Кіріспе
Турнирлерді жеңу мүмкіндігін көрсететін сан, терминнің басқа қолданыстары. Кейбір спорт түрлерінде "сиқырлы сан" – бұл жетекші команданың дивизиондық титулға және/немесе плей-оффқа қатысуға қаншалықты жақын екенін көрсететін сан. Ол жетекші команданың қосымша жеңістерінің немесе қарсыластар командаларының қосымша жеңілістерінің (немесе олардың кез келген комбинациясының) жалпы сомасын білдіреді, содан кейін қарсыластар командалары үшін титулды ұтып алу математикалық тұрғыдан мүмкін емес болады, егер біліктіліктен айыру, жарыстан шығару немесе ойындарды кері қайтарып алу сияқты өте сирек жағдайлар болмаса. "Сиқырлы санның" кеңінен қолданылуы көбінесе нәтижесі жеңіс пен жеңіліс ретінде ғана есептелетін спорт түрлерімен шектеледі. "Сиқырлы сан" тең нәтижелер мен қосымша уақыттың жеңілісі сияқты жағдайларда командаларға жартылай жеңіс үшін ұпай берілетін спорт түрлерінде әдетте қолданылмайды. Оны "жақсылық саны" деп те атауға болады. Жетекші командадан басқа командалардың "жою саны" (немесе "трагикалық саны") болады (көбінесе E# деп қысқартылады). Бұл сан жетекші команданың жеңістері немесе артта қалған команданың жеңілістерінің санын білдіреді, ол артта қалған команданы жарыстан шығарады. Бірінші орында емес командалар арасындағы ең үлкен жою саны – жетекші команданың "сиқырлы саны". "Сиқырлы сан" G + 1 − WA − LB формуласымен есептеледі, мұнда: G – маусымдағы ойындардың жалпы саны, WA – A командасының маусымдағы жеңістерінің саны, LB – B командасының маусымдағы жеңілістерінің саны. Мысалы, Үлкен бейсбол лигасының бір маусымында 162 ойын бар. Егер маусым соңында дивизиондық турнир кестесінің жоғарғы жағы келесідей болса: Команда Жеңіс Жеңіліс A 96 58 B 93 62, онда B командасын жою үшін "сиқырлы сан" 162 + 1 − 96 − 62 = 5 болады. A командасының жеңістері мен B командасының жеңілістерінің кез келген комбинациясы, егер олардың жалпы сомасы 5-ке тең болса, B командасының дивизиондық титулды жеңуіне мүмкіндік бермейді. Формуладағы "+1" теңдіктерді болдырмау үшін қолданылады; егер ол болмаса, егер "сиқырлы сан" нөлге дейін төмендеп, сол деңгейде тұрақталса, екі команда бірдей көрсеткіштермен аяқталады. Егер жағдайлар бойынша жетекші команда болашақ нәтижелерге қарамастан тай-брейк жеңімпазы болатыны белгілі болса, онда қосымша тұрақты 1 алынып тасталуы мүмкін. Мысалы, NBA жалпы жеңіс-жеңіліс көрсеткіштерінен басқа, теңдіктерді шешу үшін күрделі формулаларды қолданады; алайда екі команда арасындағы алғашқы теңдік – олардың басқа басқа ойындарының көрсеткіші; егер жетекші команда жақсы басқа басқа көрсеткіштерге ие болса, онда "+1" қажет емес. 2022 жылы Үлкен бейсбол лигасы теңдіктерді шешу сценарийларын енгізді (мысалы, дивизиондық теңдіктер үшін басқа басқа), бұл "+1" пайдалануды мағынасыз етті (163-ші ойын жойылды). "Сиқырлы санды" WB + GRB − WA + 1 формуласымен де есептеуге болады, мұнда WB – B командасының маусымдағы жеңістерінің саны, GRB – B командасының маусымдағы қалған ойындарының саны, WA – A командасының маусымдағы жеңістерінің саны. Бұл екінші формула негізінен былай дейді: B командасы қалған барлық ойындарында жеңіске жетеді деп есептеңіз. A командасы B командасының ең көп жеңісінен 1-ге артық болуы үшін қанша ойынды жеңуі керек екенін есептеңіз. Жоғарыдағы мысалды пайдаланып, 162 ойындық маусымда B командасының 7 ойыны қалды. A командасының дивизионды жеңуінің "сиқырлы саны" әлі де "5": 93 + 7 − 96 + 1 = 5. B командасы 100 ойын жеңе алады. Егер A командасы 101 ойын жеңсе, B командасы жарыстан шығарылады. A командасы жеңсе, "сиқырлы сан" азаяды, ал B командасы жеңіліс тапса, оның ең көп жеңісінің саны бірге азаяды. Жоғарыда айтылғанның бір түрі екі команданың жеңілістері арасындағы байланысты қарастырады. "Сиқырлы санды" LA + GRA − LB + 1 формуласымен есептеуге болады, мұнда LA – A командасының маусымдағы жеңілістерінің саны, GRA – A командасының маусымдағы қалған ойындарының саны, LB – B командасының маусымдағы жеңілістерінің саны. Бұл үшінші формула негізінен былай дейді: A командасы қалған барлық ойындарында жеңіліске ұшырайды деп есептеңіз. B командасы A командасының ең көп жеңілісінен 1-ге артық болуы үшін қанша ойынды жеңіліске ұшыратуы керек екенін есептеңіз. Жоғарыдағы мысалды пайдаланып, 162 ойындық маусымда A командасының 8 ойыны қалды. A командасының дивизионды жеңуінің "сиқырлы саны" әлі де "5": 58 + 8 − 62 + 1 = 5. Көріп отырғаныңыздай, "сиқырлы санды" есептеудің негізі бірдей, ол не жетекшінің әлеуетті жеңістеріне, не артта қалған команданың әлеуетті жеңілістеріне негізделген. Шындығында, математикалық дәлелдер осы үш формуланың математикалық тұрғыдан эквивалентті екенін көрсетеді. A командасы 66 ойынға дейін жеңіліске ұшырауы мүмкін. Егер B командасы 67 ойынға жеңіліске ұшыраса, B командасы жарыстан шығарылады. Қайтадан, "сиқырлы сан" A командасы жеңсе, ал B командасы жеңіліс тапса азаяды. Кейбір спорт түрлерінде теңдіктерді шешу үшін қосымша бір ойын немесе ойындардан тұратын тай-брейк өткізіледі. Команданың "сиқырлы саны" 1-ге жеткенде, ол дивизионда немесе жолдамада теңдікке қол жеткізгені айтылады. Алайда, егер олар маусымды басқа командамен тең аяқтаса және плей-оффқа қатысуға тек біреуі ғана лайықты болса, тай-брейк ойыны осы команданың "қол жеткізгенін" жояды. Кейбір спорт түрлері тай-брейк ойынына орналасқан орнына теңдіктерді шешу үшін формула қолданады. Мұндай жағдайларда "сиқырлы санды" анықтау үшін командалардың жеңіс-жеңіліс көрсеткіштерінен басқа да мәліметтерді қарастыру қажет, өйткені тай-брейк формуласында өзіне артықшылықты қамтамасыз еткен команда "сиқырлы санын" есептеуде "+1" санын қосудың қажеті жоқ. Мысалы, 82 ойындық маусымда тай-брейк формуласының бірінші қадамы басқа басқа кездесулердің нәтижелері болған баскетбол лигасының мысалын қарастырайық. Маусым соңында дивизиондық турнир кестесі келесідей: Команда Жеңіс Жеңіліс A 60 15 B 55 20. Сонымен қатар, лиганың тай-брейк формуласының бірінші қадамы басқа басқа кездесулердің нәтижелері болып табылады. A және B командалары маусым ішінде төрт рет кездесіп, A командасы төрт ойынның үшеуінде жеңіске жеткен. Олар маусымда қайтадан кездеспейді. Сондықтан A командасы B командасынан тай-брейк артықшылығына ие және турнир кестесінде B командасынан озып кету үшін B командасымен бірдей жеңіс санына ие болуы жеткілікті. Сондықтан A командасының "сиқырлы санын" 82 – 60 – 20 = 2 деп есептеуге болады. Егер A командасы қалған жеті ойынының екеуінде жеңіске жетсе, ол 62–20 есебімен аяқтайды. Егер B командасы қалған жеті ойынының барлығында жеңіске жетсе, ол да 62–20 есебімен аяқтайды. Алайда, B командасы басқа басқа нәтижелері бойынша тай-брейкте жеңіліске ұшырағандықтан, A командасы дивизион жеңімпазы болады. Тай-брейк жеңімпаздары әлі анықталмаған жағдайларда (мысалы, командалар әлі бір-бірімен ойындар ойнауы керек болса), әдеттегі тәжірибе командалардың "сиқырлы санын" олар тай-брейкте жеңіліске ұшырайды деп есептеу және олардың жою санын олар тай-брейкте жеңіске жетеді деп есептеу болып табылады. Конвенция бойынша, "сиқырлы сан" көбінесе жетекші командаға қатысты қолданылады, олар одан озып кетуге тырысатын командаларға қатысты емес. Алайда, осы математикалық формулалар кез келген командаға, жетекшілік ететін командаларға, сондай-ақ артта қалған командаларға да қолданылуы мүмкін. Мұндай жағдайларда, бірінші орында емес команда жетекші команданың жеңіліске ұшырауына қатысты, олар онымен теңесуі үшін күтуі керек, сондықтан "сиқырлы сан" қалған ойындар санынан үлкен болады. Соңында, енді бәсекеге қатыспайтын командалар үшін олардың "сиқырлы саны" қалған ойындар санынан және жетекші команданың қалған ойындар санынан асып түседі, оны жеңу мүмкін емес.
other uses of the term
In certain sports, a magic number is a number used to indicate how close a front running team is to clinching a division title and/or a playoff spot. It represents the total of additional wins by the front running team or additional losses (or any combination thereof) by the rival teams after which it is mathematically impossible for the rival teams to capture the title in the remaining number of games, assuming some highly unlikely occurrence such as disqualification or expulsion from the competition or retroactive forfeiture of games does not occur. The widespread use of magic numbers is generally limited to sports where games only count in the standings when the result is a win and a loss. Magic numbers are not usually used in sports where teams can be credited in some manner for part wins in case of results such as ties and overtime losses. It could also be referred to as the "clinching number". Teams other than the front running team have what is called an elimination number (or "tragic number") (often abbreviated E#). This number represents the number of wins by the leading team or losses by the trailing team which will eliminate the trailing team. The largest elimination number among the non first place teams is the magic number for the leading team. The magic number is calculated as G + 1 − WA − LB, where
G is the total number of games in the season
WA is the number of wins that Team A has in the season
LB is the number of losses that Team B has in the season
For example, in Major League Baseball there are 162 games in a season. Suppose the top of the division standings late in the season are as follows:
TeamWinsLossesA9658B9362
Then the magic number for Team B to be eliminated is 162 + 1 − 96 − 62 = 5. Any combination of wins by Team A and losses by Team B totaling 5 makes it impossible for Team B to win the division title. The "+1" in the formula serves the purpose of eliminating ties; without it, if the magic number were to decrease to zero and stay there, the two teams in question would wind up with identical records. If circumstances dictate that the front running team would win the tiebreaker regardless of any future results, then the additional constant 1 can be eliminated. For example, the NBA uses complicated formulae for breaking ties, using several other statistics of merit besides overall win–loss record; however the first tiebreaker between two teams is their head to head record; if the front running team has already clinched the better head to head record, then the +1 is unnecessary. In 2022, Major League Baseball introduced tiebreaking scenarios (such as head to head for division ties) that made the use of the "+1" pointless (as Game 163 was eliminated). The magic number can also be calculated as WB + GRB − WA + 1, where
WB is the number of wins that Team B has in the season
GRB is the number of games remaining for Team B in the season
WA is the number of wins that Team A has in the season
This second formula basically says: Assume Team B wins every remaining game. Calculate how many games team A needs to win to surpass team B's maximum total by 1. Using the example above and with the same 162 game season, team B has 7 games remaining. The magic number for Team A to win the division is still "5": 93 + 7 − 96 + 1 = 5. Team B can win as many as 100 games. If Team A wins 101, Team B is eliminated. The magic number would decrease with a Team A win and would also decrease with a Team B loss, as its maximum win total would decrease by one. A variation of the above looks at the relation between the losses of the two teams. The magic number can be calculated as LA + GRA − LB + 1, where
LA is the number of losses that Team A has in the season
GRA is the number of games remaining for Team A in the season
LB is the number of losses that Team B has in the season
This third formula basically says: Assume Team A loses every remaining game. Calculate how many games team B needs to lose to surpass team A's maximum total by 1. Using the example above and with the same 162 game season, team A has 8 games remaining. The magic number for Team A to win the division is still "5": 58 + 8 − 62 + 1 = 5. As you can see, the magic number is the same whether calculating it based on potential wins of the leader or potential losses of the trailing team. Indeed, mathematical proofs will show that the three formulas presented here are mathematically equivalent. Team A can lose as many as 66 games. If Team B loses 67, Team B is eliminated. Once again, the magic number would decrease with a Team A win and would also decrease with a Team B loss. In some sports, ties are broken by an additional one game playoff(s) between the teams involved. When a team gets to the point where its magic number is 1, it is said to have "clinched a tie" for the division or the wild card. However, if they end the season tied with another team, and only one is eligible for the playoffs, the extra playoff game will erase that "clinching" for the team that loses the playoff game. Some sports use a tiebreaker formula instead of staging a one game playoff. In such cases, it is necessary to look beyond the won lost records of the teams to determine the magic number, since a team that has already guaranteed itself the edge in the tiebreaker formula would not need to include "+1" in calculating its magic number. For example, assume a basketball league that plays an 82 game season with no one game tiebreakers shows division standings late in the season as follows:
TeamWinsLossesA6015B5520
Suppose further that the first step in the league's tiebreaker formula is results in head to head meetings. Team A and Team B have met four times during the season with Team A winning three of the four games. They are not scheduled to meet again in the regular season. Therefore, Team A holds a tiebreaker edge over Team B and only needs to finish with the same number of wins as Team B in order to be placed ahead of Team B in the standings. Therefore, we can calculate Team A's magic number as 82 – 60 – 20 = 2. If Team A wins two of its seven remaining games, it will finish 62–20. If Team B wins all seven of its remaining games, it will also finish 62–20. However, since Team B loses the tiebreaker on head to head results, Team A is the division winner. In cases where the winners of potential tiebreakers have not yet been determined (for example, because the teams still have some games to play against each other) the usual convention is to calculate the magic numbers of the teams involved as if they will lose the tiebreaker, and to calculate the elimination numbers of such teams as if they will win the tiebreaker. By convention, the magic number typically is used to describe the first place team only, relative to the teams it leads. However, the same mathematical formulas could be applied to any team, teams that are tied for the lead, as well as teams that trail. In these cases, a team that is not in first place will depend on the leading team to lose some games so that it may catch up, so the magic number will be larger than the number of games remaining. Ultimately, for teams that are no longer in contention, their magic number would be larger than their remaining games + the remaining games for the first place team — which would be impossible to overcome.
Алыстыру
Сиқырлы санның формуласы тікелей келесідей шығарылады. Бұрынғыдай, маусымның белгілі бір кезеңінде А командасы WA жеңіс және LA жеңіліс көрсетсін. Кейіннен, А командасы wA қосымша жеңіс және lA қосымша жеңіліс алды деп есептейік, ал В командасы үшін WB, LB, wB, lB-ді де сол сияқты анықтайық. Осылайша, В командасының өтеуі керек жеңістердің жалпы саны (WA + wA) − (WB + wB) арқылы беріледі. А командасы бұл сан В командасының қалған ойындар санынан асып түскенде жеңіске жетеді, себебі сол кезде В командасы кемшілікті жолай алмайды, тіпті А командасы енді ешқандай ойында жеңіске жетпесе де. Егер маусымда барлығы G ойын болса, онда В командасының қалған ойындар саны G − (WB + wB + LB + lB) арқылы есептеледі. Осылайша, А командасының жеңіске жету шарты (WA + wA) − (WB + wB) = 1 + G − (WB + wB + LB + lB) теңдігін қанағаттандыруы керек. Ортақ мүшелерді қысқартқанда, wA + lB = G + 1 − WA − LB аламыз, бұл сиқырлы сан формуласын анықтайды.
Ойын ойналған қиял
Келесі мысалда, A командасының сиқырлы саны 5-ке тең, себебі ол екінші орындағы B командасын 4 қосымша ойында жеңсе де, үшінші орындағы C командасын толығымен еліміндеу үшін 5 ойын қажет. Сиқырлы санды есептеу үшін, басқа бәсекелес командалардың ең аз ұтылыстарын қолдану керек: 162 + 1 − 88 − 70 = 5. Команда жеңістері/ұтылыстары пайызы/айырмасы B8856.611 7571.51414.04 C7370.51014.55.
Тіркемелерді бұзатын қимыл
Сиқырлы сан математикалық есептеуден өзгеше болуы мүмкін тағы бір жағдай – тең түскен кезде шешім шығару қажеттілігі туғанда. Көптеген спорт түрлерінде маусым соңында рекордтар теңескен жағдайларды ескеретін бірнеше тең түсуді шешу әдістері қарастырылған. Әдетте, осы әдістердің біріншісі – командалардың өзара ойындары мен маусым ішінде қай команда қарсыласынан көп жеңгенін анықтау. Мысалы, төменде A және B командаларының екеуінің де тағы 12 ойыны қалған. Математикалық формула бойынша A командасы үшін сиқырлы сан 6 болуы керек: 162 + 1 – 83 – 74 = 6. Бірақ, егер A командасы қалған ойындарының тек 5-ін жеңіп, маусымды 88-74 есебімен аяқтаса, ал B командасы барлық қалған ойындарын жеңіп, соның нәтижесінде екеуінің де көрсеткіштері теңелсе, A командасы маусым ішінде B командасына қарсы жеңістерінің арқасында дивизион титулын жеңіп алар. Осы мысалда A командасының нақты сиқырлы саны 5-ке тең болады. Команда жеңіс-жеңіліс көрсеткіштері: A – 83-67, .553; B – 76-74, .507.