Введение
В геометрии диагональю называется отрезок прямой, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника, которые не лежат на одной стороне. В неформальном смысле любой наклонный отрезок называют диагональю. Слово «диагональ» происходит от древнегреческого διαγώνιος (diagonios) — «от угла к углу» (от διά (dia) — «через», «сквозь» и γωνία (gonia) — «угол», связанного с γόνυ (gony) — «колено»); оно использовалось как Страбоном, так и Евклидом для обозначения линии, соединяющей две вершины ромба или кубоида, а затем было заимствовано в латынь как diagonus («наклонная линия»). В матричной алгебре диагональю квадратной матрицы называется множество элементов, расположенных на линии от верхнего левого угла к нижнему правому углу. Существует также множество других применений, не связанных с математикой.
In geometry, a diagonal is a line segment joining two vertices of a polygon or polyhedron, when those vertices are not on the same edge. Informally, any sloping line is called diagonal. The word diagonal derives from the ancient Greek διαγώνιος diagonios, "from angle to angle" (from διά dia , "through", "across" and γωνία gonia, "angle", related to gony "knee"); it was used by both Strabo and Euclid to refer to a line connecting two vertices of a rhombus or cuboid, and later adopted into Latin as diagonus ("slanting line"). In matrix algebra, the diagonal of a square matrix consists of the entries on the line from the top left corner to the bottom right corner. There are also many other non mathematical uses.
Нематематическое использование
В инженерной практике диагональная распорка — это балка, используемая для усиления прямоугольной конструкции (например, строительных лесов) для противостояния сильным воздействующим силам. Несмотря на название «диагональная», из практических соображений диагональные распорки часто не прикрепляются к углам прямоугольника. Диагональные плоскогубцы — это кусачки, для которых режущие кромки губок пересекают соединительный заклеп под углом или «по диагонали», отсюда и название. Диагональная обвязка — это тип обвязки, используемый для связывания стоек или шестов, накладываемый таким образом, чтобы обвязки пересекали стойки под углом. В футболе диагональная система контроля — это метод, используемый судьями и помощниками судьи для позиционирования в одном из четырех квадрантов поля.
Пересечения диагоналей
Если никакие три диагонали выпуклого многоугольника не пересекаются в одной точке внутри многоугольника, то число внутренних точек пересечения диагоналей равно. Это справедливо, например, для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. Эта формула вытекает из того, что каждое пересечение однозначно определяется четырьмя вершинами двух пересекающихся диагоналей: таким образом, число пересечений равно числу сочетаний из n вершин по четыре.
Полиэдры
Полиэдр (твердое тело в трехмерном пространстве, ограниченное двумерными гранями) может иметь два различных типа диагоналей: диагонали граней, лежащие на гранях и соединяющие несмежные вершины на одной и той же грани; и пространственные диагонали, полностью расположенные внутри полиэдра (за исключением конечных точек, находящихся на вершинах).
Матрицы
Для квадратной матрицы диагональ (или главная диагональ) — это диагональная линия элементов, идущая от верхнего левого угла к нижнему правому углу. Для матрицы с индексом строки, обозначенным как *i*, и индексом столбца, обозначенным как *j*, это будут элементы с *i* = *j*. Например, единичную матрицу можно определить как матрицу с единицами на главной диагонали и нулями в остальных позициях:
The trace of a matrix is the sum of the diagonal elements. The top right to bottom left diagonal is sometimes described as the minor diagonal or antidiagonal. The off diagonal entries are those not on the main diagonal. A diagonal matrix is one whose off diagonal entries are all zero. A superdiagonal entry is one that is directly above and to the right of the main diagonal. Just as diagonal entries are those with , the superdiagonal entries are those with For example, the non zero entries of the following matrix all lie in the superdiagonal:
Likewise, a subdiagonal entry is one that is directly below and to the left of the main diagonal, that is, an entry with General matrix diagonals can be specified by an index measured relative to the main diagonal: the main diagonal has ; the superdiagonal has ; the subdiagonal has ; and in general, the diagonal consists of the entries with
A banded matrix is one for which its non zero elements are restricted to a diagonal band. A tridiagonal matrix has only the main diagonal, superdiagonal, and subdiagonal entries as non zero.
След матрицы — это сумма элементов главной диагонали. Диагональ, идущая от верхнего правого угла к нижнему левому, иногда называют побочной диагональю или антидиагональю. Элементы, не лежащие на главной диагонали, называются внедиагональными. Диагональная матрица — это матрица, у которой все внедиагональные элементы равны нулю. Сверхдиагональный элемент — это элемент, расположенный непосредственно над и справа от главной диагонали. Так же, как диагональные элементы имеют *i* = *j*, сверхдиагональные элементы имеют *i* = *j* + 1. Например, все ненулевые элементы следующей матрицы лежат на сверхдиагонали:
The trace of a matrix is the sum of the diagonal elements. The top right to bottom left diagonal is sometimes described as the minor diagonal or antidiagonal. The off diagonal entries are those not on the main diagonal. A diagonal matrix is one whose off diagonal entries are all zero. A superdiagonal entry is one that is directly above and to the right of the main diagonal. Just as diagonal entries are those with , the superdiagonal entries are those with For example, the non zero entries of the following matrix all lie in the superdiagonal:
Likewise, a subdiagonal entry is one that is directly below and to the left of the main diagonal, that is, an entry with General matrix diagonals can be specified by an index measured relative to the main diagonal: the main diagonal has ; the superdiagonal has ; the subdiagonal has ; and in general, the diagonal consists of the entries with
A banded matrix is one for which its non zero elements are restricted to a diagonal band. A tridiagonal matrix has only the main diagonal, superdiagonal, and subdiagonal entries as non zero.
Аналогично, поддиагональный элемент — это элемент, расположенный непосредственно под и слева от главной диагонали, то есть элемент с *i* = *j* - 1. Общие диагонали матрицы могут быть заданы индексом *k*, отсчитываемым относительно главной диагонали: главная диагональ имеет *k* = 0; сверхдиагональ имеет *k* = 1; поддиагональ имеет *k* = -1; и в общем случае, диагональ *k* состоит из элементов с *i* - *j* = *k*.
The trace of a matrix is the sum of the diagonal elements. The top right to bottom left diagonal is sometimes described as the minor diagonal or antidiagonal. The off diagonal entries are those not on the main diagonal. A diagonal matrix is one whose off diagonal entries are all zero. A superdiagonal entry is one that is directly above and to the right of the main diagonal. Just as diagonal entries are those with , the superdiagonal entries are those with For example, the non zero entries of the following matrix all lie in the superdiagonal:
Likewise, a subdiagonal entry is one that is directly below and to the left of the main diagonal, that is, an entry with General matrix diagonals can be specified by an index measured relative to the main diagonal: the main diagonal has ; the superdiagonal has ; the subdiagonal has ; and in general, the diagonal consists of the entries with
A banded matrix is one for which its non zero elements are restricted to a diagonal band. A tridiagonal matrix has only the main diagonal, superdiagonal, and subdiagonal entries as non zero.
Полосатая матрица — это матрица, у которой ненулевые элементы ограничены диагональной полосой. Тридиагональная матрица имеет ненулевыми только элементы главной диагонали, сверхдиагонали и поддиагонали.
The trace of a matrix is the sum of the diagonal elements. The top right to bottom left diagonal is sometimes described as the minor diagonal or antidiagonal. The off diagonal entries are those not on the main diagonal. A diagonal matrix is one whose off diagonal entries are all zero. A superdiagonal entry is one that is directly above and to the right of the main diagonal. Just as diagonal entries are those with , the superdiagonal entries are those with For example, the non zero entries of the following matrix all lie in the superdiagonal:
Likewise, a subdiagonal entry is one that is directly below and to the left of the main diagonal, that is, an entry with General matrix diagonals can be specified by an index measured relative to the main diagonal: the main diagonal has ; the superdiagonal has ; the subdiagonal has ; and in general, the diagonal consists of the entries with
A banded matrix is one for which its non zero elements are restricted to a diagonal band. A tridiagonal matrix has only the main diagonal, superdiagonal, and subdiagonal entries as non zero.
Геометрия
По аналогии, подмножество декартова произведения X×X любого множества X с самим собой, состоящее из всех пар (x,x), называется диагональю и является графиком отношения равенства на X, или, что эквивалентно, графиком тождественного отображения из X в X. Это играет важную роль в геометрии; например, неподвижные точки отображения F из X в себя можно получить, находя пересечение графика F с диагональю. В геометрических исследованиях идея пересечения диагонали с самой собой встречается часто, но не напрямую, а посредством небольшого сдвига внутри класса эквивалентности. Это глубоко связано с характеристикой Эйлера и нулями векторных полей. Например, окружность S¹ имеет числа Бетти 1, 1, 0, 0, 0, и, следовательно, характеристику Эйлера 0. Геометрически это можно выразить, рассматривая диагональ на двумерномторе S¹×S¹ и отмечая, что она может отклониться от себя при небольшом изменении (θ, θ) в (θ, θ + ε). В общем случае, число пересечений графика функции с диагональю можно вычислить с помощью гомологий, используя теорему Лефшеца о неподвижных точках; самопересечение диагонали является частным случаем тождественного отображения.