Кіріспе
Тұрақты дөңес емес көпбұрыш
+ Two types of star pentagons{5/2}5/2A regular star pentagon, {5/2}, has five vertices (its corner tips) and five intersecting edges, while a concave decagon, 5/2, has ten edges and two sets of five vertices. The first is used in definitions of star polyhedra and star uniform tilings, while the second is sometimes used in planar tilings. Small stellated dodecahedronTessellation
In geometry, a star polygon is a type of non convex polygon. Regular star polygons have been studied in depth; while star polygons in general appear not to have been formally defined, certain notable ones can arise through truncation operations on regular simple or star polygons. Branko Grünbaum identified two primary usages of this terminology by Johannes Kepler, one corresponding to the regular star polygons with intersecting edges that do not generate new vertices, and the other one to the isotoxal concave simple polygons. Polygrams include polygons like the pentagram, but also compound figures like the hexagram. One definition of a star polygon, used in turtle graphics, is a polygon having q ≥ 2 turns (q is called the turning number or density), like in spirolaterals.
+ Жұлдызды бесбұрыштардың екі түрі {5/2}5/2 Тұрақты жұлдызды бесбұрыштың бес төбесі (оның бұрыштық ұштары) және бес қиылысатын қабырғасы бар, ал қуыс онбұрыштың он қабырғасы және бес төбесінің екі жиыны бар. Біріншісі жұлдызды полиэдрлер мен жұлдызды біркелкі мозаикалардың анықтамаларында қолданылады, ал екіншісі кейде жазық мозаикаларда қолданылады. Кішкентай жұлдызды он екі қырлы (додекаэдр) Мозаика Геометрияда жұлдызды көпбұрыш – дөңес емес көпбұрыш түрі. Тұрақты жұлдызды көпбұрыштар жан-жақты зерттелген; жалпы жұлдызды көпбұрыштар ресми түрде анықталмаған сияқты, бірақ белгілі бірлері тұрақты қарапайым немесе жұлдызды көпбұрыштарды қиып-түзу арқылы пайда болуы мүмкін. Бранко Грунбаум Йоханнес Кеплер осы терминологияның екі негізгі қолданысын анықтады, бірі – жаңа төбелер жасамайтын қиылысатын қабырғалары бар тұрақты жұлдызды көпбұрыштарға, ал екіншісі – изотоксальды қуыс қарапайым көпбұрыштарға сәйкес келеді. Полиграммаларға пентаграмма сияқты көпбұрыштар, сондай-ақ гексаграмма сияқты күрделі фигуралар да кіреді. Жұлдызды көпбұрышқа берілген бір анықтама, «тасбақа» графигінде қолданылатын, q ≥ 2 бұрылысқа ие (q бұрылу саны немесе тығыздығы деп аталады) көпбұрыш, мысалы спиролатеральдардағыдай.
+ Two types of star pentagons{5/2}5/2A regular star pentagon, {5/2}, has five vertices (its corner tips) and five intersecting edges, while a concave decagon, 5/2, has ten edges and two sets of five vertices. The first is used in definitions of star polyhedra and star uniform tilings, while the second is sometimes used in planar tilings. Small stellated dodecahedronTessellation
In geometry, a star polygon is a type of non convex polygon. Regular star polygons have been studied in depth; while star polygons in general appear not to have been formally defined, certain notable ones can arise through truncation operations on regular simple or star polygons. Branko Grünbaum identified two primary usages of this terminology by Johannes Kepler, one corresponding to the regular star polygons with intersecting edges that do not generate new vertices, and the other one to the isotoxal concave simple polygons. Polygrams include polygons like the pentagram, but also compound figures like the hexagram. One definition of a star polygon, used in turtle graphics, is a polygon having q ≥ 2 turns (q is called the turning number or density), like in spirolaterals.
Аттар
Жұлдызды көпбұрыштардың атаулары сандық префиксті, мысалы, пента, грекше грамм жұрнағымен біріктіреді (осылайша пентаграмма сөзі жасалады). Префикс көбінесе грек тіліндегі сан есімдерінен алынады, бірақ басқа префикстерді қолданатын синонимдер де бар. Мысалы, тоғыз қабырғалы көпбұрыш немесе энеаграмма латын тілінен алынған нона ординалы арқылы нонаграмма деп те аталады. Грамм жұрнағы грекше γραμμή (грамме) сөзінен шыққан, ол "сызық" дегенді білдіреді. Жұлдызды көпбұрыш атауы осы пішіндердің нақты жұлдыздардың дифракциялық сәулелеріне ұқсастығын көрсетеді.
Тұрақты жұлдызды көпбұрыш
Тәртіптік жұлдызды көпбұрыш – өздігінен қиылысатын, теңқабырлы және теңбұрышты көпбұрыш. Түзгіш жұлдызды көпбұрыш өзінің Шлефли символымен {p/q} белгіленеді, мұнда p (төбелер саны) және q (тығыздық) өзара жай сандар (олар ортақ бөлгіштері жоқ) және q ≥ 2. Көпбұрыштың тығыздығын бұрылу саны деп те атайды: барлық төбелеріндегі бұрылу бұрыштарының қосындысы 360°-қа бөлінгендегі шама. {p/q} симметрия тобы – 2p реттік, q-дан тәуелсіз Dp диэдрлік тобы. Тұрақты жұлдызды көпбұрыштарды алғаш рет Томас Брэдвардин, кейін Йоханнес Кеплер жүйелі түрде зерттеді.
A regular star polygon is a self intersecting, equilateral, and equiangular polygon. A regular star polygon is denoted by its Schläfli symbol {p/q}, where p (the number of vertices) and q (the density) are relatively prime (they share no factors) and where q ≥ 2. The density of a polygon can also be called its turning number: the sum of the turn angles of all the vertices, divided by 360°. The symmetry group of {p/q} is the dihedral group Dp, of order 2p, independent of q. Regular star polygons were first studied systematically by Thomas Bradwardine, and later Johannes Kepler.
Шеңберлік байланысы арқылы құрастыру
Тұрақты жұлдызды көпбұрыштарды тұрақты p қабырғалы қарапайым көпбұрыштың бір төбесін екінші төбесімен жалғастыру арқылы жасауға болады, біріншісіне іргелес емес, және бастапқы төбеге қайта оралуға дейін осы процесті жалғастыруға болады. Басқаша айтқанда, p және q бүтін сандары үшін, оны шеңбер бойымен бір-бірінен тең арақашықтықта орналасқан p нүктелердің әрбір q-ыншы нүктесін қосу арқылы құрылған деп қарастыруға болады. Мысалы, тұрақты бесбұрышта бес қанатты жұлдызды 1-ші төбеден 3-ші төбеге, 3-ші төбеден 5-ші төбеге, 5-ші төбеден 2-ші төбеге, 2-ші төбеден 4-ші төбеге және 4-ші төбеден 1-ші төбеге сызық салу арқылы алуға болады. Егер q ≥ p/2 болса, онда {p/q} құрастырылымы {p/(p − q)} сияқты көпбұрышқа тең болады; бесбұрышқа әр үшінші төбесін қосу, әр екінші төбесін қосумен бірдей нәтиже береді. Дегенмен, төбелерге кері бағытта жетеді, бұл ретроградты көпбұрыштарды жоғары өлшемді политоптарға енгізген кезде маңызды айырмашылықты тудырады. Мысалы, прогрессивті пентаграммадан {5/2} құрылған антипризма пентаграммалық антипризмаға әкеледі; ретроградты "қиылысқан пентаграммадан" {5/3} құрылған аналогтық құрастырма пентаграммалық қиылысқан антипризмаға әкеледі. Тағы бір мысал – тетрагемигексаэдр, оны "қиылысқан үшбұрыш" {3/2} куплоиды ретінде қарастыруға болады.
Үлгілі жұлдызды көпбұрыштарды түрлендіру
Егер p және q өзара жай болмаса, төбелері мен қабырғалары бір-бірімен беттесетін дегенеративті көпбұрыш пайда болады. Мысалы, {6/2} үшбұрыш түрінде көрінеді, бірақ оны екі төбелер жиынымен белгілеуге болады: 1 3 және 4 6. Бұл екі үсті-үстіне орналасқан үшбұрыш емес, бір жолмен жүргізілген, екі рет бұралған алтыбұрыш ретінде қарастырылуы керек.
Жұлдыздық құрылым арқылы құрылыс
Сонымен қатар, тұрақты жұлдызды көпбұрыштарды дөңгелек тұрақты өзектік көпбұрыштардың тізбектері арқылы да алуға болады. Жұлдыздық құрылымға негізделген құрастырулар, тығыздығы q және төбелерінің саны p өзара жай болмаған жағдайларда, тұрақты көпбұрыштық құрамаларды жасауға мүмкіндік береді. Бірақ, жұлдызшалық арқылы жұлдызды көпбұрыштарды құрастырғанда, егер q > p/2 болса, түзулер шексіз бойға дейін таралады, ал егер q = p/2 болса, түзулер параллель болады, екеуі де Евклид кеңістігінде одан әрі қиылыспайды. Дегенмен, моногон мен дигон сияқты сфералық кеңістікте мұндай көпбұрыштарды құрастыру мүмкіншілігі бар; мұндай көпбұрыштар әзірге толыққанды зерттелмеген көрінеді.
Изотоксалдық жұлдызды қарапайым көпбұрыш
Толық жұлдыздан қиылысатын сызық сегменттерін алып тастағанда, алынған фигура енді тұрақты емес, бірақ екі түрлі радиуста кезектесіп орналасқан төбелері бар изотоксальды қуыс қарапайым 2n-бұрыш ретінде қарастырылуы мүмкін. Бранко Грунбаум "Төселмелер және үлгілер" еңбегінде мұндай жұлдызды, егер ол тұрақты полиграмманың {n/d} контурымен сәйкес келсе, |n/d| деп белгілейді, ал жалпы жағдайда {nα} деп көрсетеді, бұл сыртқы ішкі бұрышы α болатын изотоксальды қуыс немесе дөңес қарапайым 2n-бұрышты білдіреді. |n/d| үшін сыртқы ішкі бұрыш градусқа тең, ал ішкі (жаңа) төбелердің сыртқы бұрышы градусқа тең болуы керек. {nα} үшін сыртқы ішкі және ішкі сыртқы бұрыштар, сәйкесінше α және β арқылы белгіленеді, ешқандай тұрақты полиграмманың {n/d} бұрыштарымен сәйкес келуі міндетті емес; алайда, α < 180(1 − 2/n) градусқа тең және міндетті түрде (осы жағдайда {nα} қуыс). + Изотоксальды қарапайым жұлдыздары бар теңбұрышты төселмелердің мысалдары Изотоксальды қарапайым н-бұрышты жұлдыздар "Үшбұрышты" жұлдыздар (n = 3) "Төртбұрышты" жұлдыздар (n = 4) "Алтыбұрышты" жұлдыздар (n = 6) "Сегізбұрышты" жұлдыздар (n = 8) Төселменің конфигурациясы 3.3.3.3 8.4.8.4 6.6.6.6 3.6.6.6 3.6.6.6 шетке шетке емес.