Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикалық реттеулер класы
Class of mathematical orderings
Математикада, S жиынындағы жақсы реттеу (немесе жақсы ретке келтіру немесе жақсы реттеу қатынасы) – S жиынының бос емес кез келген ішкі жиынының осы реттеуде ең кіші элементі болатын, S жиынының толық реттелуі. S жиыны және реттеуі бірге жақсы реттелген жиын деп аталады. Кейбір ғылыми мақалалар мен оқулықтарда бұл терминдер жақсыреттелген, жақсыреттелген және жақсыреттелген немесе жақсы реттелген, жақсы реттелген және жақсы реттелген деп жазылуы мүмкін. Кез келген бос емес жақсы реттелген жиынның ең кіші элементі болады. Жақсы реттелген жиынның әрбір s элементі, мүмкін болатын ең үлкен элементтен басқа, бірегей ізбасарына (келесі элементке) ие, атап айтқанда, s-тен үлкен барлық элементтердің ішкі жиынының ең кіші элементі. Ең кіші элементтен басқа, алдыңғысы жоқ элементтер болуы мүмкін (мысалы, төменде қараңыз). Жақсы реттелген S жиыны, жоғарғы шегі бар кез келген T ішкі жиыны үшін ең төменгі жоғарғы шегін қамтиды, атап айтқанда, S-дегі T-ның барлық жоғарғы шегінің ішкі жиынының ең кіші элементі.
In mathematics, a well order (or well ordering or well order relation) on a set S is a total ordering on S with the property that every non empty subset of S has a least element in this ordering. The set S together with the ordering is then called a well ordered set. In some academic articles and textbooks these terms are instead written as wellorder, wellordered, and wellordering or well order, well ordered, and well ordering. Every non empty well ordered set has a least element. Every element s of a well ordered set, except a possible greatest element, has a unique successor (next element), namely the least element of the subset of all elements greater than s. There may be elements, besides the least element, that have no predecessor (see below for an example). A well ordered set S contains for every subset T with an upper bound a least upper bound, namely the least element of the subset of all upper bounds of T in S.
Егер ≤ қатаң емес жақсы реттеу болса, онда < қатаң жақсы реттеу болады. Қатынас қатаң жақсы реттеу болады, егер және тек қана егер ол қатаң толық реттеу болса. Қатаң және қатаң емес жақсы реттеулер арасындағы айырмашылық көбінесе ескерілмейді, өйткені оларды оңай түрлендіруге болады. Кез келген жақсы реттелген жиын бірегей ретке ие, бірегей реттік санға тең, ол жақсы реттелген жиынның рет түрі деп аталады. Жақсы реттеу теоремасы, таңдау аксиомасына эквивалентті, кез келген жиынды жақсы реттеуге болады деп мәлімдейді. Егер жиын жақсы реттелген болса (немесе тіпті ол негізделген қатынасты қабылдаса да), берілген тұжырымның жиынның барлық элементтері үшін дұрыс екенін дәлелдеу үшін трансфиниттік индукцияның дәлелдеу әдісін қолдануға болады. Натурал сандардың әдеттегі «кем» қатынасы бойынша жақсы реттелгенін байқау әдетте жақсы реттеу принципі деп аталады (натурал сандар үшін).
If ≤ is a non strict well ordering, then < is a strict well ordering. A relation is a strict well ordering if and only if it is a well founded strict total order. The distinction between strict and non strict well orders is often ignored since they are easily interconvertible. Every well ordered set is uniquely order isomorphic to a unique ordinal number, called the order type of the well ordered set. The well ordering theorem, which is equivalent to the axiom of choice, states that every set can be well ordered. If a set is well ordered (or even if it merely admits a well founded relation), the proof technique of transfinite induction can be used to prove that a given statement is true for all elements of the set. The observation that the natural numbers are well ordered by the usual less than relation is commonly called the well ordering principle (for natural numbers).
Реттік сандар
Әрбір жақсы реттелген жиын бірегей реттік санға тең, және бұл сан жақсы реттелген жиынның рет түрі деп аталады. Реттелген жиын ішіндегі әрбір элементтің орны да реттік санмен беріледі. Шекті жиын жағдайында, белгілі бір объектінің реттік санын табу немесе белгілі бір реттік нөмірі бар объектіні табу үшін санаудың негізгі амалы, объектілерге реттік нөмірлерді бірінен кейін бірі тағайындауға сәйкес келеді. Шекті жиынның мөлшері (элементтер саны, кардиналдық саны) оның рет түріне тең. Күнделікті санау әдетте біртен басталады, сондықтан ол әрбір объектіге осы объекті соңғы элемент болатын бастапқы сегменттің мөлшерін тағайындайды. Бұл сандар изоморфтық рет бойынша ресми реттік сандардан бірге артық екенін ескеріңіз, себебі олар алдыңғы объектілердің санына тең (бұл нөлден санауға сәйкес келеді). Осылайша, шекті n үшін жақсы реттелген жиынның "n-ші элементі" деген өрнек, санау нөлден басталады ма әлде біртен басталады ма, білу үшін контекстті қажет етеді. "β-шы элемент" белгісінде β – шексіз реттік сан болуы мүмкін, және ол әдетте нөлден бастап есептеледі. Шексіз жиын үшін рет түрі кардиналдылықты анықтайды, бірақ керісінше емес: бірдей кардиналдылыққа ие жақсы реттелген жиындарда әртүрлі рет түрлері болуы мүмкін (мысалы, төмендегіге қараңыз). Санауға болатын шексіз жиын үшін мүмкін болатын рет түрлерінің жиыны санауға болмайтын.
Every well ordered set is uniquely order isomorphic to a unique ordinal number, called the order type of the well ordered set. The position of each element within the ordered set is also given by an ordinal number. In the case of a finite set, the basic operation of counting, to find the ordinal number of a particular object, or to find the object with a particular ordinal number, corresponds to assigning ordinal numbers one by one to the objects. The size (number of elements, cardinal number) of a finite set is equal to the order type. Counting in the everyday sense typically starts from one, so it assigns to each object the size of the initial segment with that object as last element. Note that these numbers are one more than the formal ordinal numbers according to the isomorphic order, because these are equal to the number of earlier objects (which corresponds to counting from zero). Thus for finite n, the expression "n th element" of a well ordered set requires context to know whether this counts from zero or one. In a notation "β th element" where β can also be an infinite ordinal, it will typically count from zero. For an infinite set the order type determines the cardinality, but not conversely: well ordered sets of a particular cardinality can have many different order types (see , below, for an example). For a countably infinite set, the set of possible order types is uncountable.