Кіріспе
Барлық элементтері тұқым қуалайтын шекті жиынтықтар болып табылатын шекті жиынтықтар. Математика мен жиын теориясында, тұқым қуалайтын шекті жиынтықтар – барлық элементтері тұқым қуалайтын шекті жиынтықтар болатын шекті жиынтықтар ретінде анықталады. Яғни, жиынның өзі шекті, және оның барлық элементтері шекті жиындар, бос жиынға дейін рекурсивті түрде.
In mathematics and set theory, hereditarily finite sets are defined as finite sets whose elements are all hereditarily finite sets. In other words, the set itself is finite, and all of its elements are finite sets, recursively all the way down to the empty set.
Талқылау
Жинақ – мұндай тұқым қуалайтын шекті жиынға мысал, және бос жиын да сондай, атап айтқанда. Ал жиындар немесе – тұқым қуалайтын шекті емес, бірақ шекті жиындардың мысалдары. Мысалы, біріншісі тұқым қуалайтын шекті бола алмайды, себебі ол элемент ретінде кем дегенде бір шексіз жиынды қамтиды, егер . Барлық тұқым қуалайтын шекті жиындар класы деп белгіленеді, яғни әрбір мүшесінің кардиналдығы бірден кіші (Аналогично, тұқым қуалайтын саналатын жиындар класы деп белгіленеді). Оны сондай-ақ , фон Нейман ғаламының n-ші сатысын білдіретін белгісімен де көрсетуге болады. Бұл класс санаулы.
The class of all hereditarily finite sets is denoted by , meaning that the cardinality of each member is smaller than (Analogously, the class of hereditarily countable sets is denoted by .) It can also be denoted by , which denotes the th stage of the von Neumann universe. The class is countable.
Графикалық модельдер
Сынып түбірлі ағаштар класымен нақты сәйкес келеді, атап айтқанда, тривиальды емес симметриясы жоқтар (яғни, жалғыз автоморфизм – сәйкестік): Түбірлік нүкте жоғарғы деңгейдегі жақшаға сәйкес келеді, ал әр қабырға өзінің түбірлік нүктесі бола алатын элементке (басқа осындай жиынға) жетелейді. Бұл графтың автоморфизмі жоқ, бұл бірдей тармақтар біріктірілгенімен сәйкес келеді (мысалы, екі субграфтың пішінінің орналасуын қарапайымдастыру). Бұл графикалық модель ZF-ті шексіздіксіз дерек түрлері ретінде іске асыруға және осылайша экспрессивті типтер теориясында жиын теориясын түсіндіруге мүмкіндік береді. ZF үшін графтық модельдер де, Zermelo жиын теориясынан өзгеше теориялар да бар, мысалы, жақсы негізделмеген теориялар. Мұндай модельдерде қабырғалардың құрылымы күрделірек. Граф теориясында, түйіндері тұқым қуалайтын шекті жиындарға, ал қабырғалары жиынға жататындыққа сәйкес келетін граф – Радо графы немесе кездейсоқ граф.
The root vertex corresponds to the top level bracket and each edge leads to an element (another such set) that can act as a root vertex in its own right. No automorphism of this graph exist, corresponding to the fact that equal branches are identified (e. g. , trivializing the permutation of the two subgraphs of shape ). This graph model enables an implementation of ZF without infinity as data types and thus an interpretation of set theory in expressive type theories. Graph models exist for ZF and also set theories different from Zermelo set theory, such as non well founded theories. Such models have more intricate edge structure. In graph theory, the graph whose vertices correspond to hereditarily finite sets and edges correspond to set membership is the Rado graph or random graph.
Шекті жиынтықтар теориясы
Жалпы аксиоматикалық жиын теориясының тәсілдерінде бос жиын сонымен қатар бірінші фон Нейман реттік санын білдіреді, оны былай белгілейді. Барлық шекті фон Нейман реттік саны шын мәнінде тұқым қуалай шекті, сондықтан табиғи сандарды білдіретін жиындар класы да солай. Басқаша айтқанда, ол табиғи сандардың стандартты моделіндегі әрбір элементті қамтиды, ал жиын теориясы оны білдіру үшін олардың бәрін де қамтуы керек. Енді, Робинсон арифметикасын Extensionality, Empty Set және Adjunction аксиомаларымен берілген өте кішкентай ішкі теорияда түсіндіруге болатынын ескеріңіз. Ол осы аксиомаларды қамтитын конструктивті аксиоматизацияға ие, мысалы, жиындық индукция және ауыстыру сияқты. Тұқым қуалайтын шекті жиындар теориясын аксиоматикалық тұрғыдан сипаттау үшін шексіздік аксиомасының жоқтығын қосуға болады, осылайша шексіздік аксиомасы оның басқа аксиомаларының салдары емес екенін дәлелдеуге болады.