Кіріспе
Ғылым мен техникадағы алға-кейілі, мерзімді қозғалыс. Механика мен физикада қарапайым гармоникалық қозғалыс (кейде SHM (simple harmonic motion) деп қысқартылады) – нысанның тепе-теңдік күшіне байланысты болатын мерзімді қозғалыстың ерекше түрі. Бұл күштің шамасы нысанның тепе-теңдік позициясынан қашықтығына тура пропорционалды және тепе-теңдік позициясына қарай бағытталған. Осының нәтижесінде синусоидамен сипатталатын тербеліс пайда болады, ол кедергісіз (үзіліс немесе энергияның кез келген жоғалуы болмаса) шексіз жалғасады. Қарапайым гармоникалық қозғалыс түрлі қозғалыстардың математикалық моделі ретінде қолданылуы мүмкін, бірақ оның ең типік мысалы – Хук заңымен сипатталатын серіппедегі массаның тербелісі. Бұл қозғалыс уақыт бойынша синусоидты болып келеді және бір ғана резонанстық жиілікті көрсетеді. Қарапайым гармоникалық қозғалыс арқылы басқа да құбылыстарды модельдеуге болады, соның ішінде қарапайым маятниктің қозғалысын. Алайда, бұл модельдің дұрыс болуы үшін маятниктің соңындағы нысанға әсер ететін күш орын ауыстыруға пропорционалды болуы керек (дегенмен, бұл жақсы жуықтама тек маятниктің тербеліс бұрышы кішкентай болғанда ғана қолданылады; кіші бұрыштық жуықтама қараңыз). Молекулалық тербелісті модельдеу үшін де қарапайым гармоникалық қозғалысты пайдалануға болады. Қарапайым гармоникалық қозғалыс Фурье анализінің әдістері арқылы күрделі мерзімді қозғалысты сипаттау үшін негіз болып табылады.
In mechanics and physics, simple harmonic motion (sometimes abbreviated SHM (simple harmonic motion)) is a special type of periodic motion an object experiences due to a restoring force whose magnitude is directly proportional to the distance of the object from an equilibrium position and acts towards the equilibrium position. It results in an oscillation that is described by a sinusoid which continues indefinitely (if uninhibited by friction or any other dissipation of energy). Simple harmonic motion can serve as a mathematical model for a variety of motions, but is typified by the oscillation of a mass on a spring when it is subject to the linear elastic restoring force given by Hooke's law. The motion is sinusoidal in time and demonstrates a single resonant frequency. Other phenomena can be modeled by simple harmonic motion, including the motion of a simple pendulum, although for it to be an accurate model, the net force on the object at the end of the pendulum must be proportional to the displacement (and even so, it is only a good approximation when the angle of the swing is small; see small angle approximation). Simple harmonic motion can also be used to model molecular vibration. Simple harmonic motion provides a basis for the characterization of more complicated periodic motion through the techniques of Fourier analysis.
Кіріспе
Тікелей сызық бойымен қозғалатын бөлшектің қозғалысы, оның үдеуі әрқашан сызықтағы белгілі бір нүктеге қарай бағытталған және оның шамасы белгілі нүктеден ауытқуға пропорционал болса, қарапайым гармоникалық қозғалыс деп аталады. Диаграммада пружинаның бір ұшына бекітілген салмақтан тұратын қарапайым гармоникалық тербелісші көрсетілген. Пружинаның екінші ұшы қабырға сияқты қатты тірекке жалғанады. Егер жүйе тепе-теңдік күйінде тыныш тұрса, онда массаға әсер ететін таза күш болмайды. Бірақ, егер масса тепе-теңдік күйінен ауытса, пружина Хук заңына бағынатын, қалпына келтіретін серпімді күшті тудырады. Математикалық тұрғыдан алғанда, қалпына келтіру күші "F" былай беріледі:
мұнда "F" – пружинаның тудыратын қалпына келтіру серпімді күші (СИ бірліктерінде: Н), k – пружинаның қатаңдық коэффициенті (Н·м−1), ал "x" – тепе-теңдік күйінен ауытқу (м). Кез келген қарапайым механикалық гармоникалық тербеліс үшін:
Жүйе тепе-теңдік күйінен ауытқанда, Хук заңына бағынатын қалпына келтіру күші жүйені тепе-теңдікке қайтаруға талпынады. Масса тепе-теңдік күйінен ауытқаннан кейін, ол таза қалпына келтіру күшін сезінеді. Нәтижесінде ол үдеу алады және тепе-теңдікке қарай қозғала бастайды. Масса тепе-теңдікке жақындаған сайын, қалпына келтіру күші азаяды. Тепе-теңдік күйінде таза қалпына келтіру күші нөлге тең болады. Алайда, сол сәтте массада үдеудің нәтижесінде импульс пайда болады. Сондықтан масса тепе-теңдік күйін басып өтіп, пружинаны қысады. Содан кейін таза қалпына келтіру күші оның жылдамдығын нөлге дейін баяулатады, содан кейін ол қайтадан тепе-теңдікке қарай үдеу алады. Егер жүйеде энергия жоғалмаса, масса тербеліс жасай береді. Осылайша, қарапайым гармоникалық қозғалыс – периодтық қозғалыстың бір түрі. Егер жүйеде энергия жоғалса, онда масса демпферленген тербеліс көрсетеді. Егер нақты кеңістік және фазалық кеңістік графигі коллинеарлы болмаса, фазалық кеңістіктегі қозғалыс эллипстік болады. Қоршалған аудан амплитудаға және максималды импульске байланысты.
When the system is displaced from its equilibrium position, a restoring force that obeys Hooke's law tends to restore the system to equilibrium. Once the mass is displaced from its equilibrium position, it experiences a net restoring force. As a result, it accelerates and starts going back to the equilibrium position. When the mass moves closer to the equilibrium position, the restoring force decreases. At the equilibrium position, the net restoring force vanishes. However, at , the mass has momentum because of the acceleration that the restoring force has imparted. Therefore, the mass continues past the equilibrium position, compressing the spring. A net restoring force then slows it down until its velocity reaches zero, whereupon it is accelerated back to the equilibrium position again. As long as the system has no energy loss, the mass continues to oscillate. Thus simple harmonic motion is a type of periodic motion. If energy is lost in the system, then the mass exhibits damped oscillation. Note if the real space and phase space plot are not co linear, the phase space motion becomes elliptical. The area enclosed depends on the amplitude and the maximum momentum.
Мысалдар
Келесі физикалық жүйелер қарапайым гармоникалық осциллятордың мысалдары болып табылады.
Жазықтағы масса
Кескін тұрақтысы k-ға ие серіппеге қосылған m массасы жабық кеңістікте қарапайым гармониялық қозғалыс жасайды. Периодты сипаттау теңдеуі тербеліс периодының амплитудаға тәуелді еместігін көрсетеді, бірақ практикада амплитуда шағын болуы тиіс. Аталған теңдеу массаға қосымша тұрақты күш әсер еткен жағдайда да қолданылады, яғни қосымша тұрақты күш тербеліс периодын өзгерте алмайды.
shows the period of oscillation is independent of the amplitude, though in practice the amplitude should be small. The above equation is also valid in the case when an additional constant force is being applied on the mass, i. e. the additional constant force cannot change the period of oscillation.
Біркелкі дөңгелек қозғалыс
Қарапайым гармоникалық қозғалысты біртекті дөңгелек қозғалыстың бір өлшемді проекциясы ретінде қарастыруға болады. Егер дененің xy жазықтығының төңірегіндегі радиусы r болатын шеңбер бойымен ω бұрыштық жылдамдықпен қозғалса, онда оның әрбір координата бойынша қозғалысы r амплитудасы және ω бұрыштық жиілігі бар қарапайым гармоникалық қозғалыс болады.
Дәнекерлеу қозғалысы
Дене белгілі бір нүктеге қарай және одан кері-қайта қозғалатын қозғалысы тербеліс немесе дірілдемелі қозғалыс деп аталады. Осы қозғалыстың периодын келесі формула арқылы есептеуге болады:
мұндағы l – жай гармониялық қозғалысқа (ЖГҚ) түскен дененің айналу осінен масса орталығына дейінгі арақашықтық, ал g – гравитациялық өріс тұрақтысы. Бұл масса-серіппе жүйесімен салыстыруға болады.
Шотландиялық иық
Шотландтық мойынтұрық механизмі айналма қозғалысты сызықтық алға-кері қозғалысқа түрлендіру үшін қолданылады. Сызықтық қозғалыс ойықтың пішініне қарай әртүрлі болуы мүмкін, бірақ тұрақты айналу жылдамдығымен жұмыс істейтін негізгі мойынтұрық қарапайым гармоникалық сызықтық қозғалыс тудырады.