Кіріспе
Логикалық принцип
Юм принципі немесе HP, F-тің саны G-тің санына тең болады, егер және тек қана F және G арасында бір-бірге сәйкестік (биекция) болса. HP екінші реттік логика жүйелерінде формалды түрде тұжырымдалуы мүмкін. Юм принципі шотланд философы Дэвид Юмның құрметіне аталған және Джордж Булоспен енгізілген. Готтлоб Фрегенің математика философиясында HP орталық рөл атқарады. Фреге HP және арифметикалық ұғымдардың сәйкес анықтамалары, қазір біз екінші реттік арифметика деп атайтынымыздың барлық аксиомаларын қамтитынын көрсетеді. Бұл нәтиже Фреге теоремасы деп белгілі, ол неологизм деп аталатын математика философиясының негізін құрайды.
Шығу тегі
Юмның принципі Фрегедің "Арифметика негіздері" (§63) еңбегінде кездеседі, ол Дэвид Юмның "Адам табиғаты туралы зерттеу" (1740 ж.) кітабының І томның ІІІ бөлімінен цитата келтіреді. Юм онда идеялар арасындағы жеті негізгі қатынасты көрсетеді. Олардың біріне қатысты, мөлшердегі немесе сандағы пропорция, Юм геометрия арқылы бейнеленген мөлшердегі пропорция туралы ойлауымыз ешқашан "толыққанды дәлдікке және нақтылыққа" жете алмайды деп тұжырымдайды, себебі оның принциптері сезімдік қабылдаудан туындайды. Ол мұны сандар немесе арифметика туралы ойлаумен салыстырады, онда мұндай дәлдікке қол жеткізуге болады: Алгебра және арифметика – біз ойлау тізбегін кез келген күрделілік деңгейіне дейін жүргізе алатын, бірақ толық дәлдік пен сенімділікті сақтай алатын жалғыз ғылымдар. Бізде нақты стандарт бар, ол арқылы сандардың теңдігі мен пропорциясын бағалай аламыз; және олардың осы стандартқа сәйкес келуіне немесе сәйкес келмеуіне қарай, біз олардың арақатынастарын қателік мүмкін болмайтындай анықтаймыз. Егер екі санның бірі әрқашан екіншісінің әрбір бірлігіне сәйкес бірлікке ие болса, онда біз оларды тең деп жариялаймыз; және геометрияны толық және қатесіз ғылым деп санауға болмайтын себебі – [кеңістіктегі] кеңеюдегі теңдіктің мұндай стандартының болмауы. (I. III. I.) Юмның «сан» сөзін ежелгі мағынасында қолданғанын ескеріңіз, ол «оң бүтін сан» деген қазіргі заманғы жалпы түсінік емес, заттардың жиынтығын немесе тобын білдіреді. Ежелгі гректердің «сан» (аритмос) ұғымы – бірліктерден құралған шекті көптік. Аристотельдің «Метафизикасы», 1020а14 және Евклидтің «Элементтері», VII кітап, 1 және 2 анықтамаларына қараңыз. Санның ескі және қазіргі заманғы түсініктерінің арасындағы айырмашылық Mayberry (2000) еңбегінде егжей-тегжейлі талданған.
Algebra and arithmetic [are] the only sciences in which we can carry on a chain of reasoning to any degree of intricacy, and yet preserve a perfect exactness and certainty. We are possessed of a precise standard, by which we can judge of the equality and proportion of numbers; and according as they correspond or not to that standard, we determine their relations, without any possibility of error. When two numbers are so combined, as that the one has always a unit answering to every unit of the other, we pronounce them equal; and it is for want of such a standard of equality in [spatial] extension, that geometry can scarce be esteemed a perfect and infallible science. (I. III. I.) Note Hume's use of the word number in the ancient sense, to mean a set or collection of things rather than the common modern notion of "positive integer". The ancient Greek notion of number (arithmos) is of a finite plurality composed of units. See Aristotle, Metaphysics, 1020a14 and Euclid, Elements, Book VII, Definition 1 and 2. The contrast between the old and modern conception of number is discussed in detail in Mayberry (2000).
Жинақ теориясына әсері
Кардинал санның бір-бірге сәйкестік арқылы сипатталуы керек деген қағиданы бұрын Георг Кантор қолданған, оның еңбектерін Фреге білген. Сондықтан Юм қағидасын "Кантор қағидасы" немесе "Хьюм-Кантор қағидасы" деп атау ұсынылған. Бірақ Фреге Канторды сынға алды, себебі Кантор кардинал сандарды реттік сандар арқылы анықтайды, ал Фреге кардинал сандарды реттік сандардан тәуелсіз сипаттауды қалаған. Дегенмен, Кантордың көзқарасы аксиомалық жиын теориясында дамыған трансфинит сандардың қазіргі заманғы теорияларында қамтылған.