Кіріспе
Математикалық түрлендіру, классикалық механика мен термодинамикада кеңінен қолданылатын инволюциялық түрлендіру. Математикада Лежандр түрлендіруі (немесе Лежандр түрлендіруі) алғаш рет 1787 жылы Адриен Мари Лежандр ең аз беттік мәселені зерттегенде енгізілді. Бұл нақты өзгермеліге қатысты дөңес болатын нақты мәнді функциялар үшін инволюциялық түрлендіру. Нақтырақ айтқанда, егер нақты мәнді көп өзгермелі функция оның тәуелсіз нақты өзгермелілерінің бірінде дөңес болса, онда Лежандр түрлендіруі осы өзгермеліге қатысты қолданылады. Физикалық есептерде Лежандр түрлендіруі бір шаманың функцияларын (мысалы, координата, қысым немесе температура) конъюгат шаманың функцияларына (сәйкесінше импульс, көлем және энтропия) түрлендіру үшін пайдаланылады. Осылайша, ол классикалық механикада Лагранж формализмінен Гамильтон формализмін (немесе керісінше) шығару үшін, ал термодинамикада термодинамикалық потенциалдарды алу үшін, сондай-ақ бірнеше айнымалылардың дифференциалдық теңдеулерін шешу үшін қолданылады. Нақты түзудегі жеткілікті тегіс функциялар үшін функцияның Лежандр түрлендіруін, қосымша тұрақтыға дейін, функцияның бірінші туындылары бір-біріне кері функциялар болатын жағдайда анықтауға болады. Бұл Эйлердің туынды белгісі арқылы көрсетіледі, мұнда дифференциалдау операторы, байланысты функцияға аргумент немесе кіріс, ал кері функция болып табылады, яғни , немесе Лагранж белгісі арқылы. Лежандр түрлендіруінің аффиндік кеңістіктерге және дөңес емес функцияларға жалпылануы дөңес конъюгат деп аталады (сонымен қатар Лежандр-Феншель түрлендіруі деп те аталады), оны функцияның дөңес қабығын құру үшін қолдануға болады.
an involution transform commonly used in classical mechanics and thermodynamics
In mathematics, the Legendre transformation (or Legendre transform), first introduced by Adrien Marie Legendre in 1787 when studying the minimal surface problem, is an involutive transformation on real valued functions that are convex on a real variable. Specifically, if a real valued multivariable function is convex on one of its independent real variables, then the Legendre transform with respect to this variable is applicable to the function. In physical problems, the Legendre transform is used to convert functions of one quantity (such as position, pressure, or temperature) into functions of the conjugate quantity (momentum, volume, and entropy, respectively). In this way, it is commonly used in classical mechanics to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism (or vice versa) and in thermodynamics to derive the thermodynamic potentials, as well as in the solution of differential equations of several variables. For sufficiently smooth functions on the real line, the Legendre transform of a function can be specified, up to an additive constant, by the condition that the functions' first derivatives are inverse functions of each other. This can be expressed in Euler's derivative notation as
where is an operator of differentiation, represents an argument or input to the associated function, is an inverse function such that ,
or equivalently, as and in Lagrange's notation. The generalization of the Legendre transformation to affine spaces and non convex functions is known as the convex conjugate (also called the Legendre–Fenchel transformation), which can be used to construct a function's convex hull.
Лежендр түрлендіруін туындылар тұрғысынан түсіну
Нақты сызықтағы дифференциалданатын дөңес функция үшін, бірінші туындысы және оның керісі болған жағдайда, Лежандр түрлендіруі , , функциялардың бірінші туындылары бір-біріне кері функциялар болатын шартымен, яғни, қосымша тұрақтыға дейін анықталады. Мұны көру үшін, егер нақты сызықтағы дөңес функция дифференциалданатын болса және функцияның сындық нүктесі болса, онда жоғары шекке (дөңестік қағидасы бойынша, осы Уикипедия бетіндегі бірінші суретті қараңыз) қол жеткізіледі. Сондықтан функциясының Лежандр түрлендіруі: . Егер бірінші туындысы кері болатын болса, онда болады. Әрбір үшін, нүктесі функциясының бірегей сындық нүктесі болады (яғни, ), себебі және нүктесіндегі функцияның -қа қатысты бірінші туындысы тең. Осылайша, әрбір үшін теңдігі орындалады. -қа қатысты дифференциалдау арқылы құрамына келтіріледі. Яғни, және бір-біріне кері функциялар. Жалпы, егер -ның керісі болса, онда болады, соған сәйкес интегралдау тұрақтымен бірге теңдігін береді. Практикалық тұрғыдан алғанда, берілген жағдайында, -қа қатысты параметрлік график, -қа қатысты графикқа тең келеді. Кейбір жағдайларда (мысалы, термодинамикалық потенциалдар, төменде), -ның минус белгісімен баламалы анықтамасын білдіретін стандартты емес талап қолданылады.
To see this, first note that if as a convex function on the real line is differentiable and is a critical point of the function of , then the supremum is achieved at (by convexity, see the first figure in this Wikipedia page). Therefore, the Legendre transform of is
Then, suppose that the first derivative is invertible and let the inverse be Then for each , the point is the unique critical point of the function (i. e., ) because and the function's first derivative with respect to at is Hence we have for each By differentiating with respect to , we find
Since this simplifies to In other words, and are inverses to each other. In general, if as the inverse of , then so integration gives with a constant
In practical terms, given , the parametric plot of versus amounts to the graph of versus
In some cases (e. g. thermodynamic potentials, below), a non standard requirement is used, amounting to an alternative definition of f * with a minus sign,
Манифелдерде Лежендренің түрлендіруі
Let - тегіс көпқырлы, және - векторлық шоғыр және оның байланысқан шоғыр проекциясы болсын. - тегіс функция болсын. Біз -ды классикалық жағдаймен салыстыра отырып, Лагранждық ретінде қарастырамыз, онда , және кейбір оң сан мен функция үшін. Әдеттегідей, -ның дуалы деп белгіленеді. -ның үстіндегі талшығы деп белгіленеді, ал -ға шектеуі деп белгіленеді. -ның Легендр түрлендіруі - тегіс морфизм, ол арқылы анықталады, мұнда. Басқаша айтқанда, - бұл ковектор, ол -ды бағыттық туындыға жібереді. Легендр түрлендіруін жергілікті түрде сипаттау үшін, -ны -ның үстінде тривиальды болатын координаттар диаграммасы болсын. -ның үстінде тривиализацияны таңдап, біз диаграммалар аламыз және. Осы диаграммалар бойынша, бар, барлық үшін. Егер, классикалық жағдай сияқты, -ның әрбір талшыққа шектеуі қатаң дөңес және оң анықталған квадраттық формадан кемінде оң тұрақты санмен шектелген болса, онда Легендр түрлендіруі диффеоморфизм болады. Егер - диффеоморфизм болсын және оны деп анықталған "Гамильтондық" функция деп атайық, онда. Табиғи изоморфизмді пайдаланып, -ның Легендр түрлендіруін карта ретінде қарастыруға болады. Сонда бізде бар.
As usual, the dual of is denote by The fiber of over is denoted , and the restriction of to is denoted by The Legendre transformation of is the smooth morphism defined by , where In other words, is the covector that sends to the directional derivative
To describe the Legendre transformation locally, let be a coordinate chart over which is trivial. Picking a trivialization of over , we obtain charts and In terms of these charts, we have , where for all If, as in the classical case, the restriction of to each fiber is strictly convex and bounded below by a positive definite quadratic form minus a constant, then the Legendre transform is a diffeomorphism. Suppose that is a diffeomorphism and let be the "Hamiltonian" function defined by where Using the natural isomorphism , we may view the Legendre transformation of as a map Then we have
Фенчел теңсіздігі
Кез келген f функциясы және оның дөңес конъюгаты f* үшін Фенхель теңсіздігі (Фенхель-Янг теңсіздігі деп те аталады) кез келген x ∈ X және p ∈ X* үшін орындалады, яғни тәуелсіз x, p жұптары үшін.