Введение
Периодическое возвратно-поступательное движение в науке и технике
В механике и физике простое гармоническое движение (иногда сокращаемое как SHM (simple harmonic motion)) – это особый тип периодического движения, которое испытывает объект под действием силы восстановления, величина которой прямо пропорциональна расстоянию объекта от положения равновесия и направлена к этому положению. Это приводит к колебанию, описываемому синусоидой, которое продолжается неопределенно долго (если не ограничено трением или другими потерями энергии). Простое гармоническое движение может служить математической моделью для различных явлений, но наиболее типичным примером является колебание массы на пружине, подверженной линейно-упругой силе восстановления, описываемой законом Гука. Движение изменяется во времени по синусоидальному закону и демонстрирует единственную резонансную частоту. Другие явления также могут быть смоделированы с помощью простого гармонического движения, включая движение простого маятника, однако для того, чтобы модель была точной, результирующая сила, действующая на объект в конце маятника, должна быть пропорциональна смещению (и даже в этом случае это хорошее приближение только при малых углах отклонения; см. приближение малых углов). Простое гармоническое движение также может использоваться для моделирования молекулярных колебаний. Простое гармоническое движение является основой для анализа более сложных периодических движений с использованием методов преобразования Фурье.
Введение
Движение частицы, движущейся по прямой с ускорением, направление которого всегда направлено к фиксированной точке на прямой, а величина которого пропорциональна смещению от этой точки, называется простым гармоническим движением. На диаграмме показан простой гармонический осциллятор, состоящий из груза, прикрепленного к одному концу пружины. Другой конец пружины соединен с жесткой опорой, например, стеной. Если система находится в состоянии покоя в положении равновесия, то на массу не действует результирующая сила. Однако, если массу сместить из положения равновесия, пружина оказывает восстанавливающую упругую силу, подчиняющуюся закону Гука. Математически эта восстанавливающая сила 'F' выражается следующим образом:
где 'F' – восстанавливающая упругая сила, действующая со стороны пружины (в единицах СИ: Н), k – коэффициент жесткости пружины (Н·м⁻¹), а 'x' – смещение от положения равновесия (м). Для любого простого механического гармонического осциллятора: когда система смещается из положения равновесия, восстанавливающая сила, подчиняющаяся закону Гука, стремится вернуть систему в равновесие. Как только масса смещается из положения равновесия, она испытывает результирующую восстанавливающую силу. В результате она ускоряется и начинает двигаться обратно к положению равновесия. По мере приближения массы к положению равновесия, восстанавливающая сила уменьшается. В положении равновесия результирующая восстанавливающая сила равна нулю. Однако, в этот момент масса обладает импульсом из-за ускорения, сообщенного ей восстанавливающей силой. Поэтому масса продолжает движение мимо положения равновесия, сжимая пружину. Затем результирующая восстанавливающая сила замедляет ее, пока ее скорость не достигнет нуля, после чего она снова ускоряется к положению равновесия. Пока в системе нет потерь энергии, масса продолжает колебаться. Таким образом, простое гармоническое движение является видом периодического движения. Если в системе происходит потеря энергии, то масса демонстрирует затухающие колебания. Следует отметить, что если графики в реальном и фазовом пространстве не коллинеарны, движение в фазовом пространстве становится эллиптическим. Площадь, ограниченная эллипсом, зависит от амплитуды и максимального импульса.
When the system is displaced from its equilibrium position, a restoring force that obeys Hooke's law tends to restore the system to equilibrium. Once the mass is displaced from its equilibrium position, it experiences a net restoring force. As a result, it accelerates and starts going back to the equilibrium position. When the mass moves closer to the equilibrium position, the restoring force decreases. At the equilibrium position, the net restoring force vanishes. However, at , the mass has momentum because of the acceleration that the restoring force has imparted. Therefore, the mass continues past the equilibrium position, compressing the spring. A net restoring force then slows it down until its velocity reaches zero, whereupon it is accelerated back to the equilibrium position again. As long as the system has no energy loss, the mass continues to oscillate. Thus simple harmonic motion is a type of periodic motion. If energy is lost in the system, then the mass exhibits damped oscillation. Note if the real space and phase space plot are not co linear, the phase space motion becomes elliptical. The area enclosed depends on the amplitude and the maximum momentum.
Примеры
Следующие физические системы являются примерами простого гармонического осциллятора.
Масса на пружине
Масса m, прикрепленная к пружине с коэффициентом упругости k, совершает простые гармонические колебания в замкнутом пространстве. Уравнение для определения периода показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды, хотя на практике амплитуда должна быть малой. Вышеприведенное уравнение также справедливо в случае приложения к массе дополнительной постоянной силы, то есть дополнительная постоянная сила не может изменить период колебаний.
shows the period of oscillation is independent of the amplitude, though in practice the amplitude should be small. The above equation is also valid in the case when an additional constant force is being applied on the mass, i. e. the additional constant force cannot change the period of oscillation.
Однородное круговое движение
Простой гармонический движение можно рассматривать как одномерную проекцию равномерного кругового движения. Если объект движется с угловой скоростью ω по окружности радиуса r, центр которой находится в начале координат плоскости xy, то его движение вдоль каждой координаты представляет собой простое гармоническое движение с амплитудой r и угловой частотой ω.
Колебательное движение
Движение тела, которое перемещается туда и обратно относительно определенной точки, также называется колебательным или вибрационным движением. Период колебаний можно рассчитать по формуле:
где l – расстояние от точки вращения до центра масс тела, совершающего гармонические колебания, а g – постоянная гравитационного поля. Это аналогично системе массы на пружине.
Шотландский иго
Механизм шотландского ига может использоваться для преобразования вращательного движения в возвратно-поступательное линейное движение. Линейное движение может принимать различные формы в зависимости от формы прорези, но базовое ярмо с постоянной скоростью вращения создает линейное движение, имеющее вид простой гармонии.