Кіріспе
ANOVA және регрессияны біріктіретін жалпы сызықтық модель. Коварианстық талдау (ANCOVA) – ANOVA және регрессияны біріктіретін жалпы сызықтық модель. ANCOVA тәуелді айнымалының (DV) орташа мәндерінің бір немесе бірнеше санатты тәуелсіз айнымалылардың (IV) деңгейлері және бір немесе бірнеше үздіксіз айнымалылар бойынша тең болатынын бағалайды. Мысалы, санатты айнымалы(лар) емдеуді сипаттауы мүмкін, ал үздіксіз айнымалы(лар) ковариаталар немесе қосымша айнымалылар болуы мүмкін; немесе керісінше. Математикалық тұрғыдан ANCOVA DV-дегі дисперсияны ковариата(лар) арқылы түсіндірілген дисперсияға, санатты IV арқылы түсіндірілген дисперсияға және қалдық дисперсияға бөледі. ANCOVA интуитивті түрде DV-ны ковариаталардың топтық орташа көрсеткіштері бойынша «реттеу» ретінде қарастырылуы мүмкін. ANCOVA моделі жауап (DV) пен ковариант (CV) арасындағы сызықтық қатынасты болжайды:
Analysis of covariance (ANCOVA) is a general linear model that blends ANOVA and regression. ANCOVA evaluates whether the means of a dependent variable (DV) are equal across levels of one or more categorical independent variables (IV) and across one or more continuous variables. For example, the categorical variable(s) might describe treatment and the continuous variable(s) might be covariates or nuisance variables; or vice versa. Mathematically, ANCOVA decomposes the variance in the DV into variance explained by the CV(s), variance explained by the categorical IV, and residual variance. Intuitively, ANCOVA can be thought of as 'adjusting' the DV by the group means of the CV(s). The ANCOVA model assumes a linear relationship between the response (DV) and covariate (CV):
In this equation, the DV, is the jth observation under the ith categorical group; the CV, is the jth observation of the covariate under the ith group. Variables in the model that are derived from the observed data are (the grand mean) and (the global mean for covariate ). The variables to be fitted are (the effect of the ith level of the categorical IV), (the slope of the line) and (the associated unobserved error term for the jth observation in the ith group). Under this specification, the categorical treatment effects sum to zero The standard assumptions of the linear regression model are also assumed to hold, as discussed below.
Бұл теңдеуде DV – i-ші санатты топтағы j-ші байқау; CV – i-ші топтағы коварианттың j-ші байқауы. Модельдегі байқалған деректерден туындаған айнымалылар – (жалпы орташа) және (ковариант үшін жаһандық орташа). Қосатын айнымалылар – (IV категориясының i-ші деңгейінің әсері), (сызықтың еңістігі) және (i-ші топтағы j-ші байқау үшін сәйкес келмейтін қателік мүшесі). Бұл сипаттама бойынша, санатты емдеу әсерлерінің қосындысы нөлге тең болады. Сызықтық регрессия моделінің стандартты болжамдары да қолданылады, төменде талқыланғандай.
Analysis of covariance (ANCOVA) is a general linear model that blends ANOVA and regression. ANCOVA evaluates whether the means of a dependent variable (DV) are equal across levels of one or more categorical independent variables (IV) and across one or more continuous variables. For example, the categorical variable(s) might describe treatment and the continuous variable(s) might be covariates or nuisance variables; or vice versa. Mathematically, ANCOVA decomposes the variance in the DV into variance explained by the CV(s), variance explained by the categorical IV, and residual variance. Intuitively, ANCOVA can be thought of as 'adjusting' the DV by the group means of the CV(s). The ANCOVA model assumes a linear relationship between the response (DV) and covariate (CV):
In this equation, the DV, is the jth observation under the ith categorical group; the CV, is the jth observation of the covariate under the ith group. Variables in the model that are derived from the observed data are (the grand mean) and (the global mean for covariate ). The variables to be fitted are (the effect of the ith level of the categorical IV), (the slope of the line) and (the associated unobserved error term for the jth observation in the ith group). Under this specification, the categorical treatment effects sum to zero The standard assumptions of the linear regression model are also assumed to hold, as discussed below.
Қуатты арттыру
ANCOVA статистикалық қуатты арттыру үшін (топтар арасында нақты айырмашылық болғанда, оны анықтау ықтималдығы) топ ішіндегі қателік дисперсиясын азайту арқылы қолданылуы мүмкін. Мұны түсіну үшін топтар арасындағы айырмашылықтарды бағалауға қолданылатын F-тестін түсіну қажет. F-тесті топтар арасындағы түсіндірілген дисперсияны (мысалы, медициналық жазылудағы айырмашылықтар) топтар ішіндегі түсіндірілмеген дисперсияға бөлу арқылы есептеледі. Осылайша, егер бұл мән белгілі бір шекті мәннен жоғары болса, онда топтар арасында маңызды айырмашылық бар деген қорытынды жасалады. Түсіндірілмейтін дисперсия қателік дисперсиясын (мысалы, жеке ерекшеліктер) және басқа факторлардың әсерін қамтиды. Сондықтан, CV-нің әсері бөлімде (атаушыда) жинақталады. CV-нің тәуелді айнымалыға (DV) әсерін бақылағанда, біз оны бөлімнен алып тастаймыз, бұл F-тің мәнін арттырады, соның салдарынан нақты әсер болған жағдайда оны анықтау мүмкіндігіміз артады.
If this value is larger than a critical value, we conclude that there is a significant difference between groups. Unexplained variance includes error variance (e. g., individual differences), as well as the influence of other factors. Therefore, the influence of CVs is grouped in the denominator. When we control for the effect of CVs on the DV, we remove it from the denominator making F larger, thereby increasing our power to find a significant effect if one exists at all.
Бұрыннан бар айырмашылықтарды түзету
ANCOVA-ны тағы бір қолданылуы – эквивалентсіз (тұтас) топтардағы алдын ала бар айырмашылықтарды реттеу. Бұл даулы тәсіл бірнеше тұтас топтар арасындағы тәуелді айнымалыда (DV) топқа бөлуге дейін болатын бастапқы топтық айырмашылықтарды түзетуге бағытталған. Мұндай жағдайда қатысушыларды кездейсоқ тағайындау арқылы теңестіру мүмкін емес, сондықтан ковариаттар (CV) баллдарды реттеу үшін қолданылады, бұл қатысушыларды CV болмаған жағдайдағыдан көбірек ұқсас етеді. Дегенмен, ковариаттарды қолданғанның өзінде, тең емес топтарды теңестіретін ешқандай статистикалық әдіс жоқ. Сонымен қатар, CV категориялық тәуелсіз айнымалымен (IV) тығыз байланысты болуы мүмкін, сондықтан CV-мен байланысты DV-дегі дисперсияны жою DV-дегі маңызды дисперсияны жойып, нәтижелерді мәнсіз етеді.
Қорытындылар
ANCOVA-ны қолданудың негізін құрайтын және нәтижелерді түсіндіруге әсер ететін бірнеше маңызды болжамдар бар. Көрсеткіш айнымалының (CV) белгілі бір деңгейлерінде тәуелді айнымалының (DV) топтық айырмашылықтарын бағау ұсынылады. Сондай-ақ, CV және оның өзара әрекеттесуін тағы бір тәуелсіз айнымалы (IV) ретінде қарастыра отырып, модерацияланған регрессиялық талдауды қолдануды қарастырыңыз. Балама ретінде, CV тәуелсіз айнымалының (IV) тәуелді айнымалыға (DV) әсерін түсіндіріп беретінін анықтау үшін медиациялық талдауды қолдануға болады.
ANCOVA талдауын орындау
Егер CV×IV өзара әрекеттесуі маңызды болмаса, CV×IV өзара әрекеттесу мүшесінсіз ANCOVA-ны қайтадан жүргізіңіз. Бұл талдауда түзетілген орташалар мен түзетілген MSerror қолдану қажет. Түзетілген орташа мәндер (сондай-ақ ең кіші квадраттар орташасы, LS орташасы, шамаланған маргиналды орташалар немесе EMM деп те аталады) – бұл CV-нің тәуелді айнымалыға (DV) тигізетін әсерін ескергеннен кейінгі топтардың орташа мәндері.
Қадағалау талдаулары
Егер негізгі әсер маңызды болса, онда басқа факторларды ескермей, бір санатты тәуелсіз айнымалының (IV) деңгейлері арасында маңызды айырмашылық бар екенін білдіреді. Нақты қай деңгейлер бір-бірінен маңызды екенін анықтау үшін ANOVA-ға қолданылатын соңғы тексерулерді пайдалануға болады. Егер екі немесе одан көп тәуелсіз айнымалы (IV) болса, маңызды өзара әсер болуы мүмкін, яғни бір тәуелсіз айнымалының (IV) тәуелді айнымалыға (DV) әсері басқа фактордың деңгейіне байланысты өзгереді. Факторлық ANOVA-да қолданылатын әдістермен қарапайым негізгі әсерлерді зерттеуге болады.
Қуаттылық ескертулері
ANOVA-ға ковариат қосу, әдетте тәуелді айнымалыдағы кейбір дисперсияны есепке алып, статистикалық қуатты арттырады, соның салдарынан тәуелсіз айнымалылар түсіндіретін дисперсия қатынасын жоғарылатады. Бірақ, ANOVA-ға ковариат қосу еркіндік дәрежесін де кемітеді. Сәйкесінше, тәуелді айнымалының өте аз дисперсиясын есепке алатын ковариат қосу, қуатты тіпті азайтуы мүмкін.