Распределение Больцмана: Вероятности энергетических состояний системы
Boltzmann distribution
Распределение Больцмана: вероятности энергетических состояний системы в статистической механике. Зависимость от энергии и температуры. Применение в физике и математике.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Распределение вероятности энергетических состояний системы
Probability distribution of energy states of a system
system energy states
В статистической механике и математике распределение Болцмана (также называемое распределением Гиббса) — это распределение вероятности или мера вероятности, которая определяет вероятность нахождения системы в определенном состоянии как функцию энергии этого состояния и температуры системы. Распределение выражается в виде:
In statistical mechanics and mathematics, a Boltzmann distribution (also called Gibbs distribution) is a probability distribution or probability measure that gives the probability that a system will be in a certain state as a function of that state's energy and the temperature of the system. The distribution is expressed in the form:
где pi — вероятность нахождения системы в состоянии i, exp — экспоненциальная функция, εi — энергия этого состояния, а постоянная kT распределения — произведение постоянной Болцмана k и термодинамической температуры T. Символ обозначает пропорциональность (см. для постоянной пропорциональности). Термин «система» имеет здесь широкое значение; он может варьироваться от совокупности «достаточного количества» атомов или одного атома до макроскопической системы, такой как резервуар для хранения природного газа. Поэтому распределение Болцмана может быть использовано для решения широкого круга задач. Распределение показывает, что состояния с более низкой энергией всегда будут иметь более высокую вероятность быть занятыми. Отношение вероятностей двух состояний известно как фактор Болцмана и характеризуется исключительно разностью энергий состояний:
where pi is the probability of the system being in state i, exp is the exponential function, εi is the energy of that state, and a constant kT of the distribution is the product of the Boltzmann constant k and thermodynamic temperature T. The symbol denotes proportionality (see for the proportionality constant). The term system here has a wide meaning; it can range from a collection of 'sufficient number' of atoms or a single atom to a macroscopic system such as a natural gas storage tank. Therefore the Boltzmann distribution can be used to solve a wide variety of problems. The distribution shows that states with lower energy will always have a higher probability of being occupied. The ratio of probabilities of two states is known as the Boltzmann factor and characteristically only depends on the states' energy difference:
Распределение Болцмана названо в честь Людвига Болцмана, который впервые сформулировал его в 1868 году в ходе своих исследований статистической механики газов в состоянии теплового равновесия. Статистическая работа Болцмана находит подтверждение в его статье «О взаимосвязи между второй фундаментальной теоремой механической теории тепла и вероятностными расчетами, касающимися условий теплового равновесия».
The Boltzmann distribution is named after Ludwig Boltzmann who first formulated it in 1868 during his studies of the statistical mechanics of gases in thermal equilibrium. Boltzmann's statistical work is borne out in his paper “On the Relationship between the Second Fundamental Theorem of the Mechanical Theory of Heat and Probability Calculations Regarding the Conditions for Thermal Equilibrium"
Впоследствии распределение было тщательно исследовано в его современной обобщенной форме Джозией Виллардом Гиббсом в 1902 году. Распределение Болцмана не следует путать с распределением Максвелла — Болцмана или статистикой Максвелла — Болцмана. Распределение Болцмана определяет вероятность нахождения системы в определенном состоянии как функцию энергии этого состояния, в то время как распределения Максвелла — Болцмана определяют вероятности скоростей частиц или энергий в идеальных газах. Однако распределение энергий в одномерном газе подчиняется распределению Болцмана.
The distribution was later investigated extensively, in its modern generic form, by Josiah Willard Gibbs in 1902. The Boltzmann distribution should not be confused with the Maxwell–Boltzmann distribution or Maxwell Boltzmann statistics. The Boltzmann distribution gives the probability that a system will be in a certain state as a function of that state's energy, while the Maxwell Boltzmann distributions give the probabilities of particle speeds or energies in ideal gases. The distribution of energies in a one dimensional gas however, does follow the Boltzmann distribution.
В математике
В более общих математических контекстах распределение Больцмана также известно как мера Гиббса. В статистике и машинном обучении оно называется лог-линейной моделью. В глубоком обучении распределение Больцмана используется в распределении выборки стохастических нейронных сетей, таких как машина Больцмана, ограниченная машина Больцмана, модели, основанные на энергии, и глубокая машина Больцмана. В глубоком обучении машина Больцмана рассматривается как одна из моделей обучения без учителя. При проектировании машины Больцмана в глубоком обучении, с увеличением числа узлов сложность реализации в приложениях реального времени становится критической, поэтому вводится другой тип архитектуры, называемый машиной с ограниченным Больцманом.
In more general mathematical settings, the Boltzmann distribution is also known as the Gibbs measure. In statistics and machine learning, it is called a log linear model. In deep learning, the Boltzmann distribution is used in the sampling distribution of stochastic neural networks such as the Boltzmann machine, restricted Boltzmann machine, energy based models and deep Boltzmann machine. In deep learning, the Boltzmann machine is considered to be one of the unsupervised learning models. In the design of Boltzmann machine in deep learning, as the number of nodes are increased the difficulty of implementing in real time applications becomes critical, so a different type of architecture named Restricted Boltzmann machine is introduced.
В экономике
Распределение Болцмана может быть использовано для распределения разрешений в системе торговли выбросами. Новый метод распределения, основанный на распределении Болцмана, позволяет описать наиболее вероятное, естественное и непредвзятое распределение разрешений на выбросы между различными странами. Распределение Болцмана имеет ту же математическую форму, что и многочленная логит-модель. Как модель дискретного выбора, она широко известна в экономике с тех пор, как Дэниел МакФадден установил связь между ней и максимизацией случайной полезности.
The Boltzmann distribution can be introduced to allocate permits in emissions trading. The new allocation method using the Boltzmann distribution can describe the most probable, natural, and unbiased distribution of emissions permits among multiple countries. The Boltzmann distribution has the same form as the multinomial logit model. As a discrete choice model, this is very well known in economics since Daniel McFadden made the connection to random utility maximization.