Введение
Алгебраическая конструкция, классифицирующая топологические пространства.
В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств. Первая и простейшая гомотопическая группа – это фундаментальная группа, обозначаемая π₁(X), которая фиксирует информацию о петлях в пространстве. Интуитивно, гомотопические группы фиксируют информацию об основной форме или отверстиях топологического пространства. Для определения n-й гомотопической группы, все непрерывные отображения, сохраняющие базовую точку, из n-мерной сферы (с базовой точкой) в заданное пространство (с базовой точкой), объединяются в классы эквивалентности, называемые классами гомотопии. Два отображения называются гомотопическими, если одно можно непрерывно деформировать в другое. Эти классы гомотопии образуют группу, называемую n-й гомотопической группой πₙ(X) данного пространства X с базовой точкой. Топологические пространства с различными гомотопическими группами никогда не являются гомеоморфными, но топологические пространства, не являющиеся гомеоморфными, могут иметь одинаковые гомотопические группы. Понятие гомотопии путей было введено Камиллем Жорданом.
Введение
В современной математике принято изучать категорию, связывая с каждым её объектом более простой объект, который всё ещё сохраняет достаточно информации об интересующем объекте. Гомотопические группы – это один из способов сопоставления групп топологическим пространствам. Эта связь между топологией и теорией групп позволяет математикам применять идеи из теории групп к топологии. Например, если у двух топологических объектов разные гомотопические группы, то они не могут иметь одинаковую топологическую структуру – факт, который может быть трудно доказать, используя только топологические методы. Например, тор отличается от сферы: у тора есть "отверстие", а у сферы – нет. Однако, поскольку непрерывность (основное понятие топологии) оперирует только локальной структурой, формально определить очевидную глобальную разницу может быть сложно. Гомотопические группы, напротив, несут информацию о глобальной структуре. Что касается примера: первая гомотопическая группа тора равна , поскольку универсальное накрытие тора – это отображение евклидовой плоскости на тор. Здесь факторпространство рассматривается в категории топологических пространств, а не групп или колец. С другой стороны, для сферы выполняется: , потому что любой цикл можно стянуть в константу (подробнее и для более сложных примеров гомотопических групп см. статью «Гомотопические группы сфер»). Следовательно, тор не гомеоморфен сфере.
because the universal cover of the torus is the Euclidean plane mapping to the torus Here the quotient is in the category of topological spaces, rather than groups or rings. On the other hand, the sphere satisfies:
because every loop can be contracted to a constant map (see homotopy groups of spheres for this and more complicated examples of homotopy groups). Hence the torus is not homeomorphic to the sphere.
Определение
В n-сфере мы выбираем базовую точку a. Для пространства X с базовой точкой b, мы определяем как множество классов гомотопии отображений, которые переводят базовую точку a в базовую точку b. В частности, классы эквивалентности задаются гомотопиями, постоянными в базовой точке сферы. Эквивалентно, определим как группу классов гомотопии отображений из n-куба в X, которые переносят границу n-куба в b. Для , классы гомотопии образуют группу. Чтобы определить групповую операцию, вспомним, что в фундаментальной группе произведение двух петель определяется как установка. Идея композиции в фундаментальной группе заключается в последовательном прохождении первого и второго пути, или, эквивалентно, в склеивании их областей вместе. Концепция композиции, которую мы хотим для n-й гомотопической группы, та же, за исключением того, что теперь склеиваемые области – это кубы, и мы должны склеить их по грани. Поэтому мы определяем сумму отображений по формуле. Для соответствующего определения в терминах сфер, определим сумму отображений как композицию с h, где – отображение из клин-суммы двух n-сфер, схлопывающее экватор, а h – отображение из клин-суммы двух n-сфер в X, определенное как f на первой сфере и g на второй. Если , то эта группа абелева. Более того, аналогично фундаментальной группе, для связного по путям пространства любые два выбора базовой точки порождают изоморфные.
that map the base point a to the base point b. In particular, the equivalence classes are given by homotopies that are constant on the basepoint of the sphere. Equivalently, define to be the group of homotopy classes of maps from the n cube to X that take the boundary of the n cube to b. For the homotopy classes form a group. To define the group operation, recall that in the fundamental group, the product of two loops is defined by setting
The idea of composition in the fundamental group is that of traveling the first path and the second in succession, or, equivalently, setting their two domains together. The concept of composition that we want for the n th homotopy group is the same, except that now the domains that we stick together are cubes, and we must glue them along a face. We therefore define the sum of maps by the formula
For the corresponding definition in terms of spheres, define the sum of maps to be composed with h, where is the map from to the wedge sum of two n spheres that collapses the equator and h is the map from the wedge sum of two n spheres to X that is defined to be f on the first sphere and g on the second. If then is abelian. Further, similar to the fundamental group, for a path connected space any two choices of basepoint give rise to isomorphic
It is tempting to try to simplify the definition of homotopy groups by omitting the base points, but this does not usually work for spaces that are not simply connected, even for path connected spaces. The set of homotopy classes of maps from a sphere to a path connected space is not the homotopy group, but is essentially the set of orbits of the fundamental group on the homotopy group, and in general has no natural group structure. A way out of these difficulties has been found by defining higher homotopy groupoids of filtered spaces and of n cubes of spaces. These are related to relative homotopy groups and to n adic homotopy groups respectively. A higher homotopy van Kampen theorem then enables one to derive some new information on homotopy groups and even on homotopy types. For more background and references, see "Higher dimensional group theory" and the references below.
Заманчиво попытаться упростить определение гомотопических групп, опустив базовые точки, но это обычно не работает для пространств, не являющихся просто связными, даже для связных по путям пространств. Множество классов гомотопии отображений из сферы в связное по путям пространство не является гомотопической группой, а по сути является множеством орбит фундаментальной группы на гомотопической группе и, как правило, не имеет естественной групповой структуры. Выход из этих трудностей был найден путем определения гомотопических группоидов высшего порядка для фильтрованных пространств и n-кубов пространств. Они связаны с относительными гомотопическими группами и с n-адическими гомотопическими группами соответственно. Теорема ван Кампена о гомотопиях высшего порядка позволяет получить новую информацию о гомотопических группах и даже о гомотопических типах. Более подробную информацию и ссылки см. в "Теории групп высших измерений" и в приведенных ниже ссылках.
that map the base point a to the base point b. In particular, the equivalence classes are given by homotopies that are constant on the basepoint of the sphere. Equivalently, define to be the group of homotopy classes of maps from the n cube to X that take the boundary of the n cube to b. For the homotopy classes form a group. To define the group operation, recall that in the fundamental group, the product of two loops is defined by setting
The idea of composition in the fundamental group is that of traveling the first path and the second in succession, or, equivalently, setting their two domains together. The concept of composition that we want for the n th homotopy group is the same, except that now the domains that we stick together are cubes, and we must glue them along a face. We therefore define the sum of maps by the formula
For the corresponding definition in terms of spheres, define the sum of maps to be composed with h, where is the map from to the wedge sum of two n spheres that collapses the equator and h is the map from the wedge sum of two n spheres to X that is defined to be f on the first sphere and g on the second. If then is abelian. Further, similar to the fundamental group, for a path connected space any two choices of basepoint give rise to isomorphic
It is tempting to try to simplify the definition of homotopy groups by omitting the base points, but this does not usually work for spaces that are not simply connected, even for path connected spaces. The set of homotopy classes of maps from a sphere to a path connected space is not the homotopy group, but is essentially the set of orbits of the fundamental group on the homotopy group, and in general has no natural group structure. A way out of these difficulties has been found by defining higher homotopy groupoids of filtered spaces and of n cubes of spaces. These are related to relative homotopy groups and to n adic homotopy groups respectively. A higher homotopy van Kampen theorem then enables one to derive some new information on homotopy groups and even on homotopy types. For more background and references, see "Higher dimensional group theory" and the references below.
Гомотопические группы и отверстия
Топологическое пространство имеет отверстие с d-мерной границей тогда и только тогда, когда оно содержит d-мерную сферу, которую нельзя непрерывно стянуть в точку. Это справедливо тогда и только тогда, когда существует отображение, не гомотопное постоянному отображению. Это справедливо тогда и только тогда, когда d-я гомотопическая группа пространства X нетривиальна. Иными словами, пространство X имеет отверстие с d-мерной границей, тогда и только тогда, когда .
Однородные пространства и сферы
Существует множество представлений сфер как однородных пространств, которые предоставляют удобные инструменты для вычисления гомотопических групп групп Ли и классификации главных расслоений над пространствами, построенными из сфер.
Применение к пучкам сфер
Милнор использовал этот факт для классификации расслоений 3-сфер над , в частности, ему удалось найти экзотические сферы, являющиеся гладкими многообразиями, называемыми сферами Милнора, которые гомеоморфны , но не диффеоморфны. Следует отметить, что любое расслоение сфер можно построить из векторного расслоения, имеющего структуру группы , поскольку может обладать структурой ориентированного риманова многообразия.
Методы расчета
Расчет гомотопических групп в целом намного сложнее, чем некоторые другие инварианты гомотопии, изучаемые в алгебраической топологии. В отличие от теоремы Зейферта — ван Кампена для фундаментальной группы и теоремы об исключении для сингулярной гомологии и когомологии, нет известного простого способа вычислить гомотопические группы пространства, разбивая его на меньшие пространства. Однако методы, разработанные в 1980-х годах, включающие теорему типа ван Кампена для высших гомотопических группоидов, позволили провести новые вычисления гомотопических типов и, следовательно, гомотопических групп. См. статью Эллиса и Михайлова 2010 года для ознакомления с одним из результатов. Для некоторых пространств, таких как торы, все высшие гомотопические группы (то есть, гомотопические группы второй и более высокой степени) тривиальны. Эти пространства называются асферическими. Однако, несмотря на интенсивные исследования по вычислению гомотопических групп сфер, даже в двух измерениях полный список неизвестен. Для вычисления даже четвертой гомотопической группы требуются гораздо более сложные методы, чем можно предположить, исходя из определений. В частности, спектральная последовательность Серра была построена именно для этой цели. Определенные гомотопические группы n-связных пространств могут быть вычислены путем сравнения с гомологическими группами с помощью теоремы Гуревича.
Перечень методов расчета гомотопических групп
Длинная точная последовательность гомотопических групп фибрации. Теорема Гуревича, имеющая несколько вариантов формулировки. Теорема Блейкерса — Масси, также известная как операция вырезания для гомотопических групп. Теорема Фреденталя о приостановлении, являющаяся следствием операции вырезания для гомотопических групп.
Связанные понятия
Гомотопические группы являются фундаментальными для теории гомотопии, которая, в свою очередь, стимулировала развитие модельных категорий. Возможно определить абстрактные гомотопические группы для симплициальных множеств. Гомологические группы схожи с гомотопическими группами в том, что они могут представлять "дыры" в топологическом пространстве. Однако гомотопические группы часто очень сложны и их трудно вычислить. В отличие от них, гомологические группы коммутативны (как и высшие гомотопические группы). Поэтому иногда говорят, что "гомология — это коммутативная альтернатива гомотопии". Для заданного топологического пространства его n-я гомотопическая группа обычно обозначается , а его n-я гомологическая группа обычно обозначается .