санаттағы объектінің эндоморфизмдері құрастыру арқылы моноидты құрайды. Гипержазықтықтардың орналасуының жақтарының көбейтіндісі.
Semigroup with two elements: there are five that are essentially different. The "flip flop" monoid: a semigroup with three elements representing the three operations on a switch – set, reset, and do nothing. The set of positive integers with addition. (With 0 included, this becomes a monoid.) The set of integers with minimum or maximum. (With positive/negative infinity included, this becomes a monoid.) Square nonnegative matrices of a given size with matrix multiplication. Any ideal of a ring with the multiplication of the ring. The set of all finite strings over a fixed alphabet Σ with concatenation of strings as the semigroup operation – the so called "free semigroup over Σ". With the empty string included, this semigroup becomes the free monoid over Σ. A probability distribution F together with all convolution powers of F, with convolution as the operation. This is called a convolution semigroup. Transformation semigroups and monoids. The set of continuous functions from a topological space to itself with composition of functions forms a monoid with the identity function acting as the identity. More generally, the endomorphisms of any object of a category form a monoid under composition. The product of faces of an arrangement of hyperplanes.
Жеке тұлға және нөл
S жарты тобының сол жақ сәйкестігі (немесе жалпы, магма) – S-дегі барлық x үшін 1=e ⋅ x = x болатын e элементі. Сол сияқты, оң жақ сәйкестік – S-дегі барлық x үшін 1=x ⋅ f = x болатын f элементі. Сол және оң жақ сәйкестіктер бір жақты сәйкестіктер деп аталады. Жартылай топтың бір немесе бірнеше сол жақ сәйкестігі болуы мүмкін, бірақ оң жақ сәйкестігі болмауы мүмкін, және керісінше. Екі жақты сәйкестік (немесе жай ғана сәйкестік) – сол және оң жақ сәйкестік болып табылатын элемент. Екі жақты сәйкестігі бар жартылай топтар моноидтар деп аталады. Жартылай топтың ең көп дегенде бір екі жақты сәйкестігі болуы мүмкін. Егер жартылай топтың екі жақты сәйкестігі болса, онда екі жақты сәйкестік – жартылай топтағы жалғыз бір жақты сәйкестік болып табылады. Егер жартылай топтың сол жақ және оң жақ сәйкестігі болса, онда оның екі жақты сәйкестігі бар (соның салдарынан ол жалғыз бір жақты сәйкестік болады). Бірлігі жоқ S жартылай тобын S-ке e ∉ S элементін қосып, барлық s үшін 1=e ⋅ s = s ⋅ e = s деп анықтап, құрылған моноидқа енгізуге болады. S1 белгісі S-тен қажет болған жағдайда бірлікті қосу арқылы алынған моноидты білдіреді (моноид үшін 1=S1 = S). Сол сияқты, әрбір магмада ең көп дегенде бір сіңіретін элемент болады, ол жартылай топтар теориясында нөл деп аталады. Жоғарыдағы құрылымға ұқсас, әрбір S жартылай тобы үшін S-ті кіріктіретін 0-ге тең жартылай топ S0-ны анықтауға болады.
Квотиенттер мен бөліністер
Келесі ұғымдар жартылай топтың басқа жартылай топқа кіріктірілуі туралы идеяны енгізеді. Егер S жартылай тобынан T жартылай тобына сюръективті жартылай топ морфизмі болса, онда T жартылай тобы S жартылай тобының фактор-жартылай тобы болып табылады. Мысалы, (Z/2Z, +) (Z/4Z, +) жартылай тобының фактор-жартылай тобы болып табылады, бұл морфизм бүтін санның 2-ге дейінгі қалдығын алудан тұрады. Егер T жартылай тобы S жартылай тобының фактор-жартылай тобы болса, онда T ≼ S деп белгіленеді және T жартылай тобы S жартылай тобын бөледі. Атап айтқанда, S жартылай тобының ішкі жартылай тобы T жартылай тобын бөледі, бірақ S жартылай тобының фактор-жартылай тобы болуы міндетті емес. Бұл екі қатынас та транзитивті.
Both of those relations are transitive.
Жартылай топтардың құрылымы
S-тің кез келген A ішкі жиыны үшін S-тің A-ны қамтитын ең кіші T ішкі жартылай тобы болады, және біз A, T-ні тудырады дейміз. S-тің бір элементі x, ішкі жартылай топты тудырады. Егер бұл саны шекті болса, онда x-тің реті шекті деп айтылады, әйтпесе ол шексіз ретті болады. Егер жартылай топтың барлық элементтері шекті ретті болса, онда ол периодтық деп аталады. Бір элементпен құрылған жартылай топ моногенді (немесе циклдік) деп аталады. Егер моногенді жартылай топ шексіз болса, онда ол оң бүтін сандардың қосылу амалымен жартылай топқа изоморфты. Егер ол шекті және бос емес болса, онда онда кем дегенде бір идемпотент болуы керек. Осыдан әрбір бос емес периодтық жартылай топта кем дегенде бір идемпотент бар екендігі шығады. Топ болатын ішкі жартылай топ, ішкі топ деп аталады. Жартылай топтың ішкі топтары мен оның идемпотенттері арасында тығыз байланыс бар. Әрбір ішкі топта дәл бір идемпотент болады, атап айтқанда, ішкі топтың бірлік элементі. Жартылай топтың әрбір идемпотенті e үшін e-ні қамтитын бірегей максималды ішкі топ болады. Әрбір максималды ішкі топ осылай пайда болады, сондықтан идемпотенттер мен максималды ішкі топтар арасында бір-бірге сәйкестік бар. Мұнда максималды ішкі топ термині, топтар теориясындағы стандартты қолданыстан өзгешеленеді. Реті шекті болғанда көбірек айтуға болады. Мысалы, әрбір бос емес шекті жартылай топ периодтық болады, және оның минималды идеалы мен кем дегенде бір идемпотенті бар. Белгілі бір өлшемдегі (1-ден үлкен) шекті жартылай топтардың саны, сол өлшемдегі топтардың санынан (көзбен көрінетіндей) көп. Мысалы, екі элементтің {a, b} жиыны үшін он алты мүмкін "көбейту кестесінің" сегізі жартылай топтарды құрайды, ал олардың төртеуі ғана моноидтарды және екеуі ғана топтарды құрайды. Шекті жартылай топтардың құрылымы туралы толыққанды мәліметтер алу үшін Krohn–Rhodes теориясын қараңыз.
Жартылай топтардың арнайы кластары
Моноид – сәйкестік элементі бар жартылай топ. Топ – әрбір элементінің кері элементі бар моноид. Жартылай топтың ішкі жиыны – жартылай топ операциясы бойынша жабық жартылай топтың ішкі жиыны. Кескіш жартылай топ – жою қасиетіне ие: егер a · b = a · c болса, онда b = c және егер b · a = c · a болса, онда да солай. Кез келген топ – кескіш жартылай топ, ал кез келген шекті кескіш жартылай топ – топ. Топ – өзіне тең операция жасайтын жартылай топ. Жартылай тор – операциясы өзіне тең және коммутативті жартылай топ. 0 қарапайым жартылай топтар. Трансформациялық жартылай топтар: кез келген шекті жартылай топ S, ең көп дегенде |Q| күйі бар Q жиынының трансформациялары арқылы бейнелене алады. S-тің әрбір элементі x, Q-ны өзіне x: Q → Q түрлендіреді және xy тізбегі Q-дағы кез келген q үшін q(xy) = (qx)y арқылы анықталады. Тізбектеу – бұл ассоциативті операция, яғни функциялардың құрамына тең. Бұл бейнелеу кез келген автомат немесе шекті күйдегі машина (FSM) үшін негізгі болып табылады. Бициклді жартылай топ – шын мәнінде моноид, оны екі генератор p және q арқылы еркін жартылай топ ретінде, pq = 1 қатынасы бойынша сипаттауға болады. C0 жартылай топтары. Тұрақты жартылай топтар. Кез келген x элементі үшін кем дегенде бір кері y бар, ол xyx = x және yxy = y шартын қанағаттандырады; x және y элементтері кейде «өзара кері» деп аталады. Кері жартылай топтар – әр элементінің дәл бір керісі бар тұрақты жартылай топтар. Сондай-ақ, тұрақты жартылай топ кері болады, егер және тек егер кез келген екі өзіне тең элемент коммутацияласа. Аффиналық жартылай топ: Zd-тің шекті түрде құрылған ішкі жартылай топтарына изоморфты жартылай топ. Бұл жартылай топтар коммутативтік алгебрада қолданылады.
Коммутативті жарты топтар үшін құрылым теоремасы
Коммутативті жарты топтар үшін жартылай торлар тұрғысынан құрылым теоремасы бар. Жартылай тор (немесе нақтырақ айтқанда, ең төменгі шешім жартылай торы) (L, ≤) – a, b ∈ L элементтерінің әрбір жұбы үшін ең үлкен ортақ бөлгіш болатын, a ∧ b деп белгіленетін ішінара реттелген жиын. ∧ операциясы L-ді қосымша өзіндік теңдік заңын қанағаттандыратын жарты топқа айналдырады: 1 = a ∧ a = a. Кез келген жартылай топтан жартылай торға f : S → L гомоморфизмін қарастырғанда, әрбір кері бейне (бос болуы мүмкін) жартылай топ болып табылады. Сонымен қатар, S, L бойынша жіктеледі, яғни SaSb ⊆ Sa∧b. Егер f – сюръективті болса, жартылай тор L, S-тің ~ теңдестік қатынасы бойынша алынған бөлшегіне изоморфты болады, мұнда x ~ y егер және тек қана 1 = f(x) = f(y) болса ғана. Бұл теңдестік қатынасы жоғарыда анықталғандай жартылай топтық конгруэнция болып табылады. Коммутативті жартылай топты конгруэнция арқылы бөлгенде, тағы бір коммутативті жартылай топ алынады. Құрылым теоремасы кез келген коммутативті S жарты тобы үшін ең жоғары конгруэнция ~ бар екенін айтады, мұнда S-тің осы теңдестік қатынасы бойынша алынған бөлшегі жартылай тор болады. Бұл жартылай торды L арқылы белгілеп, S-тен L-ге дейінгі f гомоморфизмін аламыз. Жоғарыда айтылғандай, S осы жартылай тор бойынша жіктеледі. Сонымен қатар, Sa компоненттерінің барлығы Архимед жарты топтары болып табылады. Архимед жарты тобы – кез келген x, y элементтері берілгенде, z элементі мен n > 0 саны бар, яғни 1 = xⁿ = yz. Архимед қасиеті L жартылай торындағы реттелуден тікелей туындайды, себебі бұл реттелуде f(x) ≤ f(y) егер және тек қана 1 = xⁿ = yz кейбір z және n > 0 үшін болса.
Қиындықтар тобы
Жартылай топтың бөлшектер тобы немесе топтық толықтығы – S жартылай тобының генераторлары ретінде S элементтері және S-те дұрыс болатын барлық теңдеулер 1=xy = z қатынастары арқылы жасалған 1=G = G(S) тобы болып табылады. S-тің әрбір элементін тиісті генераторға жіберетін j: S → G(S) жартылай топтық гомоморфизмі бар. Бұл S-тен топқа дейінгі морфизмдер үшін әмбебап қасиетке ие: кез келген H тобы және кез келген жартылай топтық гомоморфизм k: S → H берілген болса, онда 1=k = fj болатын бірегей топтық гомоморфизм f: G → H бар. G-ді S-тің гомоморфты бейнесі бар "ең жалпы" топ ретінде қарастыруға болады. Маңызды сұрақ – осы бейнені ендіруге болатын жартылай топтарды сипаттау. Бұл әрқашан да орындалмайды: мысалы, S-ті кейбір X жиынының ішкі жиындар жиыны деп қарастырайық, онда жиындық теориялық қиылыс екілік операция болып табылады (бұл жартылай тордың мысалы). 1=A. A = A барлық S элементтері үшін орындалғандықтан, бұл G(S) генераторларының барлығы үшін де орындалуы керек, сондықтан бұл тривиальды топ. Ендіру үшін S-тің жою қасиетіне ие болуы қажет. S коммутативті болған жағдайда бұл шарт жеткілікті, ал жартылай топтың Гротендик тобы бөлшектер тобын құруға мүмкіндік береді. Коммутативті емес жартылай топтар мәселесі жартылай топтар туралы алғашқы маңызды мақалаға дейін жетеді. Анатолий Мальцев 1937 жылы ендіруге қажетті және жеткілікті шарттарды берді.
An important question is to characterize those semigroups for which this map is an embedding. This need not always be the case: for example, take S to be the semigroup of subsets of some set X with set theoretic intersection as the binary operation (this is an example of a semilattice). Since 1=A. A = A holds for all elements of S, this must be true for all generators of G(S) as well, which is therefore the trivial group. It is clearly necessary for embeddability that S have the cancellation property. When S is commutative this condition is also sufficient and the Grothendieck group of the semigroup provides a construction of the group of fractions. The problem for non commutative semigroups can be traced to the first substantial paper on semigroups. Anatoly Maltsev gave necessary and sufficient conditions for embeddability in 1937.
Тарих
Жартылай топтарды зерттеу топтар немесе сақиналар сияқты күрделі аксиомалары бар басқа алгебралық құрылымдарды зерттеуден кейін қалды. Көптеген дереккөздер терминді (француз тілінде) алғаш рет Ж. А. де Сегье 1904 жылы "Абстракттық топтар теориясының элементтері" ("Éléments de la Théorie des Groupes Abstraits") еңбегінде қолданғанын көрсетеді. Термин 1908 жылы Гарольд Хинтонның "Шектеулі реттік топтар теориясы" ("Theory of Groups of Finite Order") еңбегінде ағылшын тілінде пайда болды. Антон Сушкевич жартылай топтар туралы алғашқы маңызды нәтижелерді алды. Оның 1928 жылғы "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Бірден-бір кері айналыстылық заңы жоқ шекті топтар туралы") атты мақаласы шекті қарапайым жартылай топтардың құрылымын анықтады және шекті жартылай топтың ең кіші идеалы (немесе Гриннің қатынастарының J класы) қарапайым екенін көрсетті. 1972 жылы алгебралық конференцияда Шейн А жартылай тобы, А-дағы қатынастар туралы әдебиетті шолып берді. 1997 жылы Шейн мен Ральф Маккензи әрбір жартылай топ екілік қатынастардың транзитивті жартылай тобына изоморфты екенін дәлелдеді. Соңғы жылдары осы саланың зерттеушілері кері жартылай топтар сияқты жартылай топтардың маңызды кластарын зерттейтін, сондай-ақ алгебралық автоматтар теориясындағы, әсіресе шекті автоматтардағы және функционалдық талдаудағы қолданыстарға бағытталған арнайы монографиялармен маманданды.
Жалпылау
Егер жарты топтың ассоциативтілік аксиомасы алынып тасталса, нәтижесінде магма пайда болады, ол M × M → M жабық екілік операциясымен жабдықталған M жиынтығынан басқа ештеңе емес.
Басқа бағытта жалпылау, n-арлық жарты топ (сондай-ақ n жарты топ, полиадты жарты топ немесе көп арлық жарты топ) – бұл екілік операцияның орнына n-арлық операциясы бар G жиынтығына жарты топтың жалпылауы. Ассоциативтік заң келесідей жалпыланады: үштік ассоциативтілік 1=(abc)de = a(bcd)e = ab(cde), яғни кез келген үш тікелей іргелес элементтері қамтылған abcde тізбегі. n-арлық ассоциативтілік – n + (n − 1) ұзындығы бар тізбе, онда кез келген n тікелей іргелес элементтері қамтылған. 2-арлық жарты топ – жарты топтың өзі. Қосымша аксиомалар n-арлық топқа алып келеді. Үшінші жалпылау – жартылай топтық, онда екілік қатынастың толық болуы талабы алынып тасталады. Категориялар моноидтарды осылай жалпылайтындықтан, жартылай топтық категорияға ұқсас, бірақ сәйкестік элементтері жоқ. Коммутативті жарты топтардың шексіз жалпылануын кейбір авторлар қарастырған.