Введение

Математическое свойство алгебраических структур

абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре и анализе свойство Архимеда, названное в честь древнегреческого математика Архимеда из Сиракуз, является свойством, которым обладают некоторые алгебраические структуры, такие как упорядоченные или нормированные группы и поля. Обычно свойство формулируется следующим образом: для любых двух положительных чисел *a* и *b* существует целое число *n* такое, что *a* < *bn*. Это также означает, что множество натуральных чисел не ограничено сверху. В общих чертах, это свойство отсутствия бесконечно больших или бесконечно малых элементов. Отто Стольц дал аксиоме Архимеда её название, поскольку она встречается как аксиома V в труде Архимеда «О сфере и цилиндре». Данное понятие возникло в теории величин Древней Греции и до сих пор играет важную роль в современной математике, например, в аксиомах Дэвида Гильберта для геометрии, а также в теориях упорядоченных групп, упорядоченных полей и локальных полей. Алгебраическая структура, в которой любые два ненулевых элемента сопоставимы, то есть ни один из них не является бесконечно малым по отношению к другому, называется архимедовой. Структура, содержащая пару ненулевых элементов, один из которых бесконечно мал по отношению к другому, называется неархимедовой. Например, линейно упорядоченная архимедова группа называется архимедовой группой. Это можно сформулировать более точно в различных контекстах, используя немного отличающиеся формулировки. Например, в контексте упорядоченных полей существует аксиома Архимеда, которая формулирует это свойство. Поле действительных чисел является архимедовым, а поле рациональных функций с действительными коэффициентами – нет.

Архимедово свойство действительных чисел

Поле рациональных чисел может быть снабжено одной из ряда функций абсолютной величины, включая тривиальную функцию , когда , более обычную , и -адические функции абсолютной величины. Согласно теореме Островского, каждое нетривиальное абсолютное значение на рациональных числах эквивалентно либо обычному абсолютному значению, либо некоторому -адическому абсолютному значению. Рациональное поле не является полным относительно нетривиальных абсолютных значений; относительно тривиального абсолютного значения, рациональное поле является дискретным топологическим пространством, и, следовательно, полным. Завершение относительно обычного абсолютного значения (от порядка) является полем действительных чисел. По этой конструкции поле действительных чисел является архимедовым как упорядоченное, так и нормированное поле. С другой стороны, завершения относительно других нетривиальных абсолютных значений дают поля -адических чисел, где – простое целое число (см. ниже); поскольку -адические абсолютные значения удовлетворяют ультраметрическому свойству, то -адические числовые поля не являются архимедовыми как нормированные поля (они не могут быть превращены в упорядоченные поля). В аксиоматической теории действительных чисел, несуществование ненулевых бесконечно малых действительных чисел следует из свойства наименьшей верхней границы следующим образом. Обозначим через множество, состоящее из всех положительных бесконечно малых чисел. Это множество ограничено сверху . Теперь предположим для противоречия, что не пусто. Тогда у него есть наименьшая верхняя граница , которая также положительна, поскольку является верхней границей и строго больше , значит, не является положительным бесконечно малым. То есть, существует некоторое натуральное число такое, что . С другой стороны, является положительным бесконечно малым, поскольку по определению наименьшей верхней границы должно существовать бесконечно малое число между и , и если , то не является бесконечно малым. Но , следовательно, не является бесконечно малым, и это противоречие. Это означает, что пусто: положительных бесконечно малых действительных чисел не существует. Архимедово свойство действительных чисел также выполняется в конструктивном анализе, даже если свойство наименьшей верхней границы может не выполняться в этом контексте.

Неархимедийское упорядоченное поле

Для примера упорядоченного поля, которое не является архимедовым, возьмем поле рациональных функций с вещественными коэффициентами. (Рациональная функция – это любая функция, которую можно выразить как один многочлен, деленный на другой многочлен; будем считать, что это сделано таким образом, что ведущий коэффициент знаменателя положительный.) Чтобы сделать это упорядоченным полем, необходимо задать порядок, совместимый с операциями сложения и умножения. Теперь, если и только если , нам нужно лишь указать, какие рациональные функции считаются положительными. Будем считать функцию положительной, если ведущий коэффициент числителя положительный. (Необходимо проверить, что этот порядок корректно определен и совместим с операциями сложения и умножения.) Согласно этому определению, рациональная функция положительна, но меньше рациональной функции . Фактически, если – любое натуральное число, то оно положительно, но все равно меньше, чем , каким бы большим оно ни было. Следовательно, является бесконечно малой величиной в этом поле. Этот пример можно обобщить на другие коэффициенты. Если взять рациональные функции с рациональными, а не вещественными коэффициентами, получится счетное неархимедово упорядоченное поле. Если взять коэффициенты в виде рациональных функций от другой переменной, скажем , получится пример с другим типом упорядочения.

Неархимедийские поля

Поле рациональных чисел, наделенное p-адической метрикой, и p-адические числовые поля, являющиеся его завершениями, не обладают свойством Архимеда как поля с абсолютными значениями. Все поля, наделенные архимедовым абсолютным значением, изометрически изоморфны подполю комплексных чисел с некоторой степенью обычного абсолютного значения.

Эквивалентные определения упорядоченного поля Архимеда

Каждое линейно упорядоченное поле содержит (изоморфную копию) рациональных чисел как упорядоченное подполе, а именно подполе, порожденное мультипликативной единицей этого поля, которое, в свою очередь, содержит целые числа как упорядоченную подгруппу, содержащую натуральные числа как упорядоченный моноид. Вложение рациональных чисел позволяет говорить о рациональных числах, целых числах и натуральных числах в следующих эквивалентных характеристиках архимедовых полей с точки зрения этих подструктур. Натуральные числа кофинальны в этом поле, то есть каждый элемент поля меньше некоторого натурального числа. (Это не имеет места, если в поле существуют бесконечно большие элементы.) Таким образом, архимедово поле – это поле, в котором натуральные числа растут неограниченно. Нуль является инфимумом множества {x ∈ | x > 0}. (Если бы поле содержало положительное бесконечно малое число, оно было бы нижней границей этого множества, и, следовательно, нуль не был бы его наибольшей нижней границей.) Множество элементов поля, лежащих между положительными и отрицательными рациональными числами, не является открытым. Это связано с тем, что это множество состоит из всех бесконечно малых чисел, что является просто пустым множеством, если в поле нет ненулевых бесконечно малых чисел, и в противном случае является открытым, поскольку в нем нет ни наименьшего, ни наибольшего ненулевого бесконечно малого числа. Обратите внимание, что в обоих случаях множество бесконечно малых чисел замкнуто. В последнем случае: (i) каждое бесконечно малое число меньше каждого положительного рационального числа, (ii) не существует наибольшего бесконечно малого числа и наименьшего положительного рационального числа, и (iii) между ними нет ничего другого. Следовательно, любое неархимедово упорядоченное поле является одновременно неполным и несвязным. Для любого элемента поля множество целых чисел, больших этого элемента, имеет наименьший элемент. (Если бы это был отрицательный бесконечно большой элемент, каждое целое число было бы больше его.) Каждый непустой открытый интервал поля содержит рациональное число. (Если это положительное бесконечно малое число, открытый интервал содержит бесконечно много бесконечно малых чисел, но ни одного рационального числа.) Рациональные числа плотны в поле как по верхней, так и по нижней границе. (То есть, каждый элемент поля является верхней границей некоторого множества рациональных чисел и нижней границей некоторого другого множества рациональных чисел.) Таким образом, архимедово поле – это любое плотное упорядоченное расширение рациональных чисел, в том смысле, что это любое упорядоченное поле, которое плотно вкладывает свои рациональные элементы.