Введение
Математическое преобразование – инволюционное преобразование, обычно используемое в классической механике и термодинамике.
an involution transform commonly used in classical mechanics and thermodynamics
In mathematics, the Legendre transformation (or Legendre transform), first introduced by Adrien Marie Legendre in 1787 when studying the minimal surface problem, is an involutive transformation on real valued functions that are convex on a real variable. Specifically, if a real valued multivariable function is convex on one of its independent real variables, then the Legendre transform with respect to this variable is applicable to the function. In physical problems, the Legendre transform is used to convert functions of one quantity (such as position, pressure, or temperature) into functions of the conjugate quantity (momentum, volume, and entropy, respectively). In this way, it is commonly used in classical mechanics to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism (or vice versa) and in thermodynamics to derive the thermodynamic potentials, as well as in the solution of differential equations of several variables. For sufficiently smooth functions on the real line, the Legendre transform of a function can be specified, up to an additive constant, by the condition that the functions' first derivatives are inverse functions of each other. This can be expressed in Euler's derivative notation as
where is an operator of differentiation, represents an argument or input to the associated function, is an inverse function such that ,
or equivalently, as and in Lagrange's notation. The generalization of the Legendre transformation to affine spaces and non convex functions is known as the convex conjugate (also called the Legendre–Fenchel transformation), which can be used to construct a function's convex hull.
В математике преобразование Лежандра (или преобразование Лежандра), впервые введенное Адриеном Мари Лежандром в 1787 году при изучении задачи о минимальной поверхности, является инволютивным преобразованием для вещественнозначных функций, выпуклых относительно вещественной переменной. В частности, если вещественнозначная функция многих переменных выпукла по одной из её независимых вещественных переменных, то преобразование Лежандра применимо к этой переменной. В физических задачах преобразование Лежандра используется для преобразования функций одной величины (например, координаты, давления или температуры) в функции сопряжённой величины (импульса, объёма и энтропии, соответственно). Таким образом, оно широко используется в классической механике для вывода гамильтонова формализма из лагранжева формализма (или наоборот) и в термодинамике для вывода термодинамических потенциалов, а также при решении дифференциальных уравнений многих переменных. Для достаточно гладких функций на вещественной прямой преобразование Лежандра функции может быть задано с точностью до аддитивной константы при условии, что первые производные функций являются взаимно обратными. Это можно выразить в обозначениях производных Эйлера как , где – оператор дифференцирования, – аргумент или входное значение, соответствующее функции, – обратная функция, такая что , или, эквивалентно, как и в обозначениях Лагранжа. Обобщение преобразования Лежандра на аффинные пространства и невыпуклые функции известно как выпуклый сопряжённый (также называемый преобразованием Лежандра — Фенхеля), который можно использовать для построения выпуклой оболочки функции.
an involution transform commonly used in classical mechanics and thermodynamics
In mathematics, the Legendre transformation (or Legendre transform), first introduced by Adrien Marie Legendre in 1787 when studying the minimal surface problem, is an involutive transformation on real valued functions that are convex on a real variable. Specifically, if a real valued multivariable function is convex on one of its independent real variables, then the Legendre transform with respect to this variable is applicable to the function. In physical problems, the Legendre transform is used to convert functions of one quantity (such as position, pressure, or temperature) into functions of the conjugate quantity (momentum, volume, and entropy, respectively). In this way, it is commonly used in classical mechanics to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism (or vice versa) and in thermodynamics to derive the thermodynamic potentials, as well as in the solution of differential equations of several variables. For sufficiently smooth functions on the real line, the Legendre transform of a function can be specified, up to an additive constant, by the condition that the functions' first derivatives are inverse functions of each other. This can be expressed in Euler's derivative notation as
where is an operator of differentiation, represents an argument or input to the associated function, is an inverse function such that ,
or equivalently, as and in Lagrange's notation. The generalization of the Legendre transformation to affine spaces and non convex functions is known as the convex conjugate (also called the Legendre–Fenchel transformation), which can be used to construct a function's convex hull.
Понимание преобразования Лежендра с точки зрения производных
Для дифференцируемой выпуклой функции на вещественной прямой с первой производной и ее обратной функцией , преобразование Лежандра функции , , может быть определено с точностью до аддитивной константы условием, что первые производные функций являются обратными друг другу, то есть и . Чтобы увидеть это, сначала заметим, что если как выпуклая функция на вещественной прямой дифференцируема и является критической точкой функции , то супремум достигается в точке (по выпуклости, см. первую фигуру на этой странице Википедии). Следовательно, преобразование Лежандра функции равно .
To see this, first note that if as a convex function on the real line is differentiable and is a critical point of the function of , then the supremum is achieved at (by convexity, see the first figure in this Wikipedia page). Therefore, the Legendre transform of is
Then, suppose that the first derivative is invertible and let the inverse be Then for each , the point is the unique critical point of the function (i. e., ) because and the function's first derivative with respect to at is Hence we have for each By differentiating with respect to , we find
Since this simplifies to In other words, and are inverses to each other. In general, if as the inverse of , then so integration gives with a constant
In practical terms, given , the parametric plot of versus amounts to the graph of versus
In some cases (e. g. thermodynamic potentials, below), a non standard requirement is used, amounting to an alternative definition of f * with a minus sign,
Затем предположим, что первая производная является обратимой и пусть ее обратная функция будет . Тогда для каждого , точка является единственной критической точкой функции (то есть, ) , поскольку и первая производная функции по при равна . Следовательно, у нас есть для каждого . Дифференцируя по , получаем, что это упрощается до . Другими словами, и являются обратными функциями друг друга. В общем случае, если как обратная функция к , то , а интегрирование дает с константой .
To see this, first note that if as a convex function on the real line is differentiable and is a critical point of the function of , then the supremum is achieved at (by convexity, see the first figure in this Wikipedia page). Therefore, the Legendre transform of is
Then, suppose that the first derivative is invertible and let the inverse be Then for each , the point is the unique critical point of the function (i. e., ) because and the function's first derivative with respect to at is Hence we have for each By differentiating with respect to , we find
Since this simplifies to In other words, and are inverses to each other. In general, if as the inverse of , then so integration gives with a constant
In practical terms, given , the parametric plot of versus amounts to the graph of versus
In some cases (e. g. thermodynamic potentials, below), a non standard requirement is used, amounting to an alternative definition of f * with a minus sign,
На практике, при заданном , параметрическое представление зависимости от эквивалентно графику зависимости от .
To see this, first note that if as a convex function on the real line is differentiable and is a critical point of the function of , then the supremum is achieved at (by convexity, see the first figure in this Wikipedia page). Therefore, the Legendre transform of is
Then, suppose that the first derivative is invertible and let the inverse be Then for each , the point is the unique critical point of the function (i. e., ) because and the function's first derivative with respect to at is Hence we have for each By differentiating with respect to , we find
Since this simplifies to In other words, and are inverses to each other. In general, if as the inverse of , then so integration gives with a constant
In practical terms, given , the parametric plot of versus amounts to the graph of versus
In some cases (e. g. thermodynamic potentials, below), a non standard requirement is used, amounting to an alternative definition of f * with a minus sign,
В некоторых случаях (например, термодинамические потенциалы, ниже) используется нестандартное требование, которое эквивалентно альтернативному определению f* с противоположным знаком.
To see this, first note that if as a convex function on the real line is differentiable and is a critical point of the function of , then the supremum is achieved at (by convexity, see the first figure in this Wikipedia page). Therefore, the Legendre transform of is
Then, suppose that the first derivative is invertible and let the inverse be Then for each , the point is the unique critical point of the function (i. e., ) because and the function's first derivative with respect to at is Hence we have for each By differentiating with respect to , we find
Since this simplifies to In other words, and are inverses to each other. In general, if as the inverse of , then so integration gives with a constant
In practical terms, given , the parametric plot of versus amounts to the graph of versus
In some cases (e. g. thermodynamic potentials, below), a non standard requirement is used, amounting to an alternative definition of f * with a minus sign,
Преобразование Лежендра на коллекторах
Пусть будет гладким многообразием, а и — векторным расслоением над ним и его ассоциированным расслоением-проекцией, соответственно. Пусть будет гладкой функцией. Мы рассматриваем как лагранжиан по аналогии с классическим случаем, когда , и для некоторого положительного числа и функции . Как обычно, двойственное к обозначается , а волокно над обозначается , а ограничение на обозначается . Преобразование Лежандра функции — это гладкий морфизм, определяемый , где . Иными словами, — это ковектор, который отображает в направленную производную .
As usual, the dual of is denote by The fiber of over is denoted , and the restriction of to is denoted by The Legendre transformation of is the smooth morphism defined by , where In other words, is the covector that sends to the directional derivative
To describe the Legendre transformation locally, let be a coordinate chart over which is trivial. Picking a trivialization of over , we obtain charts and In terms of these charts, we have , where for all If, as in the classical case, the restriction of to each fiber is strictly convex and bounded below by a positive definite quadratic form minus a constant, then the Legendre transform is a diffeomorphism. Suppose that is a diffeomorphism and let be the "Hamiltonian" function defined by where Using the natural isomorphism , we may view the Legendre transformation of as a map Then we have
Чтобы описать преобразование Лежандра локально, пусть будет координатной окрестностью, над которой расслоение тривиально. Выбирая тривиализацию расслоения над , мы получаем координатные окрестности и . В этих координатах имеем , где для всех . Если, как в классическом случае, ограничение на каждое волокно строго выпукло и ограничено снизу положительно определенной квадратичной формой минус константу, то преобразование Лежандра является диффеоморфизмом. Предположим, что является диффеоморфизмом, и пусть — "гамильтониан", определяемый , где . Используя естественный изоморфизм , мы можем рассматривать преобразование Лежандра как отображение . Тогда имеем.
As usual, the dual of is denote by The fiber of over is denoted , and the restriction of to is denoted by The Legendre transformation of is the smooth morphism defined by , where In other words, is the covector that sends to the directional derivative
To describe the Legendre transformation locally, let be a coordinate chart over which is trivial. Picking a trivialization of over , we obtain charts and In terms of these charts, we have , where for all If, as in the classical case, the restriction of to each fiber is strictly convex and bounded below by a positive definite quadratic form minus a constant, then the Legendre transform is a diffeomorphism. Suppose that is a diffeomorphism and let be the "Hamiltonian" function defined by where Using the natural isomorphism , we may view the Legendre transformation of as a map Then we have
Неравенство Фенчеля
Для любой функции f и ее выпуклой сопряженной f* выполняется неравенство Феншеля (также известное как неравенство Феншеля — Юнга) для всех x ∈ X и p ∈ X*, то есть для любых независимых пар (x, p).