Кіріспе
Бинарлық қатынастың түрі Математикада R бинарлық қатынасы жиынға немесе, жалпырақ айтқанда, X класына жақсы негізделген (немесе жақсы негізделген, немесе іргетасты) деп аталады, егер әрбір бос емес ішкі жиын S ⊆ X үшін R қатынасына қатысты минималды элемент болса; яғни, S ішінде m ∈ S элементі бар, сонда әр s ∈ S үшін s R m болмайды. Басқаша айтқанда, қатынас жақсы негізделген, егер:
In mathematics, a binary relation R is called well founded (or wellfounded or foundational) on a set or, more generally, a class X if every non empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R; that is, there exists an m ∈ S such that, for every s ∈ S, one does not have s R m. In other words, a relation is well founded if:
Some authors include an extra condition that R is set like, i. e., that the elements less than any given element form a set. Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well founded when it contains no infinite descending chains, which can be proved when there is no infinite sequence x0, x1, x2, of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.
In order theory, a partial order is called well founded if the corresponding strict order is a well founded relation. If the order is a total order then it is called a well order. In set theory, a set x is called a well founded set if the set membership relation is well founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, asserts that all sets are well founded. A relation R is converse well founded, upwards well founded or Noetherian on X, if the converse relation R^(−1) is well founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.
Кейбір авторлар R қатынасы жиын тәрізді болуын қосымша шарт ретінде қосады, яғни кез келген элементтен кіші элементтер жиыны болады. Балама ретінде, тәуелді таңдау аксиомасын қабылдасақ, қатынас шексіз төмендейтін тізбектерді қамтымайтын болса жақсы негізделген, бұл X элементтерінің шексіз тізбегі x0, x1, x2, ... болмаған кезде дәлелделуі мүмкін, мұнда әрбір табиғи сан n үшін xn+1 R xn орындалады.
In mathematics, a binary relation R is called well founded (or wellfounded or foundational) on a set or, more generally, a class X if every non empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R; that is, there exists an m ∈ S such that, for every s ∈ S, one does not have s R m. In other words, a relation is well founded if:
Some authors include an extra condition that R is set like, i. e., that the elements less than any given element form a set. Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well founded when it contains no infinite descending chains, which can be proved when there is no infinite sequence x0, x1, x2, of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.
In order theory, a partial order is called well founded if the corresponding strict order is a well founded relation. If the order is a total order then it is called a well order. In set theory, a set x is called a well founded set if the set membership relation is well founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, asserts that all sets are well founded. A relation R is converse well founded, upwards well founded or Noetherian on X, if the converse relation R^(−1) is well founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.
Рет теориясында, егер сәйкес қатаң рет жақсы негізделген қатынас болса, ішінара рет жақсы негізделген деп аталады. Егер рет толық рет болса, онда ол жақсы рет деп аталады. Жинақтар теориясында, егер жиын мүшелігі қатынасы x-тің транзитивті жабылуында жақсы негізделген болса, онда x жиыны жақсы негізделген жиын деп аталады. Зермело-Франкель жиындар теориясының аксиомаларының бірі болып табылатын реттелу аксиомасы, барлық жиындар жақсы негізделгенін күйеді. R қатынасы X-те кері жақсы негізделген, жоғары жақсы негізделген немесе Нотерлік деп аталады, егер кері қатынас R^(−1) X-те жақсы негізделген болса. Бұл жағдайда R өсу тізбегі шартын қанағаттандырады делінеді. Қайта жазу жүйелерінің контекстінде, Нотерлік қатынас сондай-ақ тоқтатылатын деп аталады.
In mathematics, a binary relation R is called well founded (or wellfounded or foundational) on a set or, more generally, a class X if every non empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R; that is, there exists an m ∈ S such that, for every s ∈ S, one does not have s R m. In other words, a relation is well founded if:
Some authors include an extra condition that R is set like, i. e., that the elements less than any given element form a set. Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well founded when it contains no infinite descending chains, which can be proved when there is no infinite sequence x0, x1, x2, of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.
In order theory, a partial order is called well founded if the corresponding strict order is a well founded relation. If the order is a total order then it is called a well order. In set theory, a set x is called a well founded set if the set membership relation is well founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, asserts that all sets are well founded. A relation R is converse well founded, upwards well founded or Noetherian on X, if the converse relation R^(−1) is well founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.
Рефлексивтілік
R қатынасы рефлексивті деп аталады, егер қатынастың доменіндегі әрбір a үшін a R a орындалса. Бос емес домендегі әрбір рефлексивті қатынастың шексіз төмендеу тізбектері болады, себебі кез келген тұрақты тізбек төмендеу тізбек болып табылады. Мысалы, әдеттегі реті ≤ болатын натурал сандарда 1 ≥ 1 ≥ 1 ≥ ... болады. Осы тривиалды төмендеу тізбектерінен аулақ болу үшін, ≤ ішінара ретпен жұмыс істегенде, < баламалы қатынасына (әлдеқайда жасырын түрде) жақсы негізделгендік анықтамасын қолдану қалыпты жағдай, мұнда a < b егер және тек қана a ≤ b және a ≠ b болса. Көбінесе, ≤ алдын ала ретпен жұмыс істегенде, a < b егер және тек қана a ≤ b және b ≰ a болса деп анықталатын < қатынасы қолданылады. Натурал сандар контекстінде бұл < қатынасы, жақсы негізделген, ≤ қатынасының орнына қолданылады, ол жақсы негізделмеген. Кейбір мәтіндерде жақсы негізделген қатынастың анықтамасы жоғарыдағы анықтамадан осы шарттарды қамтитын етіп өзгертіледі.