Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Выражения для оценки точности приближения
Expressions for approximation accuracy
В науке, технике и других количественных дисциплинах порядок приближения описывает формальные или неформальные способы выражения точности приближения.
In science, engineering, and other quantitative disciplines, order of approximation refers to formal or informal expressions for how accurate an approximation is.
Использование в науке и технике
В формальных выражениях порядковый номер, используемый перед словом "порядок", относится к старшей степени в разложении в ряд, используемом при приближении. Выражения: приближение нулевого порядка, приближение первого порядка, приближение второго порядка и так далее используются как устоявшиеся фразы. Также распространено выражение приближение порядка ноль. Кардинальные числительные иногда используются в выражениях, таких как приближение порядка ноль, приближение порядка один и т. д. Пропуск слова "порядок" приводит к фразам, имеющим менее формальное значение. Фразы вроде "первое приближение" или "приближение до первого порядка" могут относиться к приблизительному значению величины. Фраза "приближение нулевого порядка" указывает на грубую оценку. Выражение "порядок приближения" иногда в неформальном контексте используется для обозначения количества значащих цифр, в порядке возрастания точности или порядка величины. Однако это может ввести в заблуждение, поскольку эти формальные выражения не относятся напрямую к порядку производных. Выбор разложения в ряд зависит от научного метода, используемого для исследования явления. Ожидается, что выражение "порядок приближения" будет указывать на последовательно более точные приближения функции на заданном интервале. Выбор порядка приближения зависит от цели исследования. Можно упростить известное аналитическое выражение для разработки нового применения или, наоборот, попытаться подогнать кривую к экспериментальным данным. Приближение более высокого порядка не всегда полезнее приближения более низкого порядка. Например, если величина постоянна на всем интервале, приближение ее с помощью разложения Тейлора второго порядка не повысит точность. В случае гладкой функции приближение n-го порядка представляет собой многочлен степени n, который получается путем усечения ряда Тейлора до этой степени. Формальное использование "порядка приближения" соответствует отбрасыванию некоторых членов ряда, используемого в разложении (обычно членов более высоких степеней). Это влияет на точность. Погрешность обычно изменяется в пределах интервала. Таким образом, числа ноль, один, два и т. д., используемые формально в вышеуказанном значении, не дают прямой информации о процентной погрешности или количестве значащих цифр.
In formal expressions, the ordinal number used before the word order refers to the highest power in the series expansion used in the approximation. The expressions: a zeroth order approximation, a first order approximation, a second order approximation, and so forth are used as fixed phrases. The expression a zero order approximation is also common. Cardinal numerals are occasionally used in expressions like an order zero approximation, an order one approximation, etc. The omission of the word order leads to phrases that have less formal meaning. Phrases like first approximation or to a first approximation may refer to a roughly approximate value of a quantity. The phrase to a zeroth approximation indicates a wild guess. The expression order of approximation is sometimes informally used to mean the number of significant figures, in increasing order of accuracy, or to the order of magnitude. However, this may be confusing, as these formal expressions do not directly refer to the order of derivatives. The choice of series expansion depends on the scientific method used to investigate a phenomenon. The expression order of approximation is expected to indicate progressively more refined approximations of a function in a specified interval. The choice of order of approximation depends on the research purpose. One may wish to simplify a known analytic expression to devise a new application or, on the contrary, try to fit a curve to data points. Higher order of approximation is not always more useful than the lower one. For example, if a quantity is constant within the whole interval, approximating it with a second order Taylor series will not increase the accuracy. In the case of a smooth function, the nth order approximation is a polynomial of degree n, which is obtained by truncating the Taylor series to this degree. The formal usage of order of approximation corresponds to the omission of some terms of the series used in the expansion (usually the higher terms). This affects accuracy. The error usually varies within the interval. Thus the numbers zeroth, first, second etc. used formally in the above meaning do not directly give information about percent error or significant figures.
Первый порядок
Приближение первого порядка — это термин, который ученые используют для обозначения немного более точного ответа. Делаются некоторые упрощающие предположения, и когда требуется число, часто приводится ответ, содержащий только одну значащую цифру («в городе проживает 4 или четыре тысячи человек»). В случае приближения первого порядка, по крайней мере одно из приведенных чисел является точным. В примере нулевого порядка выше использовалось количество «несколько», а в примере первого порядка — число «4». Приближение первого порядка функции (то есть математическое определение формулы для аппроксимации нескольких точек данных) представляет собой линейную аппроксимацию — прямую линию с наклоном, то есть многочлен первой степени. Например:
First order approximation is the term scientists use for a slightly better answer. Some simplifying assumptions are made, and when a number is needed, an answer with only one significant figure is often given ("the town has 4, or four thousand, residents"). In the case of a first order approximation, at least one number given is exact. In the zeroth order example above, the quantity "a few" was given, but in the first order example, the number "4" is given. A first order approximation of a function (that is, mathematically determining a formula to fit multiple data points) will be a linear approximation, straight line with a slope: a polynomial of degree 1. For example:
является приблизительной аппроксимацией данных. В этом примере нулевое приближение совпадает с приближением первого порядка, но способ его получения отличается: случайная попытка установить взаимосвязь оказалась столь же хорошей, как и «обоснованное предположение».
is an approximate fit to the data. In this example there is a zeroth order approximation that is the same as the first order, but the method of getting there is different; i. e. a wild stab in the dark at a relationship happened to be as good as an "educated guess".
Второго порядка
Приближение второго порядка – термин, используемый учеными для получения ответа приемлемого качества. Делается немного упрощающих предположений, и когда требуется число, обычно приводится ответ с двумя или более значащими цифрами («в городе 3,9 или тридцать девятьсот жителей»). В математических финансах приближения второго порядка известны как поправки на выпуклость. Как и в приведенных выше примерах, термин «второго порядка» относится к количеству точных цифр, указанных для неточной величины. В данном случае «3» и «9» указываются как два последовательных уровня точности, в отличие от простого «4» при первом порядке или «несколько» при нулевом порядке, как в приведенных выше примерах. Приближение второго порядка функции (то есть математическое определение формулы для аппроксимации нескольких точек данных) будет квадратичным полиномом, геометрически – параболой: полиномом второй степени. Например:
Second order approximation is the term scientists use for a decent quality answer. Few simplifying assumptions are made, and when a number is needed, an answer with two or more significant figures ("the town has 3.9, or thirty nine hundred, residents") is generally given. In mathematical finance, second order approximations are known as convexity corrections. As in the examples above, the term "2nd order" refers to the number of exact numerals given for the imprecise quantity. In this case, "3" and "9" are given as the two successive levels of precision, instead of simply the "4" from the first order, or "a few" from the zeroth order found in the examples above. A second order approximation of a function (that is, mathematically determining a formula to fit multiple data points) will be a quadratic polynomial, geometrically, a parabola: a polynomial of degree 2. For example:
является приближенной аппроксимацией данных. В этом случае, при наличии всего трех точек данных, парабола точно соответствует предоставленным данным. Однако данные для большей части интервала недоступны, что требует осторожности (см. «нулевой порядок»).
is an approximate fit to the data. In this case, with only three data points, a parabola is an exact fit based on the data provided. However, the data points for most of the interval are not available, which advises caution (see "zeroth order").
Высший класс
Хотя существуют приближения более высоких порядков, которые важны для более глубокого понимания и описания реальности, они обычно не нумеруются. Продолжая вышесказанное, для точного соответствия четырем точкам данных потребуется приближение третьего порядка, и так далее. См. полиномиальную интерполяцию.
While higher order approximations exist and are crucial to a better understanding and description of reality, they are not typically referred to by number. Continuing the above, a third order approximation would be required to perfectly fit four data points, and so on. See polynomial interpolation.
Распространенное употребление
Эти термины также используются учеными и инженерами в неформальном общении для описания явлений, которые можно пренебречь как незначительные (например, "Конечно, вращение Земли влияет на наш эксперимент, но это эффект настолько высокого порядка, что мы не сможем его измерить" или "При таких скоростях, релятивистские эффекты являются эффектами четвертого порядка, о которых мы задумываемся только во время ежегодной калибровки"). В этом контексте порядок приближения не является строго определенным, но используется для подчеркивания малости эффекта; чем выше число, тем менее значим эффект. Терминология в данном случае отражает высокую степень точности, необходимую для учета эффекта, который считается очень малым по сравнению с рассматриваемой задачей. Чем выше порядок эффекта, тем выше точность требуется для его измерения, и, следовательно, тем меньше эффект по сравнению с общим измерением.
These terms are also used colloquially by scientists and engineers to describe phenomena that can be neglected as not significant (e. g. "Of course the rotation of the Earth affects our experiment, but it's such a high order effect that we wouldn't be able to measure it." or "At these velocities, relativity is a fourth order effect that we only worry about at the annual calibration.") In this usage, the ordinality of the approximation is not exact, but is used to emphasize its insignificance; the higher the number used, the less important the effect. The terminology, in this context, represents a high level of precision required to account for an effect which is inferred to be very small when compared to the overall subject matter. The higher the order, the more precision is required to measure the effect, and therefore the smallness of the effect in comparison to the overall measurement.