Алгебралық құрылымдардың Архимед қасиеті

Кіріспе

Алгебралық құрылымдардың математикалық қасиеттері

абстрактілік алгебра

Абстрактілік алгебра мен талдауда Архимед қасиеті – Сиракузалық Архимед есімді ежелгі грек математигінің құрметіне аталған, реттелген немесе нормаланған топтар мен өрістер сияқты кейбір алгебралық құрылымдарға тән қасиет. Әдетте түсіндірілетін қасиеті бойынша, кез келген екі оң сан және берілген жағдайда, мұндай сан табылады. Бұл сондай-ақ, натурал сандар жиынының жоғарыдан шектелмейтінін білдіреді. Қарапайым тілмен айтқанда, бұл шексіз үлкен немесе шексіз кішкентай элементтері жоқ қасиет. Ото Стольц осы аксиомаға Архимедтің атын берді, себебі ол Архимедтің «Сфера және Цилиндр» еңбегіндегі V аксиомасы ретінде келтірілген. Бұл ұғым ежелгі Грекияның шамалар теориясынан туындады және қазіргі заманғы математикада, мысалы, Дэвид Гильберттің геометрия аксиомаларында, реттелген топтар, реттелген өрістер және жергілікті өрістер теорияларында маңызды рөл атқарады. Кез келген екі нөлдік емес элементтің салыстырылатындығы, яғни ешқайсысының екіншісіне қатысты шексіз кішкентай болмауы сезімінде, Архимедтік алгебралық құрылым деп аталады. Егер құрылымда бір-біріне қатысты шексіз кішкентай болатын нөлдік емес элементтер жұбы болса, онда ол Архимедтік емес деп айтылады. Мысалы, Архимедтік сызықтық реттелген топ – Архимедтік топ болып табылады. Бұл әртүрлі контекстерде сәл өзгеше тұжырымдамалармен нақтылануы мүмкін. Мысалы, реттелген өрістер контекстінде, бұл қасиетті тұжырымдайтын Архимед аксиомасы бар, онда нақты сандар өрісі Архимедтік, бірақ нақты коэффициенттердегі рационалдық функциялар өрісі Архимедтік емес.

Нақты сандардың Архимедтік қасиеті

Рационалдық сандар өрісіне абсолюттік мән функцияларының бірнеше түрін тағайындауға болады, оның ішінде тривиалды функциясы , егер , көбінесе қолданылатын және -адиктік абсолюттік мән функциялары бар. Островский теоремасы бойынша, рационалдық сандардағы кез келген тривиалды емес абсолюттік мән, әдеттегі абсолюттік мәнге немесе бір -адиктік абсолюттік мәнге эквивалентті болады. Рационалдық өріс тривиалды емес абсолюттік мәндерге қатысты толық емес; тривиалды абсолюттік мәнге қатысты рационалдық өріс дискретті топологиялық кеңістік болып табылады, демек толық. Әдеттегі абсолюттік мәнге қатысты (реттелуі бойынша) толықтыру – нақты сандар өрісі. Осы құрылым арқылы нақты сандар өрісі реттелген өріс ретінде де, нормаланған өріс ретінде де Архимедтік болып табылады. Екінші жағынан, басқа тривиалды емес абсолюттік мәндерге қатысты толықтырулар p-адиктік сандардың өрістерін береді, мұнда p – жай сан (төменде қараңыз); өйткені p-адиктік абсолюттік мәндер ультраметрлік қасиетті қанағаттандырады, p-адиктік сандар өрістері нормаланған өрістер ретінде Архимедтік емес (оларды реттелген өрістерге айналдыруға болмайды). Нақты сандардың аксиоматикалық теориясында нөлдік емес шексіз кішкентай нақты сандардың болмауы, ең төменгі жоғарғы шек қасиеті арқылы былай түсіндіріледі. Барлық оң шексіз кішкентай сандардан тұратын жиынды деп белгілейміз. Бұл жиын жоғарыдан шектелген. Енді, қарама-қайшылық тудыру үшін, бос емес деп есептейік. Онда оның ең төменгі жоғарғы шегі бар, ол да оң, сондықтан -ның жоғарғы шегі болғандықтан және -дан қатаң үлкен, оң шексіз кішкентай емес. Яғни, қандай да бір натурал сан бар, ол үшін . Екінші жағынан, оң шексіз кішкентай, өйткені ең төменгі жоғарғы шектің анықтамасы бойынша, мен арасында шексіз кішкентай сан болуы керек, және егер болса, онда шексіз кішкентай емес. Бірақ , демек шексіз кішкентай емес, және бұл қарама-қайшылық. Осыдан бос екендігі шығады: оң, шексіз кішкентай нақты сандар жоқ. Нақты сандардың Архимедтік қасиеті конструктивті талдауда да сақталады, тіпті ең төменгі жоғарғы шек қасиеті сол контексте орындалмауы мүмкін.

The field of the rational numbers can be assigned one of a number of absolute value functions, including the trivial function , when , the more usual , and the adic absolute value functions. By Ostrowski's theorem, every non trivial absolute value on the rational numbers is equivalent to either the usual absolute value or some adic absolute value. The rational field is not complete with respect to non trivial absolute values; with respect to the trivial absolute value, the rational field is a discrete topological space, so complete. The completion with respect to the usual absolute value (from the order) is the field of real numbers. By this construction the field of real numbers is Archimedean both as an ordered field and as a normed field. On the other hand, the completions with respect to the other non trivial absolute values give the fields of p adic numbers, where is a prime integer number (see below); since the adic absolute values satisfy the ultrametric property, then the adic number fields are non Archimedean as normed fields (they cannot be made into ordered fields). In the axiomatic theory of real numbers, the non existence of nonzero infinitesimal real numbers is implied by the least upper bound property as follows. Denote by the set consisting of all positive infinitesimals. This set is bounded above by
Now assume for a contradiction that is nonempty. Then it has a least upper bound , which is also positive, so
Since c is an upper bound of and is strictly larger than , is not a positive infinitesimal. That is, there is some natural number for which
On the other hand, is a positive infinitesimal, since by the definition of least upper bound there must be an infinitesimal between and , and if then is not infinitesimal. But , so is not infinitesimal, and this is a contradiction. This means that is empty after all: there are no positive, infinitesimal real numbers. The Archimedean property of real numbers holds also in constructive analysis, even though the least upper bound property may fail in that context.

Архимедке жатпайтын реттелген өріс

Архимедтік емес реттелген өрістің мысалы ретінде рационалды функциялардың өрісін нақты коэффициенттерімен қарастырайық. (Рационалды функция – бұл кез келген полиномды екінші полиномға бөлгенде алынатын функция; әрі қарай біз бөлгіштің жетекші коэффициенті оң деп есептейміз.) Бұл өрісті реттелген ету үшін, қосу және көбейту операцияларымен үйлесімді реттілік тағайындау қажет. Егер және тек қана егер , онда біз тек қай рационалды функциялар оң деп есептеледін айтамыз. Егер алымның жетекші коэффициенті оң болса, онда функция оң деп аталады. (Бұл реттіліктің дұрыс анықталғанын және қосу мен көбейтумен үйлесімді екенін тексеру қажет.) Осы анықтама бойынша, рационалды функция оң, бірақ рационалды функциядан кіші. Шындығында, егер – кез келген натурал сан болса, онда – оң, бірақ әлі де -дан кіші болады, – қанша үлкен болса да. Сондықтан, бұл өрісте – инфинитезималь. Бұл мысал басқа коэффициенттерге де қолданылады. Нақты коэффициенттердің орнына рационалды коэффициенттерді қолдану, саналатын Архимедтік емес реттелген өріс береді. Коэффициенттерді басқа айнымалыдағы рационалды функциялар деп есептегенде, мысалы , басқа реттік типтегі мысал шығады.

Архимедтік емес бағаланған өрістер

Рационалды сандар өрісі, p-адық метрикамен жабдықталған, және оның толықтырылуы болып табылатын p-адық сан өрістері, абсолюттік мәндері бар өрістер ретінде Архимед қасиетіне ие емес. Барлық Архимед қасиетіне ие өрістер, әдеттегі абсолюттік мәннің дәрежесімен күрделі сандардың бір субөрісіне изометриялық түрде изоморфты болады.

Архимедтің реттелген өрісінің баламалы анықтамасы

Әрбір сызықтық реттелген өріс (изоморфты көшірмесін) реттелген кіші өріс ретінде қамтиды, атап айтқанда, көбейту бірлігі арқылы туындаған кіші өріс, ол өз кезегінде бүтін сандарды реттелген кіші топ ретінде, ал олар табиғи сандарды реттелген моноид ретінде қамтиды. Рационалдарды енгізу рационалдар, бүтін сандар және табиғи сандар туралы сөйлеуге мүмкіндік береді. Архимед өрістерінің эквивалентті сипаттамалары осы кіші құрылымдар тұрғысынан келесідей: Табиғи сандар -де толық. Яғни, -нің әрбір элементі кейбір табиғи сандан кіші. (Бұл шексіз элементтер болғанда орын алмайды.) Осылайша, Архимед өрісі – табиғи сандары шексіз өсетін өріс. Нөл – жиынының ең төменгі шегі. (Егер оң сансыз кішілік қамтитын болса, ол жиынның төменгі шегі болар еді, сондықтан нөл ең үлкен төменгі шек болмас еді.) Оң және теріс рационалдар арасындағы элементтер жиыны ашық емес. Себебі бұл жиын барлық сансыз кішіліктерден тұрады, егер нөлден өзгеше сансыз кішіліктер болмаса, ол жай ғана бос жиын, ал болған жағдайда ашық, ең кіші де, ең үлкен де нөлден өзгеше сансыз кішілік жоқ. Екі жағдайда да сансыз кішіліктер жиынының жабық екенін ескеріңіз. Соңғы жағдайда (i) әрбір сансыз кішілік кез келген оң рационалдан кіші, (ii) ең үлкен сансыз кішілік те, ең кіші оң рационал да жоқ, және (iii) олардың арасында ештеңе жоқ. Осыдан келіп, Архимедтік емес кез келген реттелген өріс толық емес және үзіліссіз. -дегі -дан үлкен бүтін сандар жиынының ең кіші элементі бар. (Егер теріс шексіз шама болса, онда барлық бүтін сандар одан үлкен болады.) -нің әрбір бос емес ашық аралығы рационал санды қамтиды. (Егер оң сансыз кішілік болса, онда ашық аралықта сансыз көп сансыз кішіліктер болады, бірақ бірде-бір рационал сандар жоқ.) Рационал сандар sup және inf қатысты -де тығыз. (Яғни, -нің әрбір элементі кейбір рационал сандар жиынының sup, ал басқа рационал сандар жиынының inf болады.) Осылайша, Архимед өрісі – рационал сандардың кез келген тығыз реттелген кеңейтімі, яғни рационал элементтерін тығыз енгізетін кез келген реттелген өріс.

Every linearly ordered field contains (an isomorphic copy of) the rationals as an ordered subfield, namely the subfield generated by the multiplicative unit of , which in turn contains the integers as an ordered subgroup, which contains the natural numbers as an ordered monoid. The embedding of the rationals then gives a way of speaking about the rationals, integers, and natural numbers in
The following are equivalent characterizations of Archimedean fields in terms of these substructures. The natural numbers are cofinal in That is, every element of is less than some natural number. (This is not the case when there exist infinite elements.) Thus an Archimedean field is one whose natural numbers grow without bound. Zero is the infimum in of the set (If contained a positive infinitesimal it would be a lower bound for the set whence zero would not be the greatest lower bound.) The set of elements of between the positive and negative rationals is non open. This is because the set consists of all the infinitesimals, which is just the set when there are no nonzero infinitesimals, and otherwise is open, there being neither a least nor greatest nonzero infinitesimal. Observe that in both cases, the set of infinitesimals is closed. In the latter case, (i) every infinitesimal is less than every positive rational, (ii) there is neither a greatest infinitesimal nor a least positive rational, and (iii) there is nothing else in between. Consequently, any non Archimedean ordered field is both incomplete and disconnected. For any in the set of integers greater than has a least element. (If were a negative infinite quantity every integer would be greater than it.) Every nonempty open interval of contains a rational. (If is a positive infinitesimal, the open interval contains infinitely many infinitesimals but not a single rational.) The rationals are dense in with respect to both sup and inf. (That is, every element of is the sup of some set of rationals, and the inf of some other set of rationals.) Thus an Archimedean field is any dense ordered extension of the rationals, in the sense of any ordered field that densely embeds its rational elements.