Введение

Общая линейная модель, объединяющая ANOVA и регрессию

Анализ ковариации (ANCOVA) — это общая линейная модель, объединяющая ANOVA и регрессию. ANCOVA оценивает, равны ли средние значения зависимой переменной (DV) для различных уровней одной или нескольких категориальных независимых переменных (IV) и одной или нескольких непрерывных переменных. Например, категориальная переменная может описывать вид лечения, а непрерывная переменная — ковариаты или посторонние переменные, или наоборот. Математически ANCOVA раскладывает дисперсию DV на дисперсию, объясняемую ковариатами (CV), дисперсию, объясняемую категориальной IV, и остаточную дисперсию. Интуитивно ANCOVA можно представить как «корректировку» DV с учетом групповых средних значений CV. Модель ANCOVA предполагает линейную связь между зависимой переменной (DV) и ковариатой (CV):

В этом уравнении DV — j-е наблюдение в i-й категориальной группе; CV — j-е наблюдение ковариаты в i-й группе. Переменными в модели, полученными из наблюдаемых данных, являются (общее среднее) и (глобальное среднее для ковариаты). Переменные, которые необходимо оценить, — это (эффект i-го уровня категориальной IV), (наклон линии) и (соответствующий ненаблюдаемый член ошибки для j-го наблюдения в i-й группе). При такой спецификации эффекты категориального воздействия в сумме равны нулю. Также предполагается, что выполняются стандартные предположения модели линейной регрессии, как обсуждается ниже.

Увеличьте мощность .

ANCOVA может быть использована для повышения статистической мощности (вероятности обнаружения значимой разницы между группами, если она существует) за счет уменьшения дисперсии ошибок внутри групп. Чтобы понять это, необходимо разобраться в тесте, используемом для оценки различий между группами – F-тесте. F-тест вычисляется путем деления объясненной дисперсии между группами (например, различий в процессе выздоровления) на необъясненную дисперсию внутри групп. Таким образом, если полученное значение превышает критическое, мы заключаем о наличии значимой разницы между группами. Необъясненная дисперсия включает в себя дисперсию ошибок (например, индивидуальные различия), а также влияние других факторов. Следовательно, влияние сопутствующих переменных (CV) учитывается в знаменателе. Когда мы контролируем влияние сопутствующих переменных на зависимую переменную (DV), мы исключаем его из знаменателя, что увеличивает значение F и, тем самым, повышает нашу способность обнаружить значимый эффект, если он вообще существует.

Корректировка ранее существовавших различий

Еще одно применение ANCOVA – это корректировка для уже существующих различий в неэквивалентных (цельных) группах. Это спорное применение направлено на устранение изначальных групповых различий (до формирования групп), которые наблюдаются по зависимой переменной (DV) в нескольких цельных группах. В данной ситуации невозможно уравнять участников посредством случайного распределения, поэтому ковариаты используются для корректировки баллов и повышения сходства между участниками по сравнению с ситуацией без учета ковариат. Однако, даже при использовании ковариат, не существует статистических методов, позволяющих уравнять неравные группы. Более того, ковариата может быть настолько тесно связана с категориальной независимой переменной (IV), что исключение дисперсии зависимой переменной (DV), связанной с ковариатой, приведет к исключению значительной доли дисперсии DV, что сделает результаты бессмысленными.

Предположения

Существует несколько ключевых допущений, лежащих в основе использования ANCOVA и влияющих на интерпретацию результатов. Рекомендуется оценить групповые различия по зависимой переменной (DV) на определенных уровнях ковариаты (CV). Также следует рассмотреть возможность использования регрессионного анализа с модератором, рассматривая ковариату (CV) и ее взаимодействие как еще один независимый фактор (IV). В качестве альтернативы можно использовать медиационный анализ, чтобы определить, объясняет ли ковариата (CV) влияние независимого фактора (IV) на зависимую переменную (DV).

Проведите анализ ANCOVA

Если взаимодействие CV×IV не является значимым, повторите ANCOVA без включения члена взаимодействия CV×IV. В этом анализе необходимо использовать скорректированные средние и скорректированную ошибку среднего (MSerror). Скорректированные средние (также известные как средние наименьших квадратов, LS-средние, оценочные предельные средние или EMM) – это средние значения групп, рассчитанные после устранения влияния CV на зависимую переменную (DV).

Анализ последующих действий

Если обнаружен значимый основной эффект, это означает, что существует значимая разница между уровнями одной категориальной независимой переменной, при игнорировании всех остальных факторов. Чтобы точно определить, какие уровни значительно отличаются друг от друга, можно использовать те же последующие тесты, что и для ANOVA. Если присутствует два или более независимых переменных, может наблюдаться значимое взаимодействие, что означает, что влияние одной независимой переменной на зависимую переменную меняется в зависимости от уровня другой переменной. Для изучения простых основных эффектов можно использовать те же методы, что и в факторном ANOVA.

Рассуждения о власти

В то время как включение ковариаты в ANOVA обычно повышает статистическую мощность за счет учета части дисперсии зависимой переменной и, следовательно, увеличения отношения дисперсии, объясняемой независимыми переменными, добавление ковариаты в ANOVA также уменьшает число степеней свободы. Соответственно, добавление ковариаты, которая объясняет очень небольшую долю дисперсии зависимой переменной, может фактически снизить мощность.