Кіріспе
Теңбұрышты және теңқабырғалы көпбұрыш
Евклид геометриясында, дұрыс көпбұрыш – бұл барлық бұрыштары тең (әрқайсысының өлшемі бірдей) және барлық қабырғалары тең (бірдей ұзындықта) болатын көпбұрыш. Дұрыс көпбұрыштар дөңес, жұлдызды немесе қисық болуы мүмкін. Шексіздікке ұмтылғанда, қабырғаларының саны артатын дұрыс көпбұрыштардың тізбегі, егер периметрі немесе ауданы тұрақты болса, шеңберге, ал егер қабырғасының ұзындығы тұрақты болса, дұрыс апирогонға (іс жүзінде түзу сызыққа) жақындайды.
Жалпы қасиеттері
Бұл қасиеттер барлық қалыпты көпбұрыштарға, дөңес немесе жұлдызды болсын, қолданылады. Қалыпты n қабырғалы көпбұрыш n реттік айналу симметриясына ие.
Қалыпты көпбұрыштың барлық төбелері ортақ шеңберде (сырттай шеңберде) жатыр; яғни, олар бір шеңберде жатқан нүктелер. Демек, қалыпты көпбұрыш – циклдік көпбұрыш. Тең ұзындықтағы қабырғаларының қасиетімен бірге, бұл әрбір қалыпты көпбұрыштың әрбір қабырғасының ортасында жанасатын іштей шеңберге немесе инцирклге де ие екенін білдіреді. Осылайша, қалыпты көпбұрыш – жанама көпбұрыш. Қалыпты n қабырғалы көпбұрыш тек қана компас пен сызғыш көмегімен салынуы мүмкін, егер n-нің тақ жай сандары әртүрлі Фермат жай сандары болса. Салынатын көпбұрышқа қараңыз. Қалыпты n қабырғалы көпбұрыш оригами көмегімен салынуы мүмкін, егер және тек қана кейбір үшін , әрқайсысы әртүрлі Пирпонт жай саны болса.
Симметрия
n бүйірлі тұрақты көпбұрыштың симметрия тобы – Dn диэдрлік тобы (2n реттік): D2, D3, D4. Ол Cn-дегі айналымдардан және ортасынан өтетін n осьтердегі көрістің симметриясынан тұрады. Егер n жұп сан болса, онда осы осьтердің жартысы екі қарама-қарсы төбеден өтеді, ал қалған жартысы қарама-қарсы қабырғалардың ортасынан өтеді. Егер n тақ сан болса, онда барлық осьтер төбеден және қарама-қарсы қабырғаның ортасынан өтеді.
Тұрақты құрғақ көпбұрыш
Барлық тұрақты қарапайым көпбұрыштар (қарапайым көпбұрыш – ешқандай жерде өзімен-өзі қиылыспайтын) дөңес болады. Бірдей қабырға саны барлар да ұқсас болады. n қабырғалы дөңес тұрақты көпбұрыш оның Шлефли символымен {n} белгіленеді. n < 3 үшін екі дегенеративті жағдай бар:
Моногон {1} – қалыпты кеңістікте дегенеративті. (Көптеген мамандар моногонды нағыз көпбұрыш деп санамайды, себебі осыған байланысты, сондай-ақ төмендегі формулалар жұмыс істемейді және оның құрылымы ешқандай абстрактілі көпбұрышқа сәйкес келмейді.) Дигон {2} – «қос сызық сегменті», қалыпты кеңістікте дегенерацияланады. (Кейбір мамандар осы себепті дигонды нағыз көпбұрыш деп санамайды.) Кейбір жағдайларда қарастырылатын барлық көпбұрыштар тұрақты болады. Мұндай жағдайларда «тұрақты» префиксін жіберу қалыпты жағдай. Мысалы, біркелкі көпжақтың барлық жақтары тұрақты болуы керек және жақтары үшбұрыш, шаршы, бесбұрыш және т.б. деп ғана сипатталады.
Monogon {1} Degenerate in ordinary space. (Most authorities do not regard the monogon as a true polygon, partly because of this, and also because the formulae below do not work, and its structure is not that of any abstract polygon.) Digon {2}; a "double line segment" Degenerate in ordinary space. (Some authorities do not regard the digon as a true polygon because of this.) In certain contexts all the polygons considered will be regular. In such circumstances it is customary to drop the prefix regular. For instance, all the faces of uniform polyhedra must be regular and the faces will be described simply as triangle, square, pentagon, etc.
Диагональдар
n > 2 үшін диагональдар саны; яғни үшбұрыш үшін 0, төртбұрыш үшін 2, бесбұрыш үшін 5, алтыбұрыш үшін 9, ... Диагональдар көпбұрышты 1, 4, 11, 24 бөлікке бөледі. Бірлік радиусы бар шеңберге ішкі жазылған дұрыс n бұрыштың берілген төбесінен басқа барлық төбелерге (іргелес төбелер мен диагональдармен қоса) дейінгі қашықтықтардың көбейтіндісі n-ге тең.
For a regular n gon inscribed in a unit radius circle, the product of the distances from a given vertex to all other vertices (including adjacent vertices and vertices connected by a diagonal) equals n.
Тұрақты қисық көпбұрыш
Кубта 6 қызыл қабырғадан тұратын қисық дұрыс алтыбұрыш бар, олар кубтың диагональ осіне перпендикуляр екі жазықтықтың арасында зигзаг тәрізді өтеді. n антипризманың зигзаг тәрізді бүйір қабырғалары осы 17 қабырғалы антипризмада көрсетілгендей, дұрыс 2n қабырғалы қисық көпбұрышты көрсетеді. 3-өлшемді кеңістіктегі дұрыс қисық көпбұрыш, екі параллель жазықтықтың арасында зигзагтайтын, жазықтық емес жолдар ретінде көрінеді, олар біртекті антипризманың бүйір қабырғалары арқылы анықталады. Барлық қабырғалары мен ішкі бұрыштары тең. Платон денелері (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр және икосаэдр) 4, 6, 6, 10 және 10 санына тең Петри көпбұрыштарына ие, олар қызыл түспен көрсетілген. Жалпы алғанда, n өлшемді кеңістікте дұрыс қисық көпбұрыштарды анықтауға болады. Мысалдарға Петри көпбұрыштары, дұрыс политопты екіге бөлетін қабырғалардың көпбұрышты жолдары және ортогональды проекцияда дұрыс көпбұрыш ретінде көрінетін нәрселер жатады. Шексіздікке жақындағанда, дұрыс қисық көпбұрыштар қисық апирогонға айналады.
Тура көпбұрыштардың дуальділігі
Барлық дұрыс көпбұрыштар конгруенция бойынша өз-өзіне дуалды, ал тақ n үшін олар сәйкестік бойынша өз-өзіне дуалды. Сонымен қатар, дұрыс жұлдызды фигуралар (жинамалар), дұрыс көпбұрыштардан құралғандықтан, олар да өз-өзіне дуалды болып табылады.
Көпбұрыштың бетіндей тұрақты көпбұрыштар
Бірыңғай көпжақтардың беттері тұрақты көпбұрыштардан құралған, сондықтан кез келген екі төбе үшін бірін екіншісіне бейімдейтін изометрия болады (қайта тікбұрыштар үшін болатындай). Квазиреттік көпжақтар – әр төбесінде кезектесіп орналасқан екі түрлі беті бар бірыңғай көпжақтар. Реттік көпжақтар – беттерінің бір түрі ғана бар бірыңғай көпжақтар. Қалған (бірыңғай емес) дөңгелек көпжақтар, беттері тұрақты, Джонсон денелері деп аталады. Тұрақты үшбұрыштардан құралған көпжақтар дельтаэдрлер деп аталады.