Кіріспе
Топологиялық кеңістіктерді жіктеуге арналған алгебралық құрылым. Математикада гомотопиялық топтар алгебралық топологияда топологиялық кеңістіктерді жіктеу үшін қолданылады. Бірінші және ең қарапайым гомотопиялық топ – кеңістіктегі циклдар туралы ақпаратты тіркейтетін түбірлік топ. Түсінік бойынша, гомотопиялық топтар топологиялық кеңістіктің негізгі пішіні немесе саңылаулары туралы ақпаратты сақтайды. N-ші гомотопиялық топты анықтау үшін, n-өлшемді сферадан (түбірлік нүктесімен) берілген кеңістікке (түбірлік нүктесімен) түбірлік нүктені сақтайтын бейнелеулер гомотопиялық кластар деп аталатын эквиваленттілік кластарға біріктіріледі. Егер біреуін үздіксіз түрде екіншісіне деформациялауға болады, онда екі бейнелеу гомотопты болады. Бұл гомотопиялық кластар берілген X кеңістігінің түбірлік нүктесімен n-ші гомотопиялық тобын құрайды. Гомотопиялық топтары әртүрлі болатын топологиялық кеңістіктер ешқашан гомеоморфты бола алмайды, бірақ гомеоморфты емес топологиялық кеңістіктердің гомотопиялық топтары бірдей болуы мүмкін. Жолдардың гомотопиясы түсінігін Камилл Джордан енгізді.
In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces. The first and simplest homotopy group is the fundamental group, denoted which records information about loops in a space. Intuitively, homotopy groups record information about the basic shape, or holes, of a topological space. To define the n th homotopy group, the base point preserving maps from an n dimensional sphere (with base point) into a given space (with base point) are collected into equivalence classes, called homotopy classes. Two mappings are homotopic if one can be continuously deformed into the other. These homotopy classes form a group, called the n th homotopy group, of the given space X with base point. Topological spaces with differing homotopy groups are never homeomorphic, but topological spaces that are not homeomorphic can have the same homotopy groups. The notion of homotopy of paths was introduced by Camille Jordan.
Кіріспе
Қазіргі заманғы математикада санатты зерттеу үшін, осы санаттағы әрбір объектіге қызығушылық тудыратын объекті туралы жеткілікті ақпаратты сақтайтын қарапайым объектіні байланыстыру әдетке айналған. Гомотопиялық топтар – топологиялық кеңістіктерге топтарды байланыстырудың бір жолы. Топология мен топтар арасындағы осы байланыс математиктерге топтар теориясынан алынған түсініктерін топологияға қолдануға мүмкіндік береді. Мысалы, егер екі топологиялық объектінің гомотопиялық топтары әртүрлі болса, олардың бірдей топологиялық құрылымы болуы мүмкін емес – бұл тек топологиялық тәсілдерді қолдану арқылы дәлелдеу қиын болуы мүмкін. Мысалы, тор сферадан өзгеше: тордың "тесігі" бар, ал сферада жоқ. Дегенмен, үздіксіздік (топологияның негізгі ұғымы) тек жергілікті құрылыммен байланысты болғандықтан, айқын жаһандық айырмашылықты ресми түрде анықтау қиын болуы мүмкін. Бірақ гомотопиялық топтар жаһандық құрылым туралы ақпарат береді. Мысалы: тордың бірінші гомотопиялық тобы келесідей, себебі тордың әмбебап жабыны – Евклид жазықтығы, ол торға бейнеленеді. Мұндағы бөлшектің қатысы топтар немесе сақиналар емес, топологиялық кеңістіктер санатында қарастырылады. Ал сфера келесіні қанағаттандырады: себебі кез келген цикл тұрақты бейнеленуге қысқартылуы мүмкін (осы және гомотопиялық топтардың күрделі мысалдары үшін сфералардың гомотопиялық топтарын қараңыз). Осыдан тор сфераға гомеоморфты емес деген қорытынды шығады.
because the universal cover of the torus is the Euclidean plane mapping to the torus Here the quotient is in the category of topological spaces, rather than groups or rings. On the other hand, the sphere satisfies:
because every loop can be contracted to a constant map (see homotopy groups of spheres for this and more complicated examples of homotopy groups). Hence the torus is not homeomorphic to the sphere.
Анықтама
n шарда біз a негізгі нүктесін таңдаймыз. b негізгі нүктесі бар X кеңістігі үшін, біз оны a негізгі нүктесін b негізгі нүктесіне бейнелейтін карталардың гомотопиялық кластарының жиыны деп анықтаймыз. Атап айтқанда, эквиваленттілік кластары сфераның негізгі нүктесінде тұрақты болатын гомотопиялармен беріледі. Балама ретінде, n кубынан X-ке дейінгі карталардың гомотопиялық кластарының тобын n кубының шекарасын b-ге бейнелейтіндей деп анықтаңыз. Гомотопиялық кластар топ құрайды. Топтық операцияны анықтау үшін, негізгі топта екі циклдың көбейтіндісі келесідей анықталады:
that map the base point a to the base point b. In particular, the equivalence classes are given by homotopies that are constant on the basepoint of the sphere. Equivalently, define to be the group of homotopy classes of maps from the n cube to X that take the boundary of the n cube to b. For the homotopy classes form a group. To define the group operation, recall that in the fundamental group, the product of two loops is defined by setting
The idea of composition in the fundamental group is that of traveling the first path and the second in succession, or, equivalently, setting their two domains together. The concept of composition that we want for the n th homotopy group is the same, except that now the domains that we stick together are cubes, and we must glue them along a face. We therefore define the sum of maps by the formula
For the corresponding definition in terms of spheres, define the sum of maps to be composed with h, where is the map from to the wedge sum of two n spheres that collapses the equator and h is the map from the wedge sum of two n spheres to X that is defined to be f on the first sphere and g on the second. If then is abelian. Further, similar to the fundamental group, for a path connected space any two choices of basepoint give rise to isomorphic
It is tempting to try to simplify the definition of homotopy groups by omitting the base points, but this does not usually work for spaces that are not simply connected, even for path connected spaces. The set of homotopy classes of maps from a sphere to a path connected space is not the homotopy group, but is essentially the set of orbits of the fundamental group on the homotopy group, and in general has no natural group structure. A way out of these difficulties has been found by defining higher homotopy groupoids of filtered spaces and of n cubes of spaces. These are related to relative homotopy groups and to n adic homotopy groups respectively. A higher homotopy van Kampen theorem then enables one to derive some new information on homotopy groups and even on homotopy types. For more background and references, see "Higher dimensional group theory" and the references below.
Негізгі топтағы композиция идеясы – бірінші және екінші жолдарды тізбектеп жүру, немесе эквивалентті түрде, олардың екі доменін біріктіру. n-ші гомотопиялық топ үшін бізге қажетті композиция ұғымы да сондай, бірақ енді біз біріктіретін домендер – кубтар және оларды бір жақтан жабыстыруымыз керек. Сондықтан карталардың қосындысын келесі формуламен анықтаймыз:
that map the base point a to the base point b. In particular, the equivalence classes are given by homotopies that are constant on the basepoint of the sphere. Equivalently, define to be the group of homotopy classes of maps from the n cube to X that take the boundary of the n cube to b. For the homotopy classes form a group. To define the group operation, recall that in the fundamental group, the product of two loops is defined by setting
The idea of composition in the fundamental group is that of traveling the first path and the second in succession, or, equivalently, setting their two domains together. The concept of composition that we want for the n th homotopy group is the same, except that now the domains that we stick together are cubes, and we must glue them along a face. We therefore define the sum of maps by the formula
For the corresponding definition in terms of spheres, define the sum of maps to be composed with h, where is the map from to the wedge sum of two n spheres that collapses the equator and h is the map from the wedge sum of two n spheres to X that is defined to be f on the first sphere and g on the second. If then is abelian. Further, similar to the fundamental group, for a path connected space any two choices of basepoint give rise to isomorphic
It is tempting to try to simplify the definition of homotopy groups by omitting the base points, but this does not usually work for spaces that are not simply connected, even for path connected spaces. The set of homotopy classes of maps from a sphere to a path connected space is not the homotopy group, but is essentially the set of orbits of the fundamental group on the homotopy group, and in general has no natural group structure. A way out of these difficulties has been found by defining higher homotopy groupoids of filtered spaces and of n cubes of spaces. These are related to relative homotopy groups and to n adic homotopy groups respectively. A higher homotopy van Kampen theorem then enables one to derive some new information on homotopy groups and even on homotopy types. For more background and references, see "Higher dimensional group theory" and the references below.
Шарлар бойынша сәйкес анықтама үшін, h-мен құралатын карталардың қосындысын анықтаңыз, мұнда h – экваторды құластыратын екі n шардың клиндік қосындысына дейінгі карта, ал h – екі n шардың клиндік қосындысынан X-ке дейінгі карта, ол бірінші шар үшін f және екінші шар үшін g деп анықталады. Егер онда абельдік болады. Сонымен қатар, негізгі топқа ұқсас, байланысты кеңістік үшін негізгі нүктенің кез келген екі таңдауы изоморфты тудырады. Гомотопиялық топтардың анықтамасын негізгі нүктелерді жою арқылы оңайлатуға талпынуға болады, бірақ бұл әдетте жай ғана байланысты емес кеңістіктер үшін, тіпті байланысты кеңістіктер үшін де жұмыс істемейді. Сферадан байланысты кеңістікке дейінгі карталардың гомотопиялық кластарының жиыны гомотопиялық топ емес, бірақ негізінен гомотопиялық топтағы негізгі топтың орбиталарының жиыны және, әдетте, табиғи топтық құрылымы жоқ. Бұл қиындықтардан шығудың жолы сүзгіленген кеңістіктердің және кеңістіктердің n кубтарының жоғары гомотопиялық группоидтарын анықтау арқылы табылды. Олар салыстырмалы гомотопиялық топтармен және n-адық гомотопиялық топтармен байланысты. Жоғары гомотопиялық ван Кампен теоремасы гомотопиялық топтар туралы, тіпті гомотопиялық типтер туралы жаңа ақпарат алуға мүмкіндік береді. Қосымша ақпарат және сілтемелер үшін "Жоғары өлшемді топтар теориясы" және төмендегі сілтемелерді қараңыз.
that map the base point a to the base point b. In particular, the equivalence classes are given by homotopies that are constant on the basepoint of the sphere. Equivalently, define to be the group of homotopy classes of maps from the n cube to X that take the boundary of the n cube to b. For the homotopy classes form a group. To define the group operation, recall that in the fundamental group, the product of two loops is defined by setting
The idea of composition in the fundamental group is that of traveling the first path and the second in succession, or, equivalently, setting their two domains together. The concept of composition that we want for the n th homotopy group is the same, except that now the domains that we stick together are cubes, and we must glue them along a face. We therefore define the sum of maps by the formula
For the corresponding definition in terms of spheres, define the sum of maps to be composed with h, where is the map from to the wedge sum of two n spheres that collapses the equator and h is the map from the wedge sum of two n spheres to X that is defined to be f on the first sphere and g on the second. If then is abelian. Further, similar to the fundamental group, for a path connected space any two choices of basepoint give rise to isomorphic
It is tempting to try to simplify the definition of homotopy groups by omitting the base points, but this does not usually work for spaces that are not simply connected, even for path connected spaces. The set of homotopy classes of maps from a sphere to a path connected space is not the homotopy group, but is essentially the set of orbits of the fundamental group on the homotopy group, and in general has no natural group structure. A way out of these difficulties has been found by defining higher homotopy groupoids of filtered spaces and of n cubes of spaces. These are related to relative homotopy groups and to n adic homotopy groups respectively. A higher homotopy van Kampen theorem then enables one to derive some new information on homotopy groups and even on homotopy types. For more background and references, see "Higher dimensional group theory" and the references below.
Гомотопиялық топтар мен тесіктер
Топологиялық кеңістікте d өлшемді шекарасы бар тесігі бар, егер және тек қана егер ол бір нүктеге үздіксіз қысқарып отыра алмайтын d өлшемді сфераны қамтитын болса. Бұл егер және тек қана тұрақты функцияға гомотоп емес бейнелеу болса ғана орын алады. Бұл егер және тек қана X-тің d-шы гомотопиялық тобы тривиалды болмаса ғана орын алады. Қысқаша айтқанда, X-те d өлшемді шекарасы бар тесігі бар, егер және тек қана егер .
Біртекті кеңістік пен сфералар
Сфераларды гомогенді кеңістіктер ретінде іске асырудың көптеген жолдары бар, олар Ли тобының гомотопиялық топтарын есептеуге және сфералардан құралған кеңістіктердегі бас бундельдерді жіктеуге ыңғайлы құралдарды ұсынады.
Шарлы түйіндерге қолдану
Милнор бұл фактіні 3-сфералық бундельдерді жіктеу үшін пайдаланды, атап айтқанда, ол тек гомеоморфты, бірақ диффеоморфты емес Милнор сфералары деп аталатын экзотикалық сфераларды табуға қол жеткізді. Кез келген сфералық бундельді векторлық бундельден құрастыруға болады, себебі олардың құрылымдық тобы бар, өйткені олар бағытталған Римандық көптүрліліктің құрылымын қабылдай алады.
Есептеу әдістері
Гомотопиялық топтарды есептеу, әдетте, алгебралық топологияда оқытылатын басқа гомотопиялық инварианттарды есептеуден әлдеқайда қиын. Негізгі топқа арналған Сейферт-ван Кампен теоремасынан және сингулярлы гомология мен когомологияға арналған экзиция теоремасынан өзгеше, кеңістікті кішірек кеңістіктерге бөліп гомотопиялық топтарды есептеудің қарапайым, белгілі әдісі жоқ. Дегенмен, 1980 жылдары жоғары гомотопиялық группоидтарға арналған ван Кампен сияқты теореманы қолданатын әдістер гомотопиялық типтер және, демек, гомотопиялық топтар бойынша жаңа есептеулерге жол берді. Мысал ретінде, Эллис пен Михайловтың 2010 жылғы мақаласына қараңыз. Торлар сияқты кейбір кеңістіктер үшін барлық жоғары гомотопиялық топтар (яғни екінші және одан жоғары гомотопиялық топтар) тривиальды болады. Мұндай кеңістіктер асфералық кеңістіктер деп аталады. Алайда, сфералардың гомотопиялық топтарын есептеудегі қарқынды зерттеулерге қарамастан, тіпті екі өлшемде де толық тізім әлі белгісіз. Тіпті төртінші гомотопиялық топты есептеу үшін анықтамалардан көрінетінге қарағанда күрделірек әдістер қажет. Атап айтқанда, Серр спектрлік тізбегі осы мақсатта ғана құрастырылған. n-байланысқан кеңістіктердің белгілі бір гомотопиялық топтарын Гомологиялық топтармен салыстыру арқылы Хюревич теоремасы көмегімен есептеуге болады.
Гомотопиялық топтарды есептеу әдістерінің тізімі
Фибрацияның гомотопиялық топтарының ұзын дәл тізбегі. Хюревич теоремасы, оның бірнеше түрі бар. Блейкерс-Мессей теоремасы, сонымен қатар гомотопиялық топтар үшін қиып тастау теоремасы деп те аталады. Фрейденталь суспензия теоремасы, гомотопиялық топтар үшін қиып тастау теоремасының салдары.
Қарым-қатынас ұғымдары
Гомотопиялық топтар гомотопиялық теорияның негізі болып табылады, бұл өз кезегінде модельдік категориялардың дамуын қозғады. Симплициалды жиынтар үшін абстрактілі гомотопиялық топтарды анықтау мүмкін. Гомологиялық топтар гомотопиялық топтарға ұқсас, себебі олар топологиялық кеңістіктегі "бөліктерді" көрсете алады. Дегенмен, гомотопиялық топтар көбінесе өте күрделі және есептеуге қиын. Керісінше, гомологиялық топтар коммутативті (жоғары гомотопиялық топтар сияқты). Сондықтан кейде "гомология – гомотопияның коммутативті альтернативасы" деп айтылады. Берілген топологиялық кеңістіктің n-ші гомотопиялық тобы әдетте символымен, ал оның n-ші гомологиялық тобы әдетте символымен белгіленеді.