Кіріспе

Геометрияда диагональ — көпбұрыш немесе көпжақтың екі қатар тұрған емес төбелерін қосатын сызық сегменті. Яғни, бұл төбелер бір қабырғада жатпайды. Көбінесе, кез келген еңкейген сызық диагональ деп аталады. "Диагональ" сөзі ежелгі грек тіліндегі "διαγώνιος" (диагониос) сөзінен шыққан, мағынасы "бұрыштан бұрышқа" (διά – "арқылы", γωνία – "бұрыш") және "буынға" байланысты. Бұл терминді Страбон мен Евклид ромбтың немесе тікбұрышты параллелепипедтің екі төбесін қосатын сызықты атау үшін қолданған, кейіннен латын тіліне "diagonus" ("еңкейген сызық") ретінде аударылған. Матрицалық алгебрада квадрат матрицаның диагоналі – жоғарғы сол жақ бұрышынан төменгі оң жақ бұрышына дейінгі сызықтағы элементтер. Сондай-ақ, математикалық емес мағынада да көптеген қолданыстары бар.

Математикалық емес пайдалану

Инженерлік саласында диагональды тіреу – тікбұрышты құрылымды (мысалы, мұражайлық жабық конструкцияны) оған бағытталған күшті күштерге қарсы тұру үшін қолданылатын қабырға. Диагональ деп аталғанымен, практикалық мәселелерге байланысты диагональды тіреулер көбінесе тікбұрыштың бұрыштарына тікелей қосылмайды. Диагональды қысқыш – сымды кесу үшін қолданылатын, қысқыш жақтарының кесу жиектері біліктің бұрышымен немесе "диагональ бойынша" қиылысатын қысқыш. Диагональды байлау – бұл қамыстарды немесе тіреулерді бірге байлау үшін қолданылатын байлау түрі, ол байлаулар тіреулермен бұрыштасып кесіседі. Футболда диагональдық бақылау жүйесі – төрешілер мен төрешінің көмекшілері алаңның төрт бөлігінің бірінде орналасуы үшін қолданатын әдіс.

Диагональдардың қиылысулары

Егер дөңгелек көпбұрыштың үш диагоналі ішкі нүктеде бірдей қиылыспаса, онда диагональдардың ішкі қиылысуларының саны мына формуламен беріледі. Бұл, мысалы, қабырғаларының саны тақ болатын кез келген дұрыс көпбұрыш үшін де орындалады. Формуланың себебі – әрбір қиылысу екі қиылысатын диагональдің төрт ұшымен толық анықталады: демек, қиылысулардың саны – n төбесінің төрттен бір комбинациясының саны.

Көпбұрыштар

Полиэдр (үш өлшемді кеңістіктегі, екі өлшемді жақтармен шектелген қатты дене) екі түрлі диагональға ие болуы мүмкін: жақтардың диагональдары, бір жақтың қабырғаларымен жалғасқан емес төбелерін қосады; және кеңістіктік диагональдар, полиэдрдің ішінде толығымен орналасқан (төбелердегі соңғы нүктелерден басқа).

Матрицалар

Квадраттық матрица үшін диагональ (немесе негізгі диагональ) – жоғарғы сол жақ бұрыштан төменгі оң жақ бұрышына дейін жүретін элементтердің диагональ сызығы. бағана индексі және қатар индексі арқылы белгіленетін матрица үшін, бұл элементтер болады. Мысалы, бірлік матрицасы негізгі диагональде 1-ге және қалғандарында 0-ге тең элементтері бар деп анықталады:

Матрицаның ізi – диагональдық элементтердің қосындысы. Жоғарғы оң жақтан төменгі сол жаққа дейінгі диагональ кейде қосымша диагональ немесе антидиагональ деп аталады. Диагональдан тыс элементтер – негізгі диагональге жатпайтын элементтер. Диагональдық матрица – диагональдан тыс барлық элементтері нөлге тең матрица. Супердиагональдық элемент – негізгі диагональдан тікелей жоғары және оң жақта орналасқан элемент. Диагональдық элементтер , супердиагональдық элементтер болады. Мысалы, келесі матрицаның нөлдік емес элементтері супердиагональде орналасқан:

Сонымен қатар, субдиагональдық элемент – негізгі диагональдан тікелей төмен және сол жақта орналасқан элемент, яғни . Жалпы матрицалық диагональдарды негізгі диагональға қатысты өлшенген индекспен белгілеуге болады: негізгі диагональде ; супердиагональде ; субдиагональде ; және жалпы алғанда, -диагональде элементтері болады. Жолақты матрица – нөлдік емес элементтері диагональдік жолаққа шектелген матрица. Тридиагональды матрицада тек негізгі диагональ, супердиагональ және субдиагональ элементтері нөлдік емес болады.

Геометрия

Анология бойынша, кез келген X жиынтығының X×X карталық көбейтіндісінің (x,x) түріндегі барлық жұптардан тұратын ішкі жиыны диагональ деп аталады, және ол X жиынындағы теңдік қатынасының графигі немесе, балама ретінде, X-тен X-ке дейінгі сәйкестік функциясының графигі болып табылады. Бұл геометрияда маңызды рөл атқарады; мысалы, X-тен өзіне бейімделген F функциясының тұрақты нүктелерін F графигін диагональмен қиыстыру арқылы табуға болады. Геометриялық зерттеулерде диагональді өзімен қиыстыру идеясы тікелей емес, бірақ эквиваленттік кластың ішінде оны өзгерту арқылы қолданылады. Бұл Эйлер сипаттамасымен және векторлық өрістердің нөлдерімен тығыз байланысты. Мысалы, S1 шеңберінің Бетти сандары 1, 1, 0, 0, 0, және демек, Эйлер сипаттамасы 0-ге тең. Бұны геометриялық тұрғыдан көрсету үшін екі тордың S1xS1 диагоналына қарап, оның (θ, θ) нүктесінен (θ, θ + ε) нүктесіне жасалатын шағын қозғалыс арқылы өзінен алшақтайтынын байқауға болады. Жалпы, функция графигінің диагональмен қиылысу саны Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасы арқылы гомология көмегімен есептелуі мүмкін; ал диагональдің өзімен қиылысуы – сәйкестік функциясының ерекше жағдайы болып табылады.