Введение
Тип бинарного отношения
В математике бинарное отношение R называется хорошо обоснованным (или хорошо обоснованным, или фундаментальным) на множестве или, в более общем случае, классе X, если каждое непустое подмножество S ⊆ X имеет минимальный элемент относительно R; то есть, существует m ∈ S, такой что для каждого s ∈ S не выполняется s R m. Иными словами, отношение является хорошо обоснованным, если:
Некоторые авторы добавляют дополнительное условие, что R является подобно множеству, то есть элементы, меньшие любого данного элемента, образуют множество. Эквивалентно, при условии аксиомы зависимого выбора, отношение является хорошо обоснованным, когда оно не содержит бесконечных убывающих цепей, что может быть доказано, если не существует бесконечной последовательности x0, x1, x2, … элементов X, такой что xn+1 R xn для каждого натурального числа n.
В теории порядка частичный порядок называется хорошо обоснованным, если соответствующий строгий порядок является хорошо обоснованным отношением. Если порядок является полным порядком, то он называется порядком благоустроенности. В теории множеств множество x называется хорошо обоснованным, если отношение принадлежности множеству является хорошо обоснованным на транзитивном замыкании x. Аксиома регулярности, являющаяся одной из аксиом теории множеств Цермело — Френкеля, утверждает, что все множества хорошо обоснованы. Отношение R называется обратным образом хорошо обоснованным, восходящим образом хорошо обоснованным или ноэтерианским на X, если обратное отношение R⁻¹ является хорошо обоснованным на X. В этом случае также говорят, что R удовлетворяет условию восходящей цепи. В контексте систем переписывания ноэтерианское отношение также называется терминирующим.
Рефлексивность
Отношение R называется рефлексивным, если выполняется условие a R a для любого a из области определения отношения. Каждое рефлексивное отношение на непустой области имеет бесконечные убывающие цепи, поскольку любая постоянная последовательность является убывающей цепью. Например, в натуральных числах с их обычным порядком ≤, мы имеем 1 ≥ 1 ≥ 1 ≥ … Чтобы избежать этих тривиальных убывающих последовательностей, при работе с частичным порядком ≤, часто применяют определение обоснованности (возможно, неявно) к альтернативному отношению <, определяемому как a < b, если и только если a ≤ b и a ≠ b. В более общем случае, при работе с предпорядком ≤, обычно используют отношение <, определяемое как a < b, если и только если a ≤ b и b ≰ a. В контексте натуральных чисел это означает, что используется отношение <, которое является обоснованным, вместо отношения ≤, которое не является обоснованным. В некоторых текстах определение обоснованного отношения изменяется по сравнению с приведенным выше, чтобы включить эти соглашения.