Введение
Класс математических упорядочений
В математике, вполне упорядоченное отношение (или хорошее упорядочение, или отношение полного порядка) на множестве S — это полный порядок на S, обладающий свойством, что каждое непустое подмножество S имеет наименьший элемент в этом порядке. Множество S вместе с упорядочением называется вполне упорядоченным множеством. В некоторых научных статьях и учебниках эти термины могут быть написаны как wellorder, wellordered и wellordering или well order, well ordered и well ordering. Каждое непустое вполне упорядоченное множество имеет наименьший элемент. Каждый элемент s вполне упорядоченного множества, за исключением возможного наибольшего элемента, имеет единственный преемник (следующий элемент), а именно наименьший элемент подмножества всех элементов, больших s. Помимо наименьшего элемента, могут существовать элементы, не имеющие предшественника (см. ниже пример). Вполне упорядоченное множество S содержит для каждого подмножества T с верхней границей наименьшую верхнюю границу, то есть наименьший элемент подмножества всех верхних границ T в S.
Если ≤ является нестрогим вполне упорядоченным отношением, то < является строгим вполне упорядоченным отношением. Отношение является строгим вполне упорядоченным, если и только если оно является хорошо обоснованным строгим полным порядком. Различие между строгими и нестрогими вполне упорядоченными отношениями часто игнорируется, поскольку они легко преобразуются друг в друга. Каждое вполне упорядоченное множество однозначно упорядочено изоморфно уникальному порядковому числу, называемому типом упорядочения вполне упорядоченного множества. Теорема о вполне упорядочении, эквивалентная аксиоме выбора, утверждает, что каждое множество можно вполне упорядочить. Если множество вполне упорядочено (или даже если оно допускает хорошо обоснованное отношение), метод доказательства трансфинитной индукции может быть использован для доказательства истинности данного утверждения для всех элементов множества. Наблюдение о том, что натуральные числа вполне упорядочены обычным отношением «меньше», обычно называют принципом вполне упорядочения (для натуральных чисел).
Порядковые числа
Каждое хорошо упорядоченное множество уникально и изоморфно упорядочено к единственному порядковому числу, называемому типом порядка этого хорошо упорядоченного множества. Положение каждого элемента в упорядоченном множестве также задается порядковым числом. В случае конечного множества, базовая операция счета, позволяющая найти порядковый номер конкретного объекта или объект с конкретным порядковым номером, соответствует последовательному присвоению порядковых номеров объектам. Размер (число элементов, кардинальное число) конечного множества равно его типу порядка. В повседневном понимании счет обычно начинается с единицы, поэтому каждому объекту присваивается размер начального сегмента, заканчивающегося этим объектом. Следует отметить, что эти числа на единицу больше формальных порядковых чисел в соответствии с изоморфным порядком, поскольку они равны числу предшествующих объектов (что соответствует счету от нуля). Таким образом, для конечного n выражение "n-й элемент" хорошо упорядоченного множества требует контекста, чтобы определить, ведется ли счет от нуля или от единицы. В обозначении "β-й элемент", где β может быть также бесконечным порядковым числом, счет обычно ведется от нуля. Для бесконечного множества тип порядка определяет кардинальность, но не наоборот: хорошо упорядоченные множества с заданной кардинальностью могут иметь различные типы порядка (см. ниже пример). Для счетно бесконечного множества множество возможных типов порядка несчетно.