Введение
Регулярный невыпуклый многоугольник + два типа звездных пятиугольников{5/2}5/2Регулярный звездный пятиугольник {5/2} имеет пять вершин (его угловые точки) и пять пересекающихся сторон, в то время как вогнутый десятиугольник 5/2 имеет десять сторон и два набора по пять вершин. Первый используется в определениях звездных многогранников и звездных однородных мозаик, а второй иногда используется в планарных мозаиках. Малый звёздный додекаэдрТесселяция
+ Two types of star pentagons{5/2}5/2A regular star pentagon, {5/2}, has five vertices (its corner tips) and five intersecting edges, while a concave decagon, 5/2, has ten edges and two sets of five vertices. The first is used in definitions of star polyhedra and star uniform tilings, while the second is sometimes used in planar tilings. Small stellated dodecahedronTessellation
In geometry, a star polygon is a type of non convex polygon. Regular star polygons have been studied in depth; while star polygons in general appear not to have been formally defined, certain notable ones can arise through truncation operations on regular simple or star polygons. Branko Grünbaum identified two primary usages of this terminology by Johannes Kepler, one corresponding to the regular star polygons with intersecting edges that do not generate new vertices, and the other one to the isotoxal concave simple polygons. Polygrams include polygons like the pentagram, but also compound figures like the hexagram. One definition of a star polygon, used in turtle graphics, is a polygon having q ≥ 2 turns (q is called the turning number or density), like in spirolaterals.
В геометрии звездный многоугольник — это тип невыпуклого многоугольника. Регулярные звездные многоугольники были глубоко изучены; в то время как звездные многоугольники в целом, по-видимому, не были формально определены, некоторые известные из них могут возникать в результате операции усечения на регулярных простых или звездных многоугольниках. Бранко Грунбаум выделил два основных способа использования этой терминологии Иоганном Кеплером: один соответствует регулярным звездным многоугольникам с пересекающимися сторонами, которые не создают новых вершин, а другой — изотоксальным вогнутым простым многоугольникам. Полиграммы включают в себя многоугольники, такие как пентаграмма, а также составные фигуры, такие как гексаграмма. Одно из определений звездного многоугольника, используемое в черепашьей графике, — это многоугольник, имеющий q ≥ 2 поворотов (q называется числом поворотов или плотностью), как в спиролатералях.
+ Two types of star pentagons{5/2}5/2A regular star pentagon, {5/2}, has five vertices (its corner tips) and five intersecting edges, while a concave decagon, 5/2, has ten edges and two sets of five vertices. The first is used in definitions of star polyhedra and star uniform tilings, while the second is sometimes used in planar tilings. Small stellated dodecahedronTessellation
In geometry, a star polygon is a type of non convex polygon. Regular star polygons have been studied in depth; while star polygons in general appear not to have been formally defined, certain notable ones can arise through truncation operations on regular simple or star polygons. Branko Grünbaum identified two primary usages of this terminology by Johannes Kepler, one corresponding to the regular star polygons with intersecting edges that do not generate new vertices, and the other one to the isotoxal concave simple polygons. Polygrams include polygons like the pentagram, but also compound figures like the hexagram. One definition of a star polygon, used in turtle graphics, is a polygon having q ≥ 2 turns (q is called the turning number or density), like in spirolaterals.
Имена
Названия звёздных многоугольников сочетают численный префикс, такой как penta, с греческим суффиксом -грамм (в этом случае образуя слово пентаграмма). Префикс обычно является греческим количественным числительным, но существуют синонимы с использованием других префиксов. Например, девятиконечный многоугольник или энеаграмма также известен как нонаграмма, используя латинский порядковый числитель нона. Суффикс -грамм происходит от греческого слова γραμμή (grammḗ), означающего линию. Название «звёздный многоугольник» отражает сходство этих фигур с дифракционными лучами настоящих звёзд.
Регулярный звездный полигон
Регулярный звездный многоугольник – это самопересекающийся, равносторонний и равноугольный многоугольник. Регулярный звездный многоугольник обозначается символом Шлефли {p/q}, где p (количество вершин) и q (плотность) являются взаимно простыми числами (не имеют общих делителей) и где q ≥ 2. Плотность многоугольника также может называться числом оборотов: сумма углов поворота во всех вершинах, деленная на 360°. Группа симметрии {p/q} – это диэдрическая группа Dp порядка 2p, не зависящая от q. Регулярные звездные многоугольники впервые систематически изучались Томасом Брэдвардином, а затем Иоганном Кеплером.
A regular star polygon is a self intersecting, equilateral, and equiangular polygon. A regular star polygon is denoted by its Schläfli symbol {p/q}, where p (the number of vertices) and q (the density) are relatively prime (they share no factors) and where q ≥ 2. The density of a polygon can also be called its turning number: the sum of the turn angles of all the vertices, divided by 360°. The symmetry group of {p/q} is the dihedral group Dp, of order 2p, independent of q. Regular star polygons were first studied systematically by Thomas Bradwardine, and later Johannes Kepler.
Конструкция через вертикальное соединение
Регулярные звёздные многоугольники могут быть созданы путём соединения одной вершины правильного p-стороннего простого многоугольника с другой вершиной, не смежной с первой, и продолжения этого процесса до тех пор, пока не будет достигнута исходная вершина. В качестве альтернативы, для целых чисел p и q, их можно рассматривать как построенные путём соединения каждой q-й точки из p точек, равномерно расположенных по окружности. Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от 1-й к 3-й вершине, от 3-й к 5-й вершине, от 5-й ко 2-й вершине, от 2-й к 4-й вершине и от 4-й к 1-й вершине. Если q ≥ p/2, то построение {p/q} даст тот же многоугольник, что и {p/(p − q)}; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст идентичный результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигаться в противоположном направлении, что важно при включении ретроградных многоугольников в многомерные политопы. Например, антипризма, образованная из прямой пентаграммы {5/2}, приводит к пятиграммовой антипризме; аналогичное построение из ретроградной «перекрещённой пентаграммы» {5/3} приводит к пятиграммовой перекрещённой антипризме. Другим примером является тетрагемигексаэдр, который можно рассматривать как куплоид «перекрещённого треугольника» {3/2}.
Дегенерировать регулярные звездные полигоны
Если p и q не являются взаимно простыми, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет выглядеть как треугольник, но может быть обозначен двумя наборами вершин: 1, 3 и 4, 6. Это следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как шестиугольник с двойной обмоткой и одним непрерывным контуром.
Строительство через звездообразование
В качестве альтернативы, правильный звездный многоугольник также можно получить как последовательность звездных усечений правильного выпуклого ядра-многоугольника. Конструкции, основанные на звездных усечениях, также позволяют получать правильные полигональные соединения в случаях, когда плотность q и число вершин p не являются взаимно простыми. Однако при построении звездных многоугольников посредством звездных усечений, если q > p/2, линии будут расходиться в бесконечность, а если q = p/2, линии будут параллельны, и в обоих случаях дальнейшего пересечения в евклидовом пространстве не произойдет. Тем не менее, возможно построение некоторых таких многоугольников в сферическом пространстве, аналогично моногону и дигону; подобные многоугольники пока не были детально изучены.
Изотоксальные звездные простые многоугольники
Когда из регулярного звездного n-угольника удаляются пересекающиеся отрезки, полученная фигура перестает быть правильной, но может рассматриваться как изотоксальный вогнутый простой 2n-угольник, с вершинами, чередующимися на двух разных радиусах. Бранко Грюнбаум в книге «Tilings and patterns» представляет такую звезду, соответствующую очертаниям правильной полиграммы {n/d}, как |n/d|, или в более общем виде {nα}, что обозначает изотоксальный вогнутый или выпуклый простой 2n-угольник с внешним внутренним углом α. Для |n/d| внешний внутренний угол составляет градусов, обязательно, а внутренние (новые) вершины имеют внешний угол градусов, обязательно. Для {nα} внешние внутренние и внутренние внешние углы, также обозначаемые α и β, не обязаны соответствовать углам какой-либо правильной полиграммы {n/d}; однако α < 180(1 − 2/n) градусов и обязательно (здесь {nα} является вогнутым). + Примеры изогональных покрытий с изотоксальными простыми звездами. Изотоксальные простые многоугольные звезды. "Треугольные" звезды (n = 3). "Квадратные" звезды (n = 4). "Шестиугольные" звезды (n = 6). "Восьмиугольные" звезды (n = 8). Изображение покрытия. Конфигурация вершин. 3.3.3.3. 8.4.8.4. 6.6.6.6. 3.6.6. 3.6.6.6. не край к краю.