Введение
Логический принцип
Принцип Юма, или HP, утверждает, что количество F равно количеству G тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие (биекция) между F и G. HP может быть формально сформулирован в системах логики второго порядка. Принцип Юма назван в честь шотландского философа Дэвида Юма и был введен Джорджем Булосом. HP играет центральную роль в философии математики Готлоба Фреге. Фреге показывает, что HP и подходящие определения арифметических понятий подразумевают все аксиомы того, что мы сейчас называем арифметикой второго порядка. Этот результат известен как теорема Фреге, которая является основой для философии математики, известной как неологицизм.
Происхождение
Принцип Юма появляется в "Основах арифметики" Фреге (§63), где приводится цитата из части III книги I "Трактата о человеческой природе" Дэвида Юма (1740). Юм излагает там семь фундаментальных отношений между идеями. Касаясь одного из них – пропорции в количестве или числе – Юм утверждает, что наши рассуждения о пропорциях в количестве, как они представлены в геометрии, никогда не могут достичь "абсолютной точности", поскольку их принципы основаны на чувственном восприятии. Он противопоставляет это рассуждениям о числе или арифметике, где такая точность возможна: алгебра и арифметика – единственные науки, в которых можно выстроить цепочку рассуждений любой сложности, сохраняя при этом полную точность и достоверность. Мы располагаем точным мерилом, по которому можем судить о равенстве и пропорциональности чисел; и в зависимости от соответствия чисел этому мерилу мы определяем их отношения без какой-либо возможности ошибки. Когда два числа связаны таким образом, что на каждую единицу одного приходится единица другого, мы объявляем их равными; и именно из-за отсутствия подобного стандарта равенства в [пространственном] измерении геометрию едва ли можно считать совершенной и безошибочной наукой. (I. III. I.) Обратите внимание на использование Юмом слова "число" в древнем значении – для обозначения совокупности или коллекции вещей, а не современного представления о "положительном целом числе". Древнегреческое понятие числа (аритмос) – это конечное множество, состоящее из единиц. См. Аристотель, "Метафизика", 1020a14 и Евклид, "Начала", Книга VII, Определения 1 и 2. Контраст между старым и современным пониманием числа подробно рассматривается в Mayberry (2000).
Algebra and arithmetic [are] the only sciences in which we can carry on a chain of reasoning to any degree of intricacy, and yet preserve a perfect exactness and certainty. We are possessed of a precise standard, by which we can judge of the equality and proportion of numbers; and according as they correspond or not to that standard, we determine their relations, without any possibility of error. When two numbers are so combined, as that the one has always a unit answering to every unit of the other, we pronounce them equal; and it is for want of such a standard of equality in [spatial] extension, that geometry can scarce be esteemed a perfect and infallible science. (I. III. I.) Note Hume's use of the word number in the ancient sense, to mean a set or collection of things rather than the common modern notion of "positive integer". The ancient Greek notion of number (arithmos) is of a finite plurality composed of units. See Aristotle, Metaphysics, 1020a14 and Euclid, Elements, Book VII, Definition 1 and 2. The contrast between the old and modern conception of number is discussed in detail in Mayberry (2000).
Влияние на теорию множеств
Принцип, согласно которому кардинальное число должно определяться посредством взаимно однозначного соответствия, ранее использовался Георгом Кантором, работы которого были известны Фреге. В связи с этим было предложено называть принцип Юма «принципом Кантора» или «принципом Кантора — Юма». Однако Фреге критиковал Кантора за то, что тот определяет кардинальные числа через порядковые числа, в то время как Фреге стремился дать характеристику кардинальным числам, независимую от порядковых. Тем не менее, именно точка зрения Кантора лежит в основе современных теорий трансфинитных чисел, разработанных в аксиоматической теории множеств.