Жақындық дәлдігінің шамалары

Кіріспе

Шамалаудың дәлдігін сипаттаушы өрнектер

Ғылымда, инженерияда және басқа да сандық салаларда, шамалау дәлдігі шамалаудың қаншалықты дұрыс екенін көрсететін ресми немесе бейресми өрнектерді білдіреді.

Ғылым мен техникада қолдану

Формальды өрнектерде сөз тіркесі алдында қолданылатын реттік сан, жуықтауда қолданылатын қатардың кеңеюіндегі ең жоғары дәрежелі қуатты көрсетеді. Нөлдік, бірінші, екінші және т.б. тіркестері белгілі бір сөз тіркестері ретінде қолданылады. Нөлдік дәрежедегі жуықтау деген сөз де жиі қолданылады. Кардинал сандар кейде нөлдік дәрежедегі жуықтау, бірінші дәрежедегі жуықтау сияқты өрнектерде қолданылады. Сөз тіркесіндегі реттің жіберілуі, формальды мағынасы азырақ сөз тіркестеріне алып келеді. Бірінші жуықтау немесе бірінші дәрежедегі жуықтау сияқты тіркестер шаманың шамамен алынған мәнін білдіруі мүмкін. Нөлдік дәрежедегі жуықтау дегеніміз, ойдан шамалау. Жуықтау дәрежесі деген сөз кейде маңызды цифрлардың санын, дәлдіктің арту ретін немесе шаманың ретін білдіру үшін бейресми түрде қолданылады. Дегенмен, бұл шатасуға әкелуі мүмкін, себебі бұл формальды өрнектер туындылардың дәрежесін тікелей көрсетпейді. Қатардың кеңеюін таңдау, құбылысты зерттеуге қолданылатын ғылыми әдіске байланысты. Жуықтау дәрежесінің белгілі бір аралықта функцияның прогрессивті түрде жақсарылатын жуықтамаларын көрсетуі күтіледі. Жуықтау дәрежесін таңдау зерттеу мақсатына байланысты. Жаңа қолданыс жасау үшін белгілі аналитикалық өрнекті қарапайымдауға немесе керісінше, деректер нүктелеріне қисық сызуға тырысуға болады. Жоғары дәрежедегі жуықтау әрқашан төменгі дәрежедегіден тиімді болмайды. Мысалы, егер шама бүкіл аралықта тұрақты болса, оны екінші дәрежелі Тейлор қатарымен жуықтау дәлдікті арттырмайды. Жұмсақ функция жағдайында, n-ші дәрежедегі жуықтау – бұл n-дәрежелі полином, ол Тейлор қатарын осы дәрежеге дейін қысқарту арқылы алынады. Жуықтау дәрежесін ресми түрде қолдану кеңеюде қолданылатын қатардың кейбір мүшелерін (әдетте жоғары дәрежелі мүшелерді) жіберуге сәйкес келеді. Бұл дәлдікке әсер етеді. Қателік әдетте аралық ішінде өзгереді. Осылайша, жоғарыда аталған мағынада ресми түрде қолданылатын нөл, бірінші, екінші және т.б. сандары, пайыздық қателік туралы немесе маңызды цифрлар туралы тікелей ақпарат бермейді.

In formal expressions, the ordinal number used before the word order refers to the highest power in the series expansion used in the approximation. The expressions: a zeroth order approximation, a first order approximation, a second order approximation, and so forth are used as fixed phrases. The expression a zero order approximation is also common. Cardinal numerals are occasionally used in expressions like an order zero approximation, an order one approximation, etc. The omission of the word order leads to phrases that have less formal meaning. Phrases like first approximation or to a first approximation may refer to a roughly approximate value of a quantity. The phrase to a zeroth approximation indicates a wild guess. The expression order of approximation is sometimes informally used to mean the number of significant figures, in increasing order of accuracy, or to the order of magnitude. However, this may be confusing, as these formal expressions do not directly refer to the order of derivatives. The choice of series expansion depends on the scientific method used to investigate a phenomenon. The expression order of approximation is expected to indicate progressively more refined approximations of a function in a specified interval. The choice of order of approximation depends on the research purpose. One may wish to simplify a known analytic expression to devise a new application or, on the contrary, try to fit a curve to data points. Higher order of approximation is not always more useful than the lower one. For example, if a quantity is constant within the whole interval, approximating it with a second order Taylor series will not increase the accuracy. In the case of a smooth function, the nth order approximation is a polynomial of degree n, which is obtained by truncating the Taylor series to this degree. The formal usage of order of approximation corresponds to the omission of some terms of the series used in the expansion (usually the higher terms). This affects accuracy. The error usually varies within the interval. Thus the numbers zeroth, first, second etc. used formally in the above meaning do not directly give information about percent error or significant figures.

Бірінші реттік

Бірінші реттік жуықтау – ғалымдардың сәл жақсырақ жауап алу үшін қолданатын термині. Кейбір қарапайымдау шарттар қолданылады, ал сан қажет болғанда, әдетте бір ғана маңызды цифры бар жауап беріледі ("қалада 4 немесе төрт мың тұрғын бар"). Бірінші реттік жуықтауда, кем дегенде берілген бір сан нақты болады. Жоғарыдағы нөлдік реттік мысалда "бірнеше" деген ұғым келтірілген, ал бірінші реттік мысалда "4" саны берілген. Функцияның бірінші реттік жуықтауы (яғни, бірнеше дерек нүктесіне сәйкес келетін формуланы математикалық тұрғыдан анықтау) – бұл еңісі бар түзу сызық, сызықтық жуықтау: 1-дәрежелі полином. Мысалы: деректерге жуықтап сәйкес келеді. Бұл мысалда нөлдік реттік жуықтау, бірінші реттік жуықтаумен бірдей, бірақ оған жету әдісі өзгеше; яғни, қарым-қатынастың кездейсоқ табуы "білімді болжамға" қарағанда жақсы нәтиже берді.

Екінші реттік

Екінші реттік жуықтау – ғалымдардың жақсы сапалы жауап алу үшін қолданатын термині. Аз ғана қарапайымдау шарттар қолданылады, ал сан қажет болғанда, екі немесе одан көп маңызды цифры бар жауап беріледі ("қалада 3.9, немесе отыз тоғыз жүз тұрғын бар"). Математикалық қаржыда екінші реттік жуықтаулар дөңгелектеу түзетулері деп аталады. Жоғарыдағы мысалдарда көрсетілгендей, "2-рет" термині дәл емес шама үшін берілген нақты сандардың санын көрсетеді. Осы жағдайда, "3" және "9" сандары бірінші реттік шамадан берілген "4" немесе жоғарыдағы мысалдарда көрсетілген нөлдік реттік шамадан берілген "бірнеше" сандардың орнына, екі дәлдік деңгейі ретінде беріледі. Функцияның екінші реттік жуықтауы (яғни, бірнеше дерек нүктесіне сәйкес келетін формуланы математикалық тұрғыдан анықтау) – квадраттық полином, геометриялық тұрғыдан парабола: 2-дәрежелі полином. Мысалы: деректерге жуықтап сәйкес келеді. Бұл жағдайда, үш дерек нүктесі болғандықтан, парабола берілген деректерге толық сәйкес келеді. Дегенмен, аралықтың көп бөлігі үшін деректер жеткіліксіз, сондықтан сақтық таныту қажет ("нөлдік реттік" бөлімін қараңыз).

Жоғары деңгейдегі

Жоғары дәрежелі жуықтаулар бар және олар шындықты жақсырақ түсіну және сипаттау үшін өте маңызды, бірақ олар көбінесе санмен белгіленбейді. Жоғарыда айтылғандай, төрт дерек нүктесіне дәл сәйкес келу үшін үшінші дәрежелі жуықтау қажет болады, және осылай әрі қарай. Полиномдық интерполяцияға қараңыз.

Әдеттегі қолданысы

Бұл терминдерді ғалымдар мен инженерлер маңызды емес деп есептеліп, назардан тыс қалдырылатын құбылыстарды сипаттау үшін де қолданады (мысалы: "Әрине, Жердің айналысы біздің тәжірибемізге әсер етеді, бірақ бұл өте жоғары реттік әсер, сондықтан оны өлшеу мүмкін емес." немесе "Осы жылдамдықтарда салыстырмалылық – төртінші реттік әсер, біз оны жылдық калибрлеу кезінде ғана ескереміз.") Мұндай қолданыста, жуықтаудың реті дәл болмайды, бірақ оның маңыздылығын көрсету үшін пайдаланылады; сан неғұрлым жоғары болса, әсер соғұрлым аз маңызды. Осы контексте терминология, жалпы мәселеге қарағанда өте шағын екені болжамдалатын әсерді ескеру үшін қажетті жоғары дәлдікті көрсетеді. Рет неғұрлым жоғары болса, әсерді өлшеу үшін соғұрлым жоғары дәлдік қажет, демек, әсердің жалпы өлшемге қарағанда кішкентайлығын білдіреді.