Введение

Число, используемое для указания вероятности победы в турнирах.

Другие варианты употребления термина

В некоторых видах спорта «магическое число» – это число, используемое для определения того, насколько близок лидирующий коллектив к завоеванию титула дивизиона и/или попаданию в плей-офф. Оно представляет собой сумму дополнительных побед лидирующей команды или дополнительных поражений (либо любой их комбинации) команд-соперников, после которой соперникам математически невозможно выиграть титул в оставшихся играх, если не произойдет крайне маловероятное событие, такое как дисквалификация или исключение из соревнования, либо ретроактивная аннулировка игр. Широкое использование «магических чисел» обычно ограничено видами спорта, где в турнирной таблице учитываются только победы и поражения. «Магические числа» обычно не используются в тех видах спорта, где командам могут начисляться очки за частичные победы в случае ничьих и поражений в овертайме. Его также можно назвать «числом для выхода в плей-офф». Команды, не являющиеся лидирующими, имеют так называемое «число исключения» (или «трагическое число») (часто обозначается E#). Это число показывает, сколько побед нужно лидирующей команде или сколько поражений нужно команде, идущей следом, чтобы исключить команду, идущую следом. Наибольшее «число исключения» среди команд, не занимающих первое место, является «магическим числом» для лидирующей команды. «Магическое число» рассчитывается по формуле G + 1 − WA − LB, где:
G – общее количество игр в сезоне;
WA – количество побед команды A в сезоне;
LB – количество поражений команды B в сезоне.

Например, в Высшей бейсбольной лиге в сезоне 162 игры. Предположим, что в конце сезона турнирная таблица дивизиона выглядит следующим образом:

TeamWinsLossesA9658B9362

Тогда «магическое число» для исключения команды B равно 162 + 1 − 96 − 62 = 5. Любая комбинация побед команды A и поражений команды B, в сумме составляющая 5, делает невозможным для команды B выиграть титул дивизиона. «+1» в формуле служит для исключения ничьих; без него, если «магическое число» уменьшится до нуля и останется на этом уровне, обе команды окажутся с одинаковым количеством побед. Если обстоятельства таковы, что лидирующая команда выиграет тай-брейк независимо от будущих результатов, то дополнительную константу 1 можно исключить. Например, НБА использует сложные формулы для определения победителя при равенстве очков, используя несколько других статистических показателей, помимо общего соотношения побед и поражений; однако первым критерием при равенстве очков между двумя командами является их результат в личных встречах; если лидирующая команда уже обеспечила себе преимущество в личных встречах, то «+1» не требуется. В 2022 году в МЛБ были введены сценарии тай-брейка (например, в дивизионах), которые сделали использование «+1» бессмысленным (поскольку игра № 163 была отменена). «Магическое число» также можно рассчитать как WB + GRB − WA + 1, где:
WB – количество побед команды B в сезоне;
GRB – количество оставшихся игр для команды B в сезоне;
WA – количество побед команды A в сезоне.

Эта вторая формула, по сути, говорит: предположим, что команда B выигрывает все оставшиеся игры. Вычислите, сколько игр команде A нужно выиграть, чтобы превзойти максимальное количество побед команды B на 1. Используя приведенный выше пример и тот же сезон из 162 игр, у команды B осталось 7 игр. «Магическое число» для команды A, чтобы выиграть дивизион, по-прежнему равно «5»: 93 + 7 − 96 + 1 = 5. Команда B может выиграть до 100 игр. Если команда A выиграет 101 игру, команда B будет исключена. «Магическое число» уменьшится при победе команды A и также уменьшится при поражении команды B, поскольку ее максимальное количество побед уменьшится на один. Вариация вышеуказанного рассматривает взаимосвязь между поражениями двух команд. «Магическое число» можно рассчитать как LA + GRA − LB + 1, где:
LA – количество поражений команды A в сезоне;
GRA – количество оставшихся игр для команды A в сезоне;
LB – количество поражений команды B в сезоне.

Эта третья формула, по сути, говорит: предположим, что команда A проигрывает все оставшиеся игры. Вычислите, сколько игр команде B нужно проиграть, чтобы превзойти максимальное количество поражений команды A на 1. Используя приведенный выше пример и тот же сезон из 162 игр, «магическое число» для команды A, чтобы выиграть дивизион, по-прежнему равно «5»: 58 + 8 − 62 + 1 = 5. Как видите, «магическое число» остается одинаковым, независимо от того, рассчитывается ли оно на основе потенциальных побед лидера или потенциальных поражений команды, идущей следом. Действительно, математические доказательства покажут, что три представленные здесь формулы математически эквивалентны. Команда A может проиграть до 66 игр. Если команда B проиграет 67 игр, команда B будет исключена. Опять же, «магическое число» уменьшится при победе команды A и также уменьшится при поражении команды B. В некоторых видах спорта ничьи решаются с помощью дополнительного плей-офф матча (или серии матчей) между командами. Когда команда достигает «магического числа» 1, считается, что она «обеспечила себе ничью» за титул дивизиона или попадание в плей-офф с дикой картой. Однако, если они заканчивают сезон с ничьей с другой командой, и только одна из них имеет право на участие в плей-офф, дополнительный плей-офф матч аннулирует это «обеспечение» для команды, проигравшей в плей-офф. Некоторые виды спорта используют формулу тай-брейка вместо проведения плей-офф матча. В таких случаях необходимо учитывать не только соотношение побед и поражений команд, но и то, что команда, уже гарантировавшая себе преимущество в формуле тай-брейка, не должна включать «+1» в расчет своего «магического числа». Например, предположим, что баскетбольная лига играет сезон из 82 игр без тай-брейков в одном матче, и в конце сезона турнирная таблица дивизиона выглядит следующим образом:

TeamWinsLossesA6015B5520

Предположим далее, что первый шаг в формуле тай-брейка лиги основан на результатах личных встреч. Команда A и команда B провели четыре игры в течение сезона, и команда A выиграла три из четырех игр. Они не планируют встречаться снова в регулярном сезоне. Следовательно, команда A имеет преимущество в тай-брейке над командой B и должна лишь закончить с тем же количеством побед, что и команда B, чтобы занять более высокое место в турнирной таблице. Поэтому мы можем рассчитать «магическое число» команды A как 82 – 60 – 20 = 2. Если команда A выиграет две из семи оставшихся игр, она завершит сезон с результатом 62–20. Если команда B выиграет все семь оставшихся игр, она также завершит сезон с результатом 62–20. Однако, поскольку команда B проигрывает тай-брейк по результатам личных встреч, команда A становится победителем дивизиона. В случаях, когда победители потенциальных тай-брейков еще не определены (например, потому что команды еще должны сыграть несколько игр друг против друга), общепринятой практикой является расчет «магических чисел» команд, как если бы они проиграли тай-брейк, и расчет «чисел исключения» этих команд, как если бы они выиграли тай-брейк. По соглашению, «магическое число» обычно используется для описания лидирующей команды по отношению к командам, которые она опережает. Однако одни и те же математические формулы могут быть применены к любой команде, командам, разделяющим лидерство, а также к командам, идущим следом. В этих случаях команда, не занимающая первое место, будет зависеть от того, что лидирующая команда проиграет несколько игр, чтобы она могла догнать ее, поэтому «магическое число» будет больше, чем количество оставшихся игр. В конечном счете, для команд, которые больше не претендуют на победу, их «магическое число» будет больше, чем их оставшиеся игры + оставшиеся игры для лидирующей команды, что было бы невозможно преодолеть.

Вывод

Формула для волшебного числа выводится следующим образом. Как и прежде, в определенный момент сезона пусть у команды А будет WA побед и LA поражений. Предположим, что в какой-то более поздний момент команда А одержит wA дополнительных побед и потерпит lA дополнительных поражений, и аналогично определим WB, LB, wB, lB для команды B. Таким образом, общее количество побед, которое команде B необходимо набрать, чтобы сравняться с командой А, равно (WA + wA) − (WB + wB). Команда А обеспечивает себе победу, когда это число превышает количество оставшихся игр у команды B, поскольку в этом случае команда B не сможет ликвидировать отставание, даже если команда А больше не выиграет ни одной игры. Если в сезоне в общей сложности G игр, то количество оставшихся игр у команды B равно G − (WB + wB + LB + lB). Следовательно, условие обеспечения победы для команды А таково: (WA + wA) − (WB + wB) = 1 + G − (WB + wB + LB + lB). После сокращения общих членов получаем wA + lB = G + 1 − WA − LB, что и является формулой волшебного числа.

Играл в игры.

В следующем примере, магическое число команды А равно 5, потому что, хотя она может гарантированно выбыть из борьбы за второе место команду В за 4 дополнительных игры, для гарантированного выбытия из борьбы за третье место команды С потребуется 5 игр. Для расчета магического числа необходимо использовать наименьшее количество поражений среди других команд-соперников: 162 + 1 − 88 − 70 = 5. Процент побед/поражений команды и отставание в играх: A88-56.611 B75-71.51414.04 C73-70.51014.55

Причуда в разрыве равенства

Другой сценарий, при котором "магическое число" может отличаться от математического расчета, возникает в случае тай-брейка. В большинстве видов спорта предусмотрено несколько методов определения победителя при равенстве результатов в конце сезона. Обычно первым из этих методов является сравнение результатов личных встреч команд – подсчитывается, сколько игр каждая команда выиграла у другой в течение сезона. В приведенном ниже примере у команд А и В осталось по 12 игр, и математическая формула определяет "магическое число" для команды А как 6 (162+1 – 83 – 74 = 6). Однако, если команда А выиграет только 5 из оставшихся игр и завершит сезон с результатом 88-74, а команда В выиграет все оставшиеся игры и также завершит сезон с результатом 88-74, команда А выиграет титул дивизиона, если у нее больше побед над командой В в личных встречах в течение сезона. Это означает, что в данном примере "магическое число" для команды А на самом деле равно 5. Победы/Поражения команд: A – 83/67, B – 76/74.