Введение

Равноугольный и равносторонний многоугольник

В евклидовой геометрии правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны по длине. Правильные многоугольники могут быть выпуклыми, звёздчатыми или скошенными. В пределе последовательность правильных многоугольников с возрастающим числом сторон приближается к окружности, если фиксированы периметр или площадь, или к правильному апейрогону (фактически — прямой линии), если фиксирована длина стороны.

Общие свойства

Эти свойства применимы ко всем правильным многоугольникам, будь то выпуклые или звездчатые. Правильный n-угольник обладает вращательной симметрией порядка n.

Все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности (описанной окружности); то есть, они являются конциклическими точками. Следовательно, правильный многоугольник является вписанным многоугольником. Наряду со свойством равных сторон, это означает, что у каждого правильного многоугольника также существует вписанная окружность, касающаяся каждой стороны в её середине. Таким образом, правильный многоугольник является описанным многоугольником. Правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечётные простые делители n – различные числа Ферма. См. построимый многоугольник. Правильный n-угольник может быть построен методом оригами тогда и только тогда, когда для некоторых , где каждое отличное является числом Пьерпона.

Симметрия

Группа симметрии правильного n-угольника — диэдрическая группа Dn (порядка 2n): D2, D3, D4. Она состоит из вращений группы Cn вместе с симметриями отражения относительно n осей, проходящих через центр. Если n чётно, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина — через середины противоположных сторон. Если n нечётно, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Регулярные выпуклые многоугольники

Все правильные простые многоугольники (простой многоугольник – это многоугольник, не пересекающий сам себя) являются выпуклыми. Многоугольники с одинаковым числом сторон также подобны. Выпуклый правильный многоугольник с n сторонами обозначается символом Шлефли {n}. При n < 3 существуют два вырожденных случая:
Моногон {1} – вырождается в обычном пространстве. (Большинство специалистов не рассматривают моногон как настоящий многоугольник, частично из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не соответствует структуре какого-либо абстрактного многоугольника.) Дигон {2} – «двойной отрезок». Вырождается в обычном пространстве. (Некоторые специалисты не считают дигон настоящим многоугольником по этой причине.) В определенных контекстах все рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких случаях принято опускать приставку «правильный». Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, и грани будут описываться просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Диагональ

Для n > 2 число диагоналей равно ; то есть 0, 2, 5, 9, … для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника. Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24 части. Для правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от заданной вершины до всех остальных вершин (включая смежные вершины и вершины, соединенные диагоналями) равно n.

Многоугольники с правильным уклоном

Куб содержит косой правильный шестиугольник, видимый как 6 красных ребер, зигзагообразно соединяющих две плоскости, перпендикулярные диагональной оси куба. Зигзагообразные боковые ребра n-угольной антипризмы представляют собой правильный косой 2n-угольник, как показано на этой 17-угольной антипризме. Правильный косой многоугольник в трехмерном пространстве можно рассматривать как не лежащие в одной плоскости пути, зигзагообразно соединяющие две параллельные плоскости, определяемые как боковые ребра правильной антипризмы. Все ребра и внутренние углы равны. Платоновы тела (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) имеют полигоны Петри, показанные здесь красным цветом, с количеством сторон 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно. В более общем случае правильные косые многоугольники могут быть определены в n-мерном пространстве. Примеры включают полигоны Петри – ломаные, состоящие из ребер, делящих правильный политоп на две половины, и представляющие собой правильный многоугольник в ортогональной проекции. В бесконечном пределе правильные косые многоугольники превращаются в косые апейрогоны.

Дуальность регулярных многоугольников

Все правильные многоугольники самодвойственны относительно конгруэнтности, а при нечетном n – самодвойственны относительно тождественного преобразования. Кроме того, правильные звездчатые фигуры (комбинации), составленные из правильных многоугольников, также являются самодвойственными.

Регулярные многоугольники как лица многогранников

У однородного многогранника грани — правильные многоугольники, и для любых двух вершин существует изометрия, переводящая одну в другую (как и для правильного многоугольника). Квазирегулярный многогранник — это однородный многогранник, имеющий только два типа граней, чередующихся вокруг каждой вершины. Регулярный многогранник — это однородный многогранник, имеющий только один тип граней. Остальные (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как многогранники Джонсона. Многогранник, у которого грани — правильные треугольники, называется дельтаэдром.